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单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2022/7/8,#,专题二 图形的裁剪、平移与拼接,目,录,类型三,以图形折叠为背景求角,类型二,求相关图形的周长,类型四,以图形折叠为背景求线段长,类型一,求有关图形的面积,数据剖析,题型突破,3,求有关图形的面积,一,求阴影部分图形的面积的有关计算,是河北中考的热点题型,多以选择题、填空题的形式考查阴影部分的面积,通常结合图形的变换来考查,分值在,23,分,难度中等,.,求解这类问题的关键是将阴影部分的图形转化为可求解的规则图形的组合,.,通过等量代换将不规则的图形转化为常见图形来解决,.,方法,:,和差法、变换法、代数法,.,返回子目录,题型讲解,方法点拔,解题技巧,如图,1,分别沿长方形纸片,ABCD,和正方形纸片,EFGH,的对角线,AC,EG,剪开,拼成如图,2,所示的,KLMN,若中间空白部分四边形,OPQR,恰好是正方形,且,KLMN,的面积为,50,则正方形,EFGH,的面积,为,(,),A.24,B.25,C.26,D.27,返回子目录,分析：,根据,图,2,先确定长方形的长与宽和正方形边长之间的关系,再根据,KLMN,的面积为,50,列方程即可,求解,.,例题,1,B,解析：,设,长方形纸片,ABCD,的长为,c,宽为,b,正方形纸片,EFGH,的边长为,a,则由图,2,可知,a-b=c-a,于是,2,a=b+c,;,由长方形,ABCD,的面积,+,正方形,EFGH,的面积,+,空白面积,=,50,即,bc+a,2,+,(,a-b,)(,c-a,),=,50,得,a,(,c+b,),=,50;,将,2,a=b+c,代入,得,2,a,2,=,50,所以,a,2,=,25,即正方形,EFGH,的面积为,25,.,返回子目录,【,高分点拨,】,阴影,部分的面积往往都是不规则图形,所以把不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解决这类问题的主要思路,以下介绍几种常用的方法,:,和差法,不改变图形的位置,用规则图形面积的和或差表示,经过计算即得所求图形面积,;,移动法,通过平移、旋转、割补、等体积变换等将图形的位置进行移动求解,;,代数法,借助于列方程,(,组,),通过解方程,求解,.,(,2021,保定模拟,),如图,将一张正六边形纸片的阴影部分剪下,拼成一个四边形,若拼成的四边形的面积为,2,a,则纸片的剩余部分的面积,为,(,),A.5,a,B.4,a,C.3,a,D.2,a,返回子目录,解析,:,如图所示,:,可,将正六边形分为,6,个全等的三角形,阴影部分的面积为,2,a,每一个三角形的面积为,a.,剩余部分可分割为,4,个三角形,剩余部分的面积为,4,a,.,故,选,B.,当堂检测,1,B,数据剖析,题型突破,3,求相关图形的周长,二,求,阴影部分图形的周长的有关计算,是河北中考的热点题型,多以选择题、填空题的形式考查阴影部分的周长,通常结合图形的变换来考查,分值在,2,3,分,难度中等,.,求解,这类问题的关键是将阴影部分的图形转化为可求解的规则图形的组合,.,通过,等量代换将不规则的图形转化为常见图形来解决,.,方法,:,和差法、变换法、代数法,.,返回子目录,题型讲解,方法点拔,解题技巧,如,图,等边三角形,ABC,的边长为,1 cm,D,E,分别是,AB,AC,上的点,将,ADE,沿直线,DE,折叠,点,A,落在点,A,处,且点,A,在,ABC,外部,则阴影部分的周长,为,(,),A.1 cm,B.2 cm,C.3 cm,D.4 