第四章 线性系统的经典辨识方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学电气与信息工程学院,第,线性系统的经典辨识方法,4.1,脉冲响应的确定方法,脉冲响应法,4.2,脉冲响应的确定方法,相关法,4.3,用,M,序列辨识线性系统的脉冲响应,4.4,由脉冲响应求传递函数,安徽理工大学,系统辨识与建模,线性系统的经典辨识包括频率响应法、阶跃响应法和脉冲响应法。其中用得最多的是脉冲响应法。这是因为脉冲响应容易获得，只要在系统的输入端输入单位脉冲信号，则在输出端可得脉冲响应的方法不影响系统的正常工作。实际上，用工程的方法产生理想的脉冲函数是难以实现的，所以在辨识中不用脉冲函数作为系统的输入信号，而用一种称之为,M,序列的伪随机信号作为试验信号，再用相关处理测试结果，可很方便地得到系统的脉冲响应。因此脉冲响应法得到广泛的应用。,。,安徽理工大学,第四章 线性系统的经典辨识方法,脉冲响应法是利用线性、定常被辨识系统的输入、输出信息，通过脉冲响应来辨识系统的数学模型。,该方法虽然简单实用，但是具有一定的,适用范围（高信噪比的系统）,。它既是一种,非参数模型,（脉冲响应）的辨识方法，又是一种通过脉冲响应得到,参数模型,（传递函数）的辨识方法。,1,）从输入 和输出 求脉冲响应,2,）根据脉冲响应 求脉冲传递函数 。,安徽理工大学,第四章 线性系统的经典辨识方法,4.1,脉冲响应的确定方法,脉冲响应法,根据线性时不变系统卷积积分式：,1,）从输入 和输出 求脉冲响应,假定 和 被一个采样周期为 的采样器周期性采样，且设,足够小，逐段常值逼近可将 和 用阶梯信号近似代替,:,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,令,（,2-16,）,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,安徽理工大学,2,）根据脉冲响应 求脉冲传递函数,由脉冲响应确定传递函数，具体方法较多，如半对数法、阶矩法、差分方程法、,Hankel,矩阵法,等,Hankel,矩阵法确定系统传递函数,设系统的脉冲传递函数为：,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,等号两边相同幂次项对应系数相等：,（,2-17,）,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,定义,Hankel,矩阵：,先求出 ，再求,（,2-18,）,（,2-19,）,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,例 已知被辨识系统为三阶系统，即结构参数,n=3,。取步长,T=0.05s, 2n=6,拍的脉冲响应采样值为：,t (,秒,) 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3,7.157039 9.491077 8.563889 5.930506 2.845972 0.144611,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,设,根据（,2-18,）式：,有,解出：,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,代入,(2-17),式,得,解得：,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,脉冲传递函数为,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,4.2,脉冲响应的确定方法,相关法,伪,随机测试信号是六十年代发展起来的一种用于系统辨识的测试信号，这些信号的抗干扰性能强；为获得同样的信号量，对系统正常运行的干扰程度比其他测试信号低。目前已有用来做这种试验的专用设备。如果系统设备有数字计算机在线工作，伪随机测试信号可用计算机产生。实践证明，这是一种很有效的方法，特别对过渡过程时间长的系统，优点更为突出。,用伪随机测试信号和相关法辨识线性系统时，可获得系统的脉冲响应。本节讨论相关的原理。,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,一个单输入单输出的线性定常系统的动态特性，可用它的脉冲响应函数,描述，如式,4-1,所示。,设系统的输入为 ，输出为 ，则 可用下式表示：,设 是均值为零的平稳随机过程，则 也是均值为零的平稳随机过程。,(4-1),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,对于 时刻，系统的输出可写为,以 乘上式等号两边，再取数学期望，得到,即,式中,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,设 ，则,式,(4-2),就是著名的维纳霍夫方程。这个方程给出输入 的自相关函数 、输入 与输出 的互相关函数 和脉冲响应函数 之间的关系。如果已知 和 ，便可确定脉冲响应函数 ，这是一个解积分方程的问题。一般说来，这个积分方程是很难的。,(4-2),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,如果输入 是白噪声，则可很容易求脉冲响应函数 。这时 的自相关函数为,根据维纳霍夫方程可得,或,(4-3),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,这说明，对于白噪声输入， 与 只差一个常数倍。这样，只要记录 与 之值，并计算它们的互相关函数 ，可立即求得脉冲响应函数 。,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,当 是均值为零的白噪声， 具有各态历经时间性，观测时间 充分大时， 和 的互相关函数可按下式求得：,如果对和进行等间隔采样，可得序列 。