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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第一章,分析基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,函数与极限,第一章,二、映射,三、函数,一、集合,第一节,映射与函数,元素,a,属于集合,M,记作,元素,a,不属于集合,M,记作,一、 集合,1.,定义及表示法,定义,1.,具有某种特定性质的事物的总体称为,集合,.,组成集合的事物称为,元素,.,不含任何元素的集合称为,空集,记作,.,(,或,) .,注,:,M,为数集,表示,M,中排除,0,的集,;,表示,M,中排除,0,与负数的集,.,简称,集,简称,元,表示法,：,(1),列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素,.,例,:,有限集合,自然数集,(2),描述法：,x,所具有的特征,例,:,整数集合,或,有理数集,p,与,q,互质,实数集合,x,为有理数或无理数,开区间,闭区间,无限区间,点的,邻域,其中,a,称为邻域中心,称为邻域半径,.,半开区间,去,心,邻域,左,邻域,:,右,邻域,:,是,B,的,子集,或称,B,包含,A,2.,集合之间的关系及运算,定义,2,.,则称,A,若,且,则称,A,与,B,相等,例如,显然有下列关系,:,若,设有集合,记作,记作,必有,定义,3,.,给定两个集合,A,B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算,:,余集,直积,特例,:,记,为平面上的全体点集,或,二、 映射,某校,学生的集合,学号的集合,按,一定规则查号,某,班学生的集合,某教室座位,的集合,按,一定规则入座,引例,1.,引例,2.,引例,3.,(,点集,),(,点集,),向,y,轴投影,定义,4.,设,X,Y,是两个非空集合,若,存在一个对应规,则,f,使得,有,唯一确定的,与之对应,则,称,f,为从,X,到,Y,的,映射,记作,元素,y,称为元素,x,在映射,f,下的,像,记作,元素,x,称为元素,y,在映射,f,下的,原像,.,集合,X,称为映射,f,的,定义域,;,Y,的子集,称为,f,的,值域,.,注意,:,1),映射的三要素,定义域,对应规则,值域,.,2),元素,x,的像,y,是唯一的,但,y,的原像不一定唯一,.,对映射,若,则称,f,为,满射,;,若,有,则,称,f,为,单射,;,若,f,既是满射又是单射,则,称,f,为,双射,或,一一映射,.,引例,2, 3,引例,2,引例,2,例,1.,海伦公式,例2.,如图所示,对应阴影部分的面积,则在,数集,自身之间定义了一种映射,(,满射,),例3.,如图所示,则有,(,满射,),(,满射,),X,(,数集 或点集,),说明,:,在不同数学分支中有不同的惯用,X,(,),Y,(,数集,),f,称为,X,上的,泛函,X,(,),X,f,称为,X,上的,变换,R,f,称为定义在,X,上的,函数,映射又称为,算子,.,名称,.,例如,定义域,三、函数,1.,函数的概念,定义,5,.,设数集,则称,映射,为定义在,D,上的函数,记为,称为值域,函数图形,:,自变量,因变量,(,对应规则,),(,值域,),(,定义域,),例如,反正弦主值,定义域,对应规律,的表示方法,:,解析法,、,图像法,、,列表法,使表达式或实际问题有意义的自变量集合,.,定义域,值域,又如,绝对值函数,定义域,值 域,对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域,.,对,实际问题,书写函数时必须写出定义域；,例,4.,已知函数,解,:,及,写出,f,(,x,),的定义域及值域,并求,f,(,x,),的定义域,值域,2.,函数的几种特性,设函数,且有区间,(1),有界性,使,称,使,称,说明,:,还可定义有上界、有下界、无界,.,(2),单调性,为,有界函数,.,在,I,上,有界,.,使,若对任意正数,M,均存在,则称,f,(,x,),无界,.,称 为,有上界,称 为,有下界,当,称,为,I,上的,称,为,I,上的,单调增函数,;,单调减函数,.,(,见,P11 ),(3),奇偶性,且有,若,则称,f,(,x,),为,偶函数,;,若,则称,f,(,x,),为,奇函数,.,说明,:,若,在,x,= 0,有定义,为,奇函数,时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,又如,奇函数,双曲正弦,记,再,如,奇函数,双曲正切,记,说明,:,给定,则,偶函数,奇,函数,(4),周期性,且,则称,为,周期函数,若,称,l,为,周期,(,一般指,最小正周期,).,周期为,周期为,注,:,周期函数不一定存在最小正周期,.,例如,常量函数,狄利克雷函数,x,为有理数,x,为无理数,3.,反函数与复合函数,(1),反函数的概念及性质,若函数,为,单射,则存在一新映射,习惯上,的反函数记成,称此,映射,为,f,的,反函数,.,其反函数,(,减,),(,减,) .,1),y,f,(,x,),单调递增,且也单调递增,性质,:,使,其中,2),函数,与其反函数,的图形关于直线,对称,.,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,其,图形关于直线,对称,.,指数函数,(2),复合函数,则,设有函数链,称为由, ,确定的,复合函数,u,称为,中间变量,.,注意,:,构成复合函数的条件,不可少,.,例如,函数链,:,但可,定义复合函数,时,虽不能在自然域,R,下构成复合函数,可定义复合函数,当改,两个以上函数也可构成复合函数,.,例如,可定义复合函数,:,约定,:,为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件,.,4.,初等函数,(1),基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2),初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为,非初等函数,.,例如,并可用,一个式子,表示的函数,经过,有限次,四则运算和复合步,骤所构成,称为,初等函数,.,可表为,故为,初等函数,.,又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数,.,(,自学, P17 P20 ),非初等函数举例,:,符号函数,当,x, 0,当,x,= 0,当,x, 0,取整函数,当,设函数,x,换为,f,(,x,),例,5.,解,:,例,6.,求,的反函数及其定义域,.,解,:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,内容小结,1.,集合及映射的概念,定义域,对应规律,3.,函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,4.,初等函数的结构,作业,P21 4,(5),(8) ,(10);,6; 8; 9;,13,;,16; 17; 18,2.,函数的定义及函数的二要素,第二节,且,备用题,证明,证,:,令,则,由,消去,得,时,其中,a,b,c,为常数,且,为奇函数,.,为奇函数,.,1.,设,2 .,设函数,的,图形与,均,对称,求证,是,周期函数,.,证,:,由,的对称性知,于是,故,是,周期函数,周期为,
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