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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,项目21(6.4)向量组的秩,1,任务21-1（6.4.1） 向量组的极大线性无关组,注:,（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.,定义6.9,设向量组A，如果在A中有r个向量,满足：,（2）任意一个向量都可被它们线性表示。,它们线性无关。,（1）,（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。,（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性,表示,简称极大无关组。,那么称 为向量组 的一个极大线性无关组。,2,案例如：在向量组 中，,首先,线性无关，,又,线性相关，,所以,组成的部分组是极大无关组。,还可以验证,也是一个极大无关组。,注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。,3,极大无关组的一个基本性质：,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。,又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都,与向量组等价，所以：,向量组的任意两个极大无关组都是等价的。,由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得,一个向量组的任意两个极大无关组等价，,且所含向量的个数相同。,定理：,4,任务21-2 （6.4.2） 向量组的秩,定义6.8 向量组的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩, 记作,案例如： 向量组 的,秩为2。,5,（4）等价的向量组必有相同的秩。,关于向量组的秩的结论：,（1）零向量组的秩为0。,（2）向量组,线性无关,向量组,线性相关,（3）如果向量组,可以由向量组,线性表示，则,注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。,两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个,线性表示，则这两个向量组等价。,6,矩阵的行秩、列秩,把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，,把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。,定义6.9 矩阵A的行向量组的秩，就称为矩阵A的行秩;,矩阵A的列向量组的秩，就称为矩阵A的列秩。,案例如：矩阵,的行向量组是,7,可以证明，,是A的行向量组的一个极大无关组，,因为，由,即,可知,即,线性无关；,而,为零向量，包含零向量的向量组线性相关，,线性相关。,所以向量组,的秩为3，,所以矩阵A的行秩为3。,8,矩阵A的列向量组是,可以验证,线性无关，,而,所以向量组,的一个极大无关组是,所以向量组,的秩是3，,所以矩阵A的列秩是3。,定理6.4 矩阵的秩=矩阵的行秩矩阵的列秩,9,向量组的秩、极大无关组的求法.,（1）向量组,作列向量构成矩阵A。,（2）,初等行变换,（行最简形矩阵）,r(A)=B的非零行的行数,（3）求出B的列向量组的极大无关组,（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组,即为A的极大无关组。,10,案例 向量组,求向量组的秩和,一个极大无关组。,解：,11,又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组,所以，,是,的一个极大无关组。,考虑：是否还有其他的极大无关组？,与,12,案例 求向量组,的一个极大无关组，并把其余,向量用该极大无关组线性表示。,解：设,则B的1，2列为极大无关组，且,所以,为所求的一个极大无关组，且,13,
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