高等数学曲线积分与曲面积分习题课

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,曲线积分与曲面积分,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,曲线积分与曲面积分,*,上一页,下一页,返回,第八章 曲线积分与曲面积分,习题课,一、主要内容,二、线、面 积分的基本计算法,一、对弧长的曲线积分的概念,1.,定义,被积函数,积分弧段,积分和式,曲线形构件的质量,2.,存在条件：,3.,推广,注意：,二、对弧长的曲线积分的性质,三、对坐标的曲线积分的概念,1.,定义,类似地定义,2.,存在条件：,3.,组合形式,4.,推广,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,.,四、对坐标的曲线积分的性质,五、对面积的曲面积分的定义,1.,定义,六、对面积的曲面积分的性质,基本概念,观察以下曲面的侧,(,假设曲面是光滑的,),曲面分,上,侧和,下,侧,曲面分,内,侧和,外,侧,曲面的分类,:,1.,双侧曲面,;,2.,单侧曲面,.,典型,双侧曲面,莫比乌斯带,典型,单侧曲面:,播放,曲面法,向量的指向,决定曲面的,侧,.,决定了侧的曲面称为,有向曲面,.,曲面的投影问题,:,七、对坐标的曲面积分的定义,被积函数,积分曲面,类似可定义,存在条件,:,组合形式,:,物理意义,:,八、对坐标的曲面积分的性质,九、曲线积分的计算法,1.,基本方法,曲线积分,第一类,(,对弧长,),第二类,(,对坐标,),(1),选择积分变量,转化,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2),确定积分上下限,第一类,:,下小上大,第二类,:,下始上终,对弧长曲线积分的计算,定理,注意,:,特殊情形,推广,:,例,1,解,例,2,解,例,3,解,例,4,解,由对称性,知,对坐标的曲线积分的计算,定理,特殊情形,例,5,计算,其中,L,为摆线,上对应,t,从,0,到,2,的一段弧,.,提示,:,例,6,计算,其中,由平面,y = z,截球面,提示,:,因在,上有,故,原式,=,从,z,轴正向看沿逆时针方向,.,十、曲面积分的计算法,1.,基本方法,曲面积分,第一类,(,对面积,),第二类,(,对坐标,),转化,二重积分,(1),选择积分变量,代入曲面方程,(2),积分元素投影,第一类,:,始终非负,第二类,:,有向投影,(3),确定二重积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,定理,:,设有光滑曲面,f,(,x, y, z,),在, 上连续,存在,且有,对面积的曲面积分的计算法,则,曲面积分,例,7,解,若,则有,若,则有,(,前正后负,),(,右正左负,),对坐标的曲面积分计算,:,一投、二代、三定号,(,上正下负,),则有,若,解,:,把, 分为上下两部分,根据对称性,思考,:,下述解法是否正确,:,例,8.,计算曲面积分,其中, 为球面,外侧在第一和第五卦限部分,.,例,9,解,