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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、传染病模型,建立传染病要考虑的因素非常多，如传染速度、医疗能力、死亡、新生人口数量、人口年龄性别结构等。具体到不同的疾病，还有传播途径、发作速度等问题。,此外，传染病模型可以参照用于讨论计算机病毒的传播特征等方面。,传染病爆发期间，感染人数会怎样变化？哪些因素对其传染效率的影响最大？,模型目标,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机,理分析方法建立模型,模型假设,基本假设：传染病是由病人通过“接触”健康人进行传播的,.,疾病流行区域内的人分为三类：,S,类,(,易感人群,),；,I,类,(,病人,),；,R,类,(,移出者,),。,为简单起见，假设本地区总人口不变，为,N,。,S I R,1,、,SI,模型（只考虑,S,和,I,两类人）,(1),人群个体之间没有差异。病人与易感者在人群中混合均匀，记,s(t),为,t,时刻健康人占总人口的比例，,i(t),为,t,时刻病人的比例，则,s(t)+ i(t)=1,。,(,2,),人群数量足够大，,s(t),和,i(t),可以视为连续且可微的。,(3),每个,I,类人每天“有效接触”的人数为常数,。,(4),不考虑出生与死亡，以及人群的迁入迁出因素。,构造模型,令,t 0,，得到微分方程：,这个模型可以用于预报传染病爆发早期，患病人数的发展规律，并预测传染高峰的时间。,SI,模型图形分析,i di/dt,t,m,t,0,1/2,i,1,(d,I,/d,t,),m,1/2,i,0,病人比例随时间的变化规律 病人数增长速率与病人数的关系,增派防疫、医疗人员,采取放假、隔离等措施,普及防疫措施、知识,调整临床医疗策略,SI,模型结果分析,这个模型的缺陷是显而易见的,.,比如,t +,时，,i(t) 1,，这表明本地区最后所有人都会被感染。出现这种结果的原因是假设系统中只有两种人，即病人和易感人群，而且没有考虑病人会被治愈的因素。,1.,假设,(,前面四条都和模型,A,一样，再添加一条,),（,5,）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。每天被治愈的病人数占病人总数的比例为,。,2,、,SIS,模型（可治愈但不免疫模型）,表示日治愈率，表现的是本地区的医疗水平，所以,1/,就可以表示传染病的平均感染期，也是一个病人从发病到被治愈经历的时间。,根据假设,5,，,Logistic,模型被修改为：,构造模型,定义一个常数,=,，根据,和,1/,的定义，,就是一个病人在整个患病期间有效接触的平均人数，这在模型里被称为接触数。将,代入方程中，得到,求解这个方程，得到解为,模型求解,1,时，,t +,则,i,(,t,) 1-1/,。,画出解的图象为 ：,1,，,t +,时,i(t) 0.,= ,1-1/,i,t,i,0,i,0,模型结果分析,i,i,0,0 t, 0,。,根据极限的定义，对于充分大的,t,，都应该有,i(t)/2,，把这个结论代入方程组。,模型分析,dr,/,dt,=,i,/2,这会导致,r(t)+,，这跟上面,r(t),的极限也存在的结论有矛盾。,所以只能有：,i,= 0,。,也就是说传染病最终将消失。,其次，考虑随着,t,的变化，,i-s,平面上解的轨线变化情况。大概的走势图为：,模型分析,i,1,0 1/ s,=,i,1,0 1/ s,s,0, 1/,时，,i(t),先升后降至,0,传染病蔓延,s,0, 0,且,q, 0,时平衡点,P,0,稳定；,p, 0,或,q, 0,且,q, 0,时,P,0,稳定,.,p, 0,或,q,1,(,1,1 (,2,1),不稳定,1,1,，,2,0,而且,q0,P,1,(N,1,0), P,2,(0,N,2,), P,3,(0,0),当稳定性定理无法给出全部稳定性条件时，我们需要结合使用几何方法。,1,、,1,1,x,2,x,1, = 0, = 0,(0,N,2,),(N,1,0),S1,S2,S3,几何分析表明，此时,P,1,(N,1,0),稳定。,2,、,1,1,，,2,1,x,2,x,1, = 0, = 0,(0,N,2,),(N,1,0),S1,S2,S3,几何分析表明，此时,P,2,(0,N,2,),稳定。,3,、,1,1,，,2,1,，,2,1,，方程的解不存在统一的发展趋势。,
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