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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三章 变化率与导数,1,变化的快慢与变化率,银杏树高,:15,米,树龄,:1 000,年,雨后春笋高,:15,厘米,时间,:,两天,世界上变化无处不在，如何刻画事物变化的快慢呢？,1.,理解函数平均变化率及,瞬时变化率,的概念,.,2.,会求给定函数在某个区间上的平均变化率及某一点的,瞬时变化率,.,（重点）,3.,理解平均变化率,及瞬时变化率,的意义，能够解释生活中的现象,.,（难点）,探究点,1,平均变化率定义,问题（,1,）,物体从某一时刻开始运动，设,s,表示此物体经过时间,t,走过的路程，显然,s,是时间,t,的函数,表示为,s=s(t).,在运动的过程中测得了一些数据，如表：,t(s),0,2,5,10,13,15,s(m),0,6,9,20,32,44,物体在,0,2s,和,10,13s,这两段时间内，哪一段时间运动得更快？如何刻画物体运动的快慢？,分析：,我们通常用平均速度来比较运动的快慢,.,在,0,2s,这段时间内，物体的平均速度为,在,10,13s,这段时间内，物体的平均速度为,显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快,.,问题（,2,）,某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示：,比较时间,x,从,0 min,到,20 min,和从,20 min,到,30 min,体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？,y/(,o,C),x/min,0,10,20,30,40,50,60,70,36,37,38,39,分析：,根据图像可以看出：,当时间,x,从,0 min,到,20 min,时，体温,y,从,39,C,变为,38.5,C,，下降了,0.5,C,；,当时间,x,从,20 min,到,30 min,时，体温,y,从,38.5,C,变为,38,C,，下降了,0.5,C.,两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段,短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快,.,我们也可以比较这两段时间中，单位时间内体温的平,均变化量，于是当时间,x,从,0 min,变到,20 min,时，体温,y,相对于时间,x,的平均变化率为,当时间,x,从,20 min,变到,30 min,时，体温,y,相对于时间,x,的平均变化率为,这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值越大，下降得越快，这里，体温从,20 min,到,30 min,这段时间下降得比,0 min,到,20 min,这段时间要快,.,分析,上面的第一个问题中，我们用一段时间内物体的平均,速度刻画了物体运动的快慢，当时间从,t,0,变为,t,1,时，,物体所走的路程从,s(t,0,),变为,s(t,1,),，这段时间内物体,的平均速度是,第二个问题中，我们用一段时间内体温的平均变化率刻画了体温变化的快慢，当时间从,x,0,变为,x,1,时，体温从,y(x,0,),变为,y(x,1,),，,体温的平均变化率,你能类比归纳出“函数,f(x),在区间,x,1,x,2,上的平均变化率”的一般性定义吗？,抽象概括：,1 .,平均变化率的定义,:,对一般的函数,y=f,（,x,）来说，当自变量,x,从 变为 时，函数值从,f,（ ）变为 ，它的平,均,变化,率,为,通常把自变量,-,称作自变量的改变量，记作 ，函数值的变化 称作函数值的改变量，记作 ，则有如下表示：,x,y,B,(,x,2,f(x,2,),A,(,x,1,f(x,1,),O,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,),=,y,x,2,-x,1,=,x,2.,平均变化率的,几何意义：,几何意义是曲线 上经过，两点的直线的斜率,.,斜率的概念,思考,1.,表达式中,f(x,2,)-f(x,1,),与,x,2,-x,1,的顺序可以交换吗？它们本身前后两个式子可以交换吗？,提示,:,f(x,2,)-f(x,1,),与,x,2,-x,1,的顺序不可交换，但它们本身的式子可以同时交换，如也可以写为,思考,2.,函数,y=f(x),在,x=x,0,附近的平均变化率如何计算？,提示,:,设,x,在,x,0,附近的变化量为,x,，则平均变化率,提示：,对于一般的函数,y=f(x),在自变量,x,从,x,0,变到,x,1,的过程中，若设,x =x,1,-x,0,y =f(x,1,)-f(x,0,),则函数的平均变化率是,思考：,如何精确地刻画物体在某一瞬间的变化率呢？