,设采样周期为 ，有,(4-4),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,则,这里， 表示两个数值的采样间隔内的周期个数，而前面的连续公式中的 是两个数值的采样时间间隔。,如果在系统正常运行时进行测试，设正常输入信号为 ，由,引起的输出为,(4-5),(4-6),(4-7),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,系统的输入由正常输入 和白噪声 两部分组成，输出由和 组成。由于 和 不相关，故 与 也不相关，积分器的输出为 。,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,相关法的优点是不要求系统严格地处于稳定状态，输入的白噪声对系统正常工作的影响不大，对系统模型不要求验前知识。相关法的缺点是噪声的非平稳性分影响辨识的精度，以及要求较长的观测时间等。,实际上，白噪声只不过是一个数学上的“抽象”，在自然界中严格的白噪声是不存在的，只能产生近似的白噪声。在数字计算机上产生的伪随机二位式序列具有白噪声的特性，是一种近似的白噪声。这种伪随机二位式序列称为,M,序列。在相关法中用,M,序列和为测试信号。,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,4.3,用,M,序列辨识线性系统的脉冲响应,利用,M,序列，由维纳霍夫程可得,则,(4-19),(4-20),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,上式中右边第二项不随 而变，记为常值,则,因此，如果已经得到了 曲线，则将 向上平移 距离，即得到与 成比例的曲线 ，因,为已知量，故可得 曲线。,(4-21),(4-22),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,现在计算 。设线性系统输入 为二电平,M,序列，输出信号 是平稳随机过程，且具有各态历经性。则互相关函数,对 、 采用阶梯近似，步长为 ，则,(4-23),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,因 为,M,序列，其值为 ，故令 为正时取 ； 为负值时取 ，即,式中,sign,表示符号函数，于是,因此，只要有了 和 曲线，根据式,(4-23),和式,(4-25),，改变,值，便可求出 曲线。,(4-24),(4-25),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,为了提高 的计算精度，可以多测几个,M,序列的周期。例如，测试 个周期，则,按照上面的算法，对应于不同的 值，每次只能计算出脉冲响应,的一个离散值，如果需要算,N,个离散值，则要求计算,N,次才能获得 的,N,个离散值。,(4-26),(4-27),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,下面推导计算 的,N,个离散值的计算公式。由连续的维纳霍夫方程可得离散的维纳霍夫方程,式中 。为了书写方便，在式,(4-28),中， 表示， 表示，则得,(4-28),(4-29),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,设,则根据式,(4-29),可得,(4-30),(4-31),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,因此,通常，求逆矩阵很麻烦，但是对,M,序列来说，计算 比较容易,。由于 值为 根据式,(4-16),得二电平,M,序列的相关函数为,(4-32),(4-33),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,因此式,(4-30),中的 矩阵为,这个一个,N,阶方阵，其逆矩阵为,(4-34),(4-35),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,把式,(4-35),代入式,(4-32),得,由式,(4-26),， 可用下式表示：,(4-36),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,即,(4-37),式中 。,参照上式， 可写成下面形式：,(4-38),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,于是，由式,(4-36),可得,用,M,序列做试验时，利用式,(4-39),在计算机上离线计算，一次可求系统脉冲响应的,N,个离散值 。这种算法的缺点是数据的存储量大。为了减小数据的存储量，可采用递推算法。下面介绍递推算法。,(4-39),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,设进行了 次观测， 。由 次观测值得到的 用来表示，则,(4-40),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,上式为互相关函数的递推公式。可根据过去的数据求得 及新的观测数据 及 ，按式,(4-40),递推地算出,。由式,(4-36),得,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,考虑到式,(4-40),，得到脉冲响应的递推公式,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,即,(4-41),按递推公式,(4-41),进行计算，可从 及新的观测数据得到,。所以，利用式,(4-41),可对脉冲响 应 进行在线辨识。