cm,返回子目录,分析,：,由,题意,得,AE=AE,AD=AD,故阴影部分的周长可以转化为,ABC,的周长,.,解析,：,将,ADE,沿直线,DE,折叠,点,A,落在点,A,处,AD=AD,AE=AE,.,阴影部分图形的,周长,=,BC+BD+CE+AD+AE=BC+BD+CE+AD+AE=BC+AB+AC=,3(cm,),.,故,选,C.,例题,2,C,【,高分点拨,】,此,类问题涉及的阴影部分的图形一般为不规则的图形,解决的方法有以下三种,:,在规则图形中找与所求图形存在数量关系的边,利用勾股定理或锐角三角函数求得线段长度,有时会涉及弧长,;,将所求图形进行平移、拼接,转化为规则图形的和差关系求解,;,构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系求解,.,(,2018,河北中考,),如图,点,I,为,ABC,的内心,AB=,4,AC=,3,BC=,2,将,ACB,平移使其顶点与,I,重合,则图中阴影部分的周长,为,(,),A.4,.,5,B.4,C.3,D.2,返回子目录,解析,:,如图,连接,AI,BI.,点,I,为,ABC,的内心,AI,平分,CAB,CAI=,BAI.,由平移,得,AC,DI,CAI=,AID,.,BAI=,AID,.,AD=DI.,同理,得,BE=EI,.,DIE,的周长,=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=,4,即图中阴影部分的周长为,4,.,故选,B,.,当堂检测,2,B,以,图形折叠为背景求角是近年来中考的热点问题,通常是把某个图形按照给定的条件折叠,通过折叠前后图形变换的相互关系来命题,.,折叠型问题立意新颖,变化巧妙,对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效,.,解决,这类问题首先要熟练掌握折叠的性质,明确哪些量在折叠前后是不变的,利用这些不变的量将已知和未知建立起联系,从而顺利解决问题,.,返回子目录,题型讲解,方法点拨,解决,此类问题,要掌握以下知识,:,(1),折叠的性质,:,位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形,;,满足折叠性质,即折叠前后的两部分图形全等,对应角相等,.,(2),找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系,.,(3),一般运用平行线,角平分线,三角形全等,直角三角形,相似三角形等知识进行解答,.,解题技巧,如,图,矩形纸片,ABCD,AB=,4,BC=,3,点,P,在边,BC,上,将,CDP,沿,DP,折叠,点,C,落在点,E,处,PE,DE,分别交,AB,于点,O,F,且,OP=OF,则,cos,ADF,的值,为,(,),A,.,B,.,C,.,D,.,返回子目录,分析：,先证明,FEO,PBO,得出线段,EF,与线段,AF,DF,之间的数量关系,再根据勾股定理列方程求出,DF,即可求得,cos,ADF,的值,.,解析：,四边形,ABCD,是矩形,A=,B=,C=,90,DC=AB=,4,DA=BC=,3,.,CDP,沿,DP,折叠,得到,EDP,E=,C=,B=,90,DE=DC=,4,CP=PE,例题,3,C,解析：,在,FEO,与,PBO,中，,FEO,PBO,(AAS,),FE=PB,EO=BO,设,FE=,PB=x,则,CP=PE=,3,-x,BF=BO+OF=OE+OP=,PE=,3,-x,AF=AB-BF=,4,-,(,3,-x,),=x+,1,DF=DE-FE=,4,-x,在,Rt,DAF,中,由勾股定理,得,DA,2,+AF,2,=DF,2,即,3,2,+,(,x+,1),2,=,(4,-x,),2,解得,x=,DF=,4,-x=,cos,ADF=,=,=,故选,C,.,返回子目录,【,高分点拨,】,图形,折叠时会出现相等的线段和相等的角,解题时要善于转化相应的等量关系,利用勾股定理列方程求解是本题的关键,.,已知,一张三角形纸片,ABC,(,如图甲,),其中,AB=AC.,将纸片沿过点,B,的直线折叠,使点,C,落到边,AB,上的点,E,处,折痕为,BD,(,如图乙,),.,再将纸片沿过点,E,的直线折叠,点,A,恰好与点,D,重合,折痕为,EF,(,如图丙,),.,原三角形纸片,ABC,中,ABC,的大小为,.,返回子目录,解析,:,设,A=x,根据翻折不变性可知,A=,EDA=x,C=,BED=,A+,EDA=,2,x,AB=AC,ABC=,C=,2,x.,A+,ABC+,C=,180,5,x=,180,x=,36,ABC=,72,.,当堂检测,3,72,数据剖析,题型突破,3,以图形折叠为背景求线段长,四,以,图形折叠为背景求线段的长是近年来中考的热点问题,通常是把某个图形按照给定的条件折叠,通过折叠前