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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,H范数与Riccati方程/不等式,9/23/2024,1,系统描述,G,u,y,9/23/2024,2,哈密顿矩阵与黎卡提方程,设,，而且,，即,Q,和,R,是对称的，,则哈密顿,(Hamilton),矩阵定义为：,关于,的矩阵方程：,称为黎卡提,(Riccati),方程。,9/23/2024,3,其中 且,B,为列满秩，,C,为行满秩。,哈密顿矩阵与黎卡提方程,考虑代数Riccati方程和相应矩阵,H,定义1：如果2n2n矩阵H满足,其中 ，则称,H,为Hamilton矩阵。,9/23/2024,4,如果Hamilton矩阵,H,没有虚轴上的特征值，则,H,矩阵具有下述性质：若 ，,i=1,2,n, 则 。即,H,的特征,值以虚轴、实轴对称。,如果系统,（A,B）,能稳定,，（C,A）,能检测，则矩阵,H,没有虚轴上的特征值，且H的Jordan标准型为,即存在H的非奇异特征向量矩阵W，使得,即存在H的非奇异特征向量矩阵W，使得,哈密顿矩阵与黎卡提方程,9/23/2024,5,定理：矩阵代数Riccati方程存在唯一解,且使 的充分必要条件是,（A,B）,能稳定，,(C,A),能检测。若还有,(C,A),能观测，则,P0,.,证明：充分性,（1)解的存在性 （2）解的对称性,（3） 为稳定矩阵 （4）解的非负定性,（5）解的唯一性,必要性,9/23/2024,6,X=Ric(H)和dom(Ric)的定义,定义:,满足黎卡提方程 ,并且使,A,RX,稳定的,X,，称为黎卡提方程,的稳定化解，用,X,Ric(,H,)表示。,定义:,若哈密顿矩阵,H,在虚轴上没有特征值，对应于稳定,特征值的特征向量基 满足式 ，其中,X,1,是,非奇异的，则,H,dom(Ric)。,9/23/2024,7,有关哈密顿矩阵和黎卡提方程的结论,结论1:,若,H,dom(Ric)，,X,Ric(,H,)，则,a),X,X,T,；,b),XA,A,T,X,XRX,Q,0；,c),A,RX,是稳定的。,结论2:,如果,H,在虚轴上没有特征值，,R,是半正定的或半负定 的对称矩阵，而且(,A，R,)是可稳定的，则,H,dom(Ric)。,结论3:,若(,A,B,)是可稳定的, (,C,A,)是可检测的, 则哈密顿矩阵,dom(Ric),X,Ric,(,H,)0。,当(,C, A,)为能观测时，则,X,Ric(,H,)0成立。,9/23/2024,8,关于,H,范数的定理(1),定理1：,对于,稳定传递函数,G,(,s,)=,C,(,sI,-,A,),-1,B,，定义哈密顿矩阵,其中,0，则下述条件式等价的：,a) ;,b),H,在虚轴上没有特征值；,c),黎卡提方程,具有半正定解,X,0,。,9/23/2024,9,关于,H,范数的定理(2),定理2：,的,充要条件是,M,在虚轴上没有特征值。,9/23/2024,10,H,范数计算的步骤,选择一个常数,0;,计算哈密顿矩阵的特征值,i,；,若有,i,在虚轴上，则增加,，,否则减少,；,通过折半搜索不断地进行迭代计算，可使,的搜索快 速收敛于 ，并且具有任意的精度。,9/23/2024,11,H,范数计算的框图,开 始,取两个满足 的初始值,1,和,2,以及精度要求,0,结 束,no,yes,no,yes,9/23/2024,12,关于,H,范数的两个基本定理(1),定理1：,下述四个命题是等价的:,b),哈密顿矩阵,在虚轴上没有特征值；,a) ；,c),黎卡提方程,具有使 稳定的半正定解,X,0；,d),H,dom(Ric)，Ric(,H,)0。,9/23/2024,13,定理2：,下述两个命题是等价的:,a) ；,b),对于一个充分小的常数,e, 0,，黎卡提方程,具有正定解,X,0。,关于,H,范数的两个基本定理(2),9/23/2024,14,H,范数与Riccati不等式,设严格正则有理传递函数 ，则 为稳定阵，且 的充分必要条件为存在矩阵,P0,，满足Riccati不等式,9/23/2024,15,设严格正则有理传递函数 ，则 为稳定阵，且 的充分必要条件为,且存在矩阵,P0,，满足Riccati不等式,其中,9/23/2024,16,THANK YOU!,9/23/2024,17,
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