随着观测数据的增加， 的精度不断增加。,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,最后，应用前面的分析结果，归纳出用,M,序列辨识线性系统脉冲响应的步骤。二电平,M,序列是线性反馈移位寄存器的输出，可从计算机直接获得，也可以事先将,M,序列存入控制计算机，试验时逐步给出。,M,序列的一些参数，必须事先选定。这是试验前应做的准备工作。具体步骤如下：,估计系统过渡过程时间 和最高工作频率 （或截止频率,），使,M,序列的有效频带覆盖辨识系统的重要工作频区，应满足,选择,M,序列的参数 。一般选取 ，则,(4-42),(4-43),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,如果选得太大，,M,序列与周期白噪声的自相关函数相差悬殊；如 选得太小，当值受到信噪比或线性范围的限制，,T,一定时，则由式,(4-18),可知， 的幅值太小。若系统频带较宽，则,M,序列在主要频区内有效功率下降。在可能的情况下，适当加大,a,，可进一步减少 ，以提高,M,序列的有效频带宽度。通常基本电平的幅值 的大小，可以根据被辨识系统的线性范围和允许的信噪比来确定。若取得大一些，抗干扰性能增强一些，但 选得过大，会造成系统的非线性失真。,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,例,4-1,设被辨识系统的 ，试求,M,序列的 和,N,值。,解 由式,(4-42),和式,(4-43),取,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,另外，考虑到数字计算机的采样速率比较高，数字计算机的步长 可能会小于,M,序列的步长 ，这时可令,式中 ，取正整数。对于动态响应比较快的被辨识系统,，适当提高,N,值，取 ，在计算互相关函数时，可以得到更多的被辨识系统输出信号的采样值，从而更充分地反映输出响应的基本特征，提高辨识精度。,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,用电子计算机产生,M,序列或者把储存在控制机内存的,M,序列逐步输出。,计算互相关函数 。,由 求系统的脉冲响应函数 。,采用,M,序列辨识系统的优点是：第一，试验可以在正常工作状态下完成，不需要断开系统；第二，测量时可以避免其他噪声的影响。,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,用,M,序列作为输入信号辨识脉冲响应的步骤,1,）估计系统过渡过程时间,Ts,和系统的最高工作频率,fmax,，作为选择,M,序列参数的依据。,2,）精心选择,M,序列的参数。当系统频率特性接近低通滤波特性时，,M,序列的参数,t,应满足：,3,）,M,序列的循环周期必须大于系统的过渡过程时间，以保证时间大于,N t,后，脉冲响应衰减接近于零。,4,）,M,序列的幅度,a,不能选择过大，以免系统进入非线性区或影响系统生产，但也不能过小，以保证一定的信噪比。,5,）采集数据时，当,M,序列刚加上时，系统输出在一段时间内是非平稳的，一般从第二个循环周期开始采集数据,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,5,）数据要扣除直流分量，或进行滤波,6,）计算互相关函数,7,）取补偿量,8,）计算脉冲响应估计值,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,相关分析法求脉冲响应应用,某炼油厂常压加热锅炉炉膛温度由汽动燃料调节阀膜头压力控制，如下图所示。利用相关分析法辨识汽动调节膜头压力到炉膛温度通道的脉冲响应。,且,M,序列按表,1,取值，另外，根据运行经验，气动调节阀膜头压力扰动幅度取,0.03kg/cm,2,，可保证对象不进入非线性区，并有明显的输出响应。,解,（,1,）预估炉子的过渡过程时间,Ts,不大于,50min,，最高工作频率,f,max,低于,0.0012Hz,。,（,2,）选择,M,序列参数。根据式,取,使,根据选择步骤,3,，确定,保证,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,表,1,压力扰动记录,k,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,M(k),+,-,-,-,-,+,+,+,-,+,+,-,-,+,-,（,3,）为了获得温度响应的平稳过程，要在压力扰动加入一个循环周期开始记录数据。各个时刻的系统输出观测值如表,2,所示。,k,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,z(k),1.82,1.82,2.03,2.03,1.03,0.68,0.52,0.86,1.78,2.50,2.50,2.32,3.28,2.82,2.04,表,2,各个时刻的系统输出观测值,（,4,）利用表,1,和表,2,的数据，计算互相关函数,RMz(,k,),。,互相关函数,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,50,（,5,）根据上式和以上条件，可推出计算脉冲响应估计值的表达式为,式中，取,c,RMz,(14),0.0088,。对应的互相关函数,RMz(k),和脉冲响应估计值计算结果如表,3,所示。如果使用比较充足的数据,(N,再取大些,),，辨识精度还可以进一步提高。