后图形变换的相互关系来命题,.,折叠型问题立意新颖,变化巧妙,对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效,.,有关,图形折叠的相关计算,先要熟知折叠是一种轴对称变换,即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称,;,然后根据图形折叠的性质,即折叠前、后图形的对应边和对应角相等,对应点的连线被折痕垂直平分进行相关计算,.,返回子目录,题型讲解,方法点拨,折叠,问题中构造方程的方法,:,(1),用相似得方程,;,(2),把条件集中到一个直角三角形中,根据勾股定理得方程,.,解题技巧,以图形折叠为背景求线段长,四,如,图,在,O,中,点,C,在优弧,上,将弧,沿,BC,折叠后刚好经过,AB,的中点,D.,若,O,的半径为,AB=,4,则,BC,的长,是,(,）,A.2,B.3,C,.,D,.,返回子目录,分析：,连接,AC,DC,OD,根据折叠的性质,圆内接四边形的性质求得,A=,CDA,再根据勾股定理即可求出,BC,的长,.,例题,4,B,解析：,如,图,连接,AC,DC,OB,OC,OD,过点,C,作,CE,AB,于,点,E,过点,O,作,OF,CE,于点,F,在,上作点,D,关于,BC,的对称点,H,连接,BH,CH.,沿,BC,折叠,CDB=,H.,H+,A=,180,CDA+,CDB=,180,A=,CDA,CA=CD,.,CE,AD,AE=ED=,1,.,D,为,AB,的中点,AB=,4,OD,AB,BD=,2,.,又,OB=,OD=,1,.,四边形,OFED,为正方形,OF=EF=,1,.,又,OC=,CF=,2,CE=,3,.,又,BE=ED+BD=,3,BC=,3,.,返回子目录,【,高分点拨,】,利用,折叠的性质,找出相等的线段和角,结合正方形、全等三角形、圆内接四边形和勾股定理即可求解,.,如,图,ABC,的面积为,6,AC=,3,现将,ABC,沿,AB,所在直线翻折,使点,C,落在直线,AD,上的,C,处,P,为直线,AD,上的一点,则线段,BP,的长不可能,是,(,),A.3,B.4,C.5,.,5,D.10,返回子目录,解析,:,如图,过,B,作,BN,AC,于,N,BM,AD,于,M,将,ABC,沿,AB,所在直线翻折,使点,C,落在直线,AD,上的,C,处,CAB=,CAB,BN=BM,.,ABC,的面积等于,6,边,AC=,3,AC,BN=,6,BN=,4,BM=,4,即,点,B,到,AD,的最短距离是,4,BP,的长不小于,4,即,只有选项,A,的,3,不正确,故选,A.,当堂检测,4,A,返回子目录,(,2021,河北模拟,),如图,1,等边,ABD,与等边,CBD,的边长均为,2,将,ABD,沿,AC,方向向右平移,k,个单位到,ABD,的位置,得到图,2,则下列说法,:,阴影部分的周长为,4;,当,k=,时,图中阴影部分为正六边形,;,当,k=,时,图中阴影部分的面积是,;,正确的,是,(,),A,.,B,.,C,.,D,.,专题二,高效测评,C,解析：,如图所示,，,两个等边,ABD,CBD,的边长均为,2,将,ABD,沿,AC,方向向右平移到,ABD,的位置,AM=AN=MN,MO=DM=DO,OD=DE=OE,EG=EC=GC,BG=RG=RB,OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=,2,+,2,=,4,故,正确,;,k=,AF=,AM=AF,cos,30,=,1,MN=,1,MO=,(2,-,1),=,MO,MN,阴影部分不是正六边形,故,错误,;,阴影部分的面积,=,ABD,的面积,-,AMN,的面积,-,ODE,的面积,-,RGB,的,面积,=,=,故,正确,.,故,选,C.,2,.,(2021,石家庄模拟,),如图,在,ABC,中,C=,90,BC=,6,点,D,E,分别在,AB,AC,上,将,ABC,沿,DE,折叠,使点,A,落在点,A,处,若,CA=,AA,则折痕,DE,的长,为,(,),A.4,B.3,C.2,D,.,解析,:,ABC,沿,DE,折叠,使点,A,落在点,A,处,DEA=,DEA=,90,AE=AE,DE,BC,ACB,AED.,CA=,AA,AE=AE,AE=,AC