姚启钧光学课件--第二章（ ）

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主 要 内 容,一、光的衍射现象、二、惠更斯菲涅耳原理,三、菲涅耳半波带、四、菲涅耳衍射圆孔和圆屏,五、夫琅和费单缝衍射、六、夫琅和费圆孔衍射,七、平面衍射光栅,第2章 光的衍射, Diffraction of Light,光的干涉是研究两列或两列以上光波的相互叠加问题。,光的衍射研究光波本身传播行为，它进一步揭示了光,的波动性的本质。,2.1,惠更斯-菲涅耳原理,一切波动都能绕过障碍物向背后传播性质,。,例如，户外的声波可绕过树木，墙壁等障碍物而传到室内，无线电波能够绕过楼房，高山等障碍物而传到收音机、电视里等。,波遇到障碍物时偏离原来直线传播方向的现象称为,波的衍射。,光波在传播中遇到障碍物，,能够绕过障碍物的边缘,而,偏离直线传播,在光场中形成明暗变化的光强分布的现象叫,光的衍射,。,光学,一、光的衍射现象,首先我们来做一个实验，让一单色强光源激光发出的光波，通过宽度为d且连续可调的竖直狭缝上，那么在狭缝后的屏上将发现：当d足够大时，在屏上看到的是一个均匀照明的光斑，光斑的大小为狭缝的几何投影。这与光的直线传播相一致。,逐渐减狭缝的宽度，屏上亮纹也逐渐减小，当狭缝的宽度小到一定程度，亮纹将沿于狭缝垂直的水平方向扩展弥漫。同时出现明暗相间的衍射图样，中央亮纹强度最大，两侧递减，衍射效应明显，缝宽越窄，对入射光束的波限制越厉害，那么衍射图样扩展的越大，衍射效应越显著。,屏幕,E,a,S,光源,(b),b,单缝,K,a,b,S,光源,(a),屏幕,E,L,L,衍射屏,像屏,像屏,*,S,衍射屏,a,*,S,圆孔衍射,单缝衍射,刀片边缘的衍射,圆盘衍射,泊松点,透过手指缝看日光灯，也能看到衍射条纹。,总结上述实验，,光的衍射现象有如下规律,：,1. 光在均匀的自由空间传播时，因光波波面未受到限制，那么光沿直线传播。当遇到障碍物时，光波面受限，造成光强扩展，弥漫，分布不均匀，并偏离直线传播而出现衍射现象。,2,.,光波面受限越厉害，衍射图样扩展越显著。光波面在衍射屏上哪个方向受限，接受屏上的衍射图样就在哪个方向扩展。,3,.,衍射现象的出现与否，还决定于障碍物的线度和波长的相对大小，只有障碍物的线度和波长可以相比拟时，衍射现象才明显地表现出来。,一些波的波长,声 波：几十米 无线电波：可达几百米,超声波：可小至几毫米 微 波：几毫米,光 波：约为390nm760nm,2、惠更斯原理的表述,任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各自发出球面波；,在以后的任何时刻，所有这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。,“次波假设。,3、惠更斯原理的图示如下：,2.1 惠更斯-菲涅耳原理,光学,二、惠更斯原理,1,、,波面,等相位点的轨迹,波前,波源前的任何一个曲面,惠更斯原理图示,S,1,2,r,r,=,vt,1,2.1 惠更斯-菲涅耳原理,光学,4、惠更斯原理的成功与失败,可以解释光的直线传播、反射、折射和双折射现象；, “子波的概念能定性解释光的拐弯现象，但不能说明在不同方向上波的强度分布，即不能解释波的衍射。也不能解释波的干涉现象未涉及波长等；,而且由惠更斯原理还会导致有倒退波的存在，而实际上倒退波是不存在的；,原理描述粗糙、简单，缺乏定量描述。,2.1 惠更斯-菲涅耳原理,光学,三、惠更斯-菲涅耳原理,2.1 惠更斯-菲涅耳原理,光学,菲涅耳在惠更斯提出的子波假设基础上，又增添了两条：,1提出了“子波相干叠加的概念。,从同一波阵面上各点发出的子波，在传播过程中相遇时，也能相互叠加而产生干涉现象，空间各点波的强度，由各子波在该点的相干叠加所决定。,2) 给出了子波的数学表达式。,1. 惠更斯菲涅耳原理,波面,S,上每个面积元 dS 都可以看成新的波源，它们均发出次波。