,探究点,2,瞬时速度、瞬时变化率,则当,x,趋于,0,时，平均变化率就趋于函数在,x,0,点的瞬时变化率,.,（,1,）瞬时变化率的表示,对于函数,y=f(x),在自变量,x,从,x,0,变到,x,1,的过程中,自变量的改变量,:x=_;,函数值的改变量,:y=_;,平均变化率,: =_;,在,x,0,点的瞬时变化率：当,x,趋于,_,时，平均变化率趋于某一常数，此常数即为瞬时变化率,.,(2),瞬时变化率的意义,瞬时变化率刻画的是函数在,_,处变化的快慢,.,x,1,-x,0,f(x,1,)-f(x,0,),0,一点,例,1,：一个小球从高空自由下落，其走过的路程,s,（单位：,m,）与时间,t,（单位：,s,）的函数关系为,其中，,g,为重力加速度,试估计小球在,t=5s,这个时刻的瞬时速度,.,，,分析：,当时间,t,从,t,0,变到,t,1,时，根据平均速度公式,可以求出从,5 s,到,6 s,这段时间内小球的平均速度,我们有时用它来近似表示,t=5 s,时的瞬时速度,.,为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出,5,5.1 s,这段时间内的平均速度,（,m/s,）,.,（,m/s,）,用它来近似表示,t=5s,时的瞬时速度,.,解：,我们将时间间隔每次缩短为前面的,，计算出相,应的平均速度得到下表：,平均速度,t,0,/s,t,1,/s,时间的改变量（,t,）,/s,路程的改变量（,s,）,/m,/,（,m/s,）,5,5.1,0.1,4.95,49.5,5,5.01,0.01,0.49,49.049,5,5.001,0.001,0.049,49.004 9,5,5.000 1,0.000 1,0.004 9,49.000 49,5,可以看出，当时间,t,1,趋于,t,0,=5 s,时，平均速度趋于,49 m/s,，因此，可以认为小球在,t,0,=5 s,时的瞬时速度,为,49 m/s.,从上面的分析和计算可以看出，瞬时速,度为,49 m/s,的物理意义是，如果小球保持这一时刻,的速度进行运动的话，每秒将要运动,49 m,【,变式练习,】,一辆汽车按规律,s,3t,2,1,做直线运动，求这辆汽车在,t,3 s,时的瞬时速度,(,单位：,m/s),解析：,因为,s,3(3,t),2,1,(33,2,1),3t,2,18t,，,所以,因为当,t,趋于,0,时， 趋于,18,，,所以这辆汽车在,t,3,s,时的瞬时速度的大小为,18 m/s.,例,2,：如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，,长为,10m.x,（单位：,m,）表示,OX,这段棒的长，,y,（单位：,kg,）表示,OX,这段棒的质量，它们满足以下函数关,系：,估计该合金棒在,x=2 m,处的线密度,.,分析：,一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度,.,解：,由,，我们可以计算出相应的平,均线密度得到下表：,x,0,/m,x,1,/m,长度,x,的改变量,（,x,）,/m,质量,y,的改变量,（,y,）,/kg,/,（,kg/m,）,2,2.1,0.1,0.070,0.70,2,2.01,0.01,0.007 1,0.71,2,2.001,0.001,0.000 71,0.71,2,2.000 1,0.000 1,0.000 071,0.71,2,平均线密度,可以看出，当,x,1,趋于,x,0,=2 m,时，平均线密度趋于,0.71 kg/m,，因此，可以认为合金棒在,x,0,=2 m,处的线密度为,0.71 kg/m.,从上面的分析和计算可以看出，线密度为,0.71 kg/m,的物理意义是，如果有,1 m,长的这种线密度的合金棒，其质量将为,0.71 kg.,某物体做匀速运动，其运动方程是,s,vt,b,，则该,物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速,度分别是多少？,【,变式练习,】,提示：,所以当,t,趋于,0,时， 趋于常数,v,，,即物体在任意时刻的瞬时速度都是,v.,定义法,D,2.,如果质点,A,按规律,运动，则在,秒的瞬时速度为（）,A,6,B,18,C,54,D,81,C,1.,已知函数,f(x)=-x,2,+x,的图像上的一点,A(-1,-2),及临,近一点,B(-1+x,-2+y),则,=( ),A.3 B.3x-(x),2,C.3-(x),2,D.3-x,A,4.,甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是,和,，,则在,秒时两个物体运动的瞬时速度关系是 （ ）,A.,甲大,B.,乙大,C.,相等,D.,无法比较,B,5.,自由落体运动的运动方程为,s= gt,2,，计算,t,从,3s,到,3.1 s,这段时间内的平均速度（位移的单位为,m,）,.,解析：,设在,3,，,3.1,内的平均速度为,v,1,，则,t,1,=3.1-3=0.1(s).,s,1,=s(3.1)-s(3)=0.5g3.1,2,-0.5g3,2,=0.305g(m).,所以,1.,平均变化率的定义,:,2.,平均变化率的,几何意义是曲线 上经过，,两点的直线的斜率,.,3.,瞬时变化率的定义及求瞬时变化率的一般步骤：,先求函数值的改变量,求平均变化率,求瞬时变化率,如果在胜利前却步，往往只会拥抱失败；如果在困难时坚持，常常会获得新的成功。,
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