.,ACB,AED,=,即,=,DE=,2,.,故,选,C.,C,3,.,(2021,保定模拟,),如图,在直角坐标系中,矩形,ABCO,的边,OA,在,x,轴上,边,OC,在,y,轴上,点,B,的坐标为,(1,3),将矩形沿对角线,AC,翻折,点,B,落在点,D,的位置,且,AD,交,y,轴于点,E.,那么点,D,的坐标,为,(,),A,.,B.,C.,D,.,解析,:,如图,过,D,作,DF,AF,于,F,点,B,的坐标为,(1,3),AO=,1,AB=,3,根据折叠可知,CD=OA,而,D=,AOE=,90,DEC=,AEO,CDE,AOE,(AAS),OE=DE,OA=CD=,1,A,根据,折叠可知,CD=OA,而,D=,AOE=,90,DEC=,AEO,CDE,AOE,(AAS),OE=DE,OA=CD=,1,设,OE=x,那么,CE=,3,-x,DE=x,在,Rt,DCE,中,CE,2,=DE,2,+CD,2,(3,-x,),2,=x,2,+,1,2,x=,.,DF,AF,DF,EO,AEO,ADF,而,AD=AB=,3,AE=CE=,3,-,=,=,=,即,=,=,DF=,AF=,OF=,-,1,=,点,D,的坐标为,.,故选,A.,4,.,(2020,邯郸模拟,),如图,在四边形,ABCD,中,点,M,N,分别在,AB,BC,上,将,BMN,沿,MN,翻折得到,FMN,若,MF,AD,FN,DC,则,D,的度数,为,(,),A.115,B.105,C.95,D.85,解析,:,MF,AD,FN,DC,FMB=,A=,100,BNF=,C=,70,B+,F=,360,-,100,-,70,=,190,根据翻折的性质可知,B=,F,B=,95,D=,360,-,100,-,70,-,95,=,95,故选,C,.,C,5,.,(2020,石家庄模拟,),如图,在矩形,ABCD,中,E,是,AB,边的中点,沿,EC,对折矩形,ABCD,使点,B,落在点,P,处,折痕为,EC,连接,AP,并延长,AP,交,CD,于点,F,连接,CP,并延长交,AD,于点,Q.,给出以下结论,:,四边形,AECF,为平行四边形,;,PBA=,APQ,;,FPC,为等腰三角形,;,APB,EPC.,其中正确结论的个数,为,(,),A.1,B.2,C.3,D.4,B,解析,:,由折叠可知,EC,PB,EB=EP,E,是,AB,的中点,EA=EB=EP,.,APB=,90,即,AF,PB,.,AF,EC.,又,AB,CD,四边形,AECF,是平行四边形,可见结论,正确,.,EPQ=,EPC=,90,且由,知,APB=,90,APQ=,EPB.,EP=EB,EPB=,PBA,.,PBA=,APQ,可见结论,正确,.,若,FPC,是等腰三角形,则,FCP=,FPC=,APQ=,PBA,PCB=,PBC,.,PB=PC.,又,PC=BC,PBC,是等边三角形,.,由所给条件只能推出,PBC,是等腰三角形,可见结论,错误,.,若,APB,EPC,则,PB=PC,同,可知,这个结论不一定能推出,可见结论,错误,.,综上所述,结论,正确,即有,2,个正确结论,故选,B,.,6,.,(2020,苏州模拟,),如图,矩形,ABCD,中,BC=,4,DC=,2,以,AD,为直径的半圆,O,与,BC,相切于点,E,连接,BD,则阴影部分的面积为,.,(,结果保留,),解析,:,如图,连接,OE,.,阴影,部分的面积,=S,BCD,-,(,S,正方形,OECD,-S,扇形,OED,),=,2,4,-,=,.,7,.,(2020,杭州模拟,),如图,在,Rt,ABC,中,B=,90,C=,30,O,为,AC,上一点,OA=,2,以,O,为圆心,以,OA,为半径的圆与,CB,相切于点,E,与,AB,相交于点,F,连接,OE,OF,则图中阴影部分的面积是,_,.,解析,:,在,Rt,ABC,中,B=,90,C=,30,A=,60,.,又,OA=OF,OAF,是等边三角形,AOF=,60,COF=,120,.,BC,与,O,相切于点,E,OE,BC.,在,Rt,OCE,中,OEC=,90,C=,30,OE=,2,OC=,2,2,=,4,.,在,Rt,ABC,中,C=,30,AC=AO+OC=,2,+,4,=,6,AB=,3,BC=AC,cos,C=,6,=,3,.,如图,设,O,与,AC