波面前方空间某一点,P,的振动可以由,S,面上所有面积元所发出的次波在该点叠加后的合振幅来表示。,面积元 dS所发出的次波的振幅和相位符合以下四个假设：, 所有次波都有相同的初相位令0 = 0), 次波是球面波,K,(,):,方向因子,(无倒退子波),次波在P点处的相位落后于,dS,处振动的相位，落后的值为,ds子波源发出的子波在P点引起的振动为：,波阵面上所有,dS,面元发出的子波在,P,点引起的合振动为,:,夫 琅 禾 费 衍 射,光源、屏与缝相距无限远,缝,菲 涅 耳 衍 射,缝,光源、屏与缝相距有限远,在实验中实现,夫琅禾费衍射,2.衍射现象的分类：,2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射,使用菲涅耳衍射积分公式计算,菲涅耳衍射场,十分复杂不易严格求解。,在衍射屏具有对称性的一些简单情况下，用代数加法或矢量加法代替积分运算，可以十分方便地对衍射现象作,定性或半定量,的解释。,本节主要介绍使用菲涅耳半波带法和矢量叠加法处理菲涅耳圆孔和圆屏衍射的问题。,光学,一,、,菲涅耳半波带,现以点光源为例说明惠更斯菲涅耳原理的应用。如图：,O,为点光源，,S,为任一时刻的波面，,R,为半径。,为了确定光波到达对称轴上任一点P时波面S所起的作用，连,O,，P与球面相交于B,0,点，B,0,点称为P点对于波面的极点。,令,PB,0,r,0,，,设想将波面分为许多环形带，使从每两个相邻带的相应边缘到P点的距离相差半个波长。,O,S,P,R,B,0,B,1,B,2,B,3,r,0,r,1,=r,0,+/2,r,3,=r,0,+3(/2),r,2,=r,0,+2(/2),r,k,=r,0,+k(/2),即,在这种情况下，由任何相邻两带的对应部分所发出的次波到达P点时的光程差为,/2,，即它们的相位差为,，这样分成的环形带叫做,菲涅耳半波带,，简称,半波带,。,二、合振幅的计算,以a,1,、a,2,、a,3,、,分别表示各半波带发出的次波在,P,点所产生的振幅。,由于相邻两个半波带所发出的次波到达P点时相位相差,，所以,k,个半波带所发出的次波在,P,点叠加的合振幅A,k,为：,下面来比较a,1,、a,2,、a,3,、,的大小。按惠更斯,菲涅耳原理，第k个半波带所发次波到达P点的振幅为：,为了计算,如图，求球冠的面积：,（,1,）,O,由图可得余弦定理,将1、2式分别微分得,O,（,1,）,由上两式可得：,由上两式可得：,因为,r,k,，,故可将,dr,k,看着相邻半波带间,r,的差值,/2,，,ds,看着半波带的面积，于是有,由此可见：,与,k,无关,即它对每一个半波带都是相同的，所以 只决定于倾斜因子,K,(,k,),了。,O,从一个半波带到与之相邻的半波带，,k,变化甚微。,K,(,k,),随着倾角的增大，而缓慢地逐渐减小,。,当,k,时，,K,(,k,),0,由此可得,由于任何相邻两带的对应部分所发出的次波到达P点时的光程差为,/2，故它们的相位差逐个差,。,故P点处合振动的振幅为：,由于各半波带在,P,点的振幅其大小是缓慢的单调下降，因此近似地,有：,故P点处合振动的振幅为：,对自由空间传播的球面波，波面为无限大，k，ak 0，那么对于给定轴线上的一点P的振幅为：,即球面波自由传播时，每各球面波上各次波,波源在,P,点产生的合振动等于第一个半波带在,P,点产生的振动,振幅得一半,，强度为,它的,4,分之,1,。,综合有：,各半波带在,P,点引起的振动可以用上下交替的矢量来表示。为清楚起见，将各矢量彼此错开，如图,奇数个半波带,偶数个半波带,矢量,a,1,的起点在某一水平基线上，其余各矢量的起点都与前一矢量的终点等高，,从基线指向最末一矢量a,k,终点的即为合振动A,k,的振动矢量。,矢量合成法,三、菲涅耳圆孔衍射,光学,2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射,光学,将一束光例激光投射在一个圆孔上，并在距孔12m处放置一接收屏，可观察衍射图样。