,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,表,3,互相关函数,R,Mz,(k),和脉冲响应估计值,k,0,1,2,3,4,5,6,RMz(k),-0.93,10,-2,-0.87,10,-2,0.64,10,-2,1.09,10,-2,0.76,10,-2,0.26,10,-2,-0.16,10,-2,-0.13,0.03,3.96,5.13,4.27,2.97,1.87,k,7,8,9,10,11,12,13,14,RMz(k),-0.19,10,-2,-0.39,10,-2,-0.77,10,-2,-0.94,10,-2,-0.85,10,-2,-0.71,10,-2,-1.0,10,-2,-0.88,10,-2,1.80,1.28,0.29,-0.16,0.08,0.44,-0.31,0.0,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,4.4,由脉冲响应求传递函数,一、连续系统传递函数,任何一个单输入单输出系统都可用差分方程表示。如果系统输入为 函数，则输出为脉冲响应函数 。因 函数只作用于,时刻，而在其它时刻系统的输入为零。系统从 时刻起有响应,。若采样间隔为 ，设系统用下列 阶差分方程来表示：,式中 为待定的,n,个常数。,(4-44),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,根据式,(4-44),，时间依次延迟 ，可写出 个方程：,联立求解上述 个方程，可得差分方程的 个系数 。,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,任何一个线性定常系统，若其传递函数 的特征方程的根为,，则其传递函数可用下列分式表示：,设 为待求的系统传递函数，其中 和 为待求的 个未知数。求式,(4-45),的拉氏反变换，可得脉冲响应函数：,就是说，线性系统的脉冲响应函数可用一组指数函数 的线性组合来表示。,(4-45),(4-46),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,下面写出时刻 的脉冲响应函数：,将式,(4-44),中的 换成 ，并将式,(4-46),和式,(4-47),代入其中，得,(4-47),(4-48),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,要使上式成立，应令各方括弧内之值为零，即,令 ，则 个方括号可用一个式子表示，即,设,则有,(4-49),(4-51),(4-50),(4-52),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,下面求 。根据式,(4-46),、式,(4-47),和式,(4-51),可得,解上述方程组可得 。,把求得的 和 代入式,(4-45),，便得所求的系统传递函数 。,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,例,4-2,设原系统具有三阶传递函数：,其脉冲响应为 。设采样间隔 的前,4,个值如下所示：,0.0 1.0 2.0 3.0,0.0 0.1924 0.2122 0.1762,相应的联立方程为,解之得,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,按式,(4-50),得,解之得,则系统极点为,因此脉冲响应为,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,令 和,1,，得,解之得,因而所求的传递函数为,所求得的传递函数与真实传递函数非常接近。,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,二、离散系统的脉冲传递函数,设系统脉冲传递函数为,根据脉冲传递函数的定义可得,式中 为采样间隔。因而有,(4-54),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,将式,(4-54),左边的分母的多项式人分别乘其等号的两边得,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,令上式等号两边 同次项的系数相等，当 的次数从,0,至 ，可得下列矩阵方程：,当 的次数从 至 ，可得,(4-55),(4-56),第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,上式左边由 组成的 方阵为,Hankel,矩阵，其秩为 ，所以方程,(4-56),有解。可求得脉冲传递函数中分母的各未知数 。把求得的 代入式,(4-55),，可求得脉冲传递函数分子中的各未知系数 。从而得到脉冲传递函数 。,已知离散系统的传递函数,脉冲传递函数 ，可利用采样系统理论中有关 变换方法，设 ，代入 表达式，经过换算也可求得连续系统的传递函数 。,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,例,4-3,若已知线性系统为三阶，即结构参数 ，设采样间隔,为,0.05s,，系统的脉冲响应的采样值 为,0,0.05,0.10,0.15,0.20,0.25,0.30,0,1,2,3,4,5,6,0,7.157039,9.491077,8.563889,5.930506,2.845972,0.144611,试求系统的传递函数 和 。,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,解 设脉冲传递函数的形式为,将 至 的数值代入式,(4-56),，得,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,解上式后得,把上述的 至 及 代入式,(4-55),，解得 ，,。于是脉冲传递函数 为,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,的三个特征值为,对应于 的特征值，由 可直接解出,利用 变换求出,第四章 线性系统的经典辨识方法,安徽理工大学,