,相交于点,D,过点,O,作,OG,AF,于点,G,则,OG=OA,sin,A=,2,=,.,S,ABC,=,AB,BC=,3,3,=,S,AOF,=,AF,OG=,2,=,S,扇形,DOF,=,=,S,阴影部分,=,S,ABC,-S,AOF,-S,扇形,DOF,=,-,-,=,-,.,8,.,(2020,河北预测,),如图,先有一张矩形纸片,ABCD,AB=,4,BC=,8,点,M,N,分别在矩形的边,AD,BC,上,将矩形纸片沿直线,MN,折叠,使点,C,落在矩形的边,AD,上,记为点,P,点,D,落在,G,处,连接,PC,交,MN,于点,Q,连接,CM.,下列结论,:,CQ=CD,;,四边形,CMPN,是菱形,;,P,A,重合时,MN=,2,;,PQM,的面积,S,的取值范围是,3,S,5,.,其中正确,的,_(,把正确结论的序号都填上,),.,解析,:,如图,1,PM,CN,PMN=,MNC,MNC=,PNM,PMN=,PNM,PM=PN.,又,NC=NP,PM=CN.,又,MP,CN,四边形,CNPM,是平行四边形,.,又,CN=NP,四边形,CNPM,是菱形,故,正确,.,CP,MN,BCP=,MCP,MQC=,D=,90,.,CM=CM,若,CQ=CD,则,Rt,CMQ,Rt,CMD,(HL),DCM=,QCM=,BCP=,30,这个不一定成立,故,错误,.,点,P,与点,A,重合时,如图,2,设,BN=x,则,AN=NC=,8,-x,在,Rt,ABN,中,AB,2,+BN,2,=AN,2,即,4,2,+x,2,=,(8,-x,),2,解,得,x=,3,CN=,8,-,3,=,5,AC=,=,4,CQ=,AC=,2,QN=,=,MN=,2,QN=,2,.,故,正确,.,当,MN,过点,D,时,如图,3,此时,CN,最短,四边形,CMPN,的面积最小,则,S,最小值,=,S,菱形,CMPN,=,44,=,4,当点,P,与点,A,重合时,CN,最长,四边形,CMPN,的面积最大,则,S,最大值,=,54,=,5,4,S,5,故,错误,.,故答案为,.,9,.,(2020,唐山模拟,),如图,C,为半圆内一点,O,为圆心,直径,AB,长为,2 cm,BOC=,60,BCO=,90,将,BOC,绕圆心,O,逆时针旋转至,BOC,点,C,在,OA,上,则边,BC,扫过区域,(,图中阴影部分,),的,面积,为,cm,2,.,(,结果保留,),解析,:,BOC=,60,BOC,是,BOC,绕圆心,O,逆时针旋转得到的,BOC=,60,BCO,BCO,BOC=,60,CBO=,30,BOB=,120,.,AB=,2 cm,OB=,1 cm,OC=,cm,BC=,cm,S,扇形,BOB,=,=,(cm,2,),S,扇形,COC,=,=,(cm,2,),阴影部分面积,=S,扇形,BOB,+S,BCO,-S,BCO,-S,扇形,COC,=S,扇形,BOB,-S,扇形,COC,=,-,=,.,10,.,(2020,大连模拟,),将纸片,ABC,沿,DE,折叠使点,A,落在,A,处的位置,.,(1),如果,A,落在四边形,BCDE,的内部,(,如图,1),A,与,1,+,2,之间存在怎样的数量关系,?,并说明理由,;,(2),如果,A,落在四边形,BCDE,的,BE,边上,这时图,1,中的,1,变为,0,角,则,A,与,2,之间的关系是,;,(3),如果,A,落在四边形,BCDE,的外部,(,如图,2),这时,A,与,1,2,之间又存在怎样的数量关系,?,并说明理由,.,2,A=,2,解,:(1),如图,1,中,2,A=,1,+,2,理由,:,沿,DE,折叠,A,和,A,重合,AED=,AED,ADE=,ADE.,AED+,ADE=,180,-,A,1,+,2,=,180,+,180,-,2(,AED+,ADE,),1,+,2,=,360,-,2(180,-,A,),=,2,A.,(2),如图,2,2,=,A+,EAD=,2,A,故答案为,2,A=,2,.,(3),如图,3,2,A=,2,-,1,理由,:,沿,DE,折叠,A,和,A,重合,A=,A.,DME=,A+,1,2,=,A+,DME,2,=,A+,A+,1,即,2,A=,2,-,1,.,
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