,根据前面的讨论，对圆孔后光强起作用的半波带数量有,k,个。,O,2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射,由此可见，想知道圆孔衍射场轴线上某点是,亮点,还是,暗点，,必须知道圆孔所包含的半波带数目。,如图，,O,点为点光源，光通过光阑上的圆孔，圆孔半径为R,h,，,S,为光通过圆孔时的波面。设圆孔包含有,k,个整数半波带。,由于hr0，那么h2可略去,O,P,又因为,(,略去,),由1、2、3式可得,O,P,由上式可见，圆孔包含的,半波带的数目,和圆孔的半径,R,h,，圆孔到,P,点的距离,r,0,，以及入射光波的波长,，还有点光源到衍射屏距离,R,都有关。,当R,h,、R、,一定时，改变r,0,，即改变光屏的位置，我们可以看到，光屏的中心点会有时明时暗的变化。,O,P,P点的合振幅的大小取决于露出的波带数, 而波带数又取决于圆孔的位置和大小,如果对于P点露出的波带数为整数，为奇数相对应的那些点，合振幅较大；偶数相对应的那些点，合振幅较小,如果带数不是整数，那么合 振幅介乎上述最大值和最小值之间,结论：当置于P处的屏沿着圆孔的对称轴线移动时，将看合振幅到屏上的光强不断地变化,四、菲涅耳圆屏衍射,当点光源发出的光通过圆屏盘衍射时,由于圆屏不透明，被圆屏挡住部分的波面对轴线上p点的光强将没有贡献。,设圆屏遮蔽了开始的,k,个半波带，从第,k+1,个半波带开始，其余所有的半波带所发出的次波都能到达,P,点。,这些半波带的次波在,P,点叠加后振幅为,:,因,m,，所以,a,m,0,O,波面,S,R,B,0,r,0,r,k,=r,0,+k(/2),R,h,P,因此,当,k,不是很大时，有,即,P,点的光强近似等于光在自由空间传播时的光强。应该是一个亮点。,此亮点称为泊松Possion 17811840亮斑。这是几何光学中光的直线传播所不能解释的。,1818,年泊松在巴黎科学院研究菲涅尔论文时，推导出圆盘轴线上应是亮点。,后来由,阿拉果,在实验中观察到圆屏衍射轴线上的亮点，证明了惠更斯,菲涅耳原理的正确性。,泊松Poisson 17811840法国数学家。 1812年当选为巴黎科学院院士。,泊松对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。他一生共发表300多篇论著。,阿拉果Arago 17861853 法国科学家,五、波带片,从前面的讨论可知，在相对于P点划分的半波带中，奇数序1、3、5. 或偶数序半波带所发出的次波在P点是同相位的，而奇数序和偶数序半波带所发出的次波在P点是反相的相差的奇数倍。,假设做一个特殊光阑，使之只允许序数为奇数的半波带或序数为偶数的半波带透光，那么P点的振幅为同相位各次波叠加，因此叠加后将会振幅很大。,如图，假设只允许序数为奇数的半波带透光，那么P点的合振幅为:,如图，假设只允许序数为偶数的半波带透光，那么P点的合振幅为 :,此时,P,点为光强很强的亮点。把这种特殊光阑称为,菲涅耳波带片,。,直线传播与衍射的联系,有遮蔽 波面不完整 一些次波不能到达观测点 光强分布不均匀 衍射现象,无遮蔽 波面完整 所有次波都能到达观测点 光强分布均匀 光沿直线传播 衍射现象的极限,光传播 次波叠加 衍射,无论光是直线传播还是具有明显的衍射现象，都遵循惠更斯-菲涅尔原理。,例题,：一块波带片的孔径内有,20,个半波带，其中第,1,、,3,、,5,、,19,等,10,个奇数带露出。第,2,、,4,、,6,、,20,等,10,个偶数带遮蔽，试分析轴上场点的光强是自由传播时光强的多少倍？,解：波带片在轴上场点的振幅为,自由传播波面不受限，轴上场点的振幅为,那么它们的振幅之比为,光强之比为,光学,2.3 夫琅和费单缝衍射,1、衍射装置与衍射花样,2.3 夫琅和费单缝衍射,光学,f,f,0,透镜L,透镜L,衍射屏,像屏,b,p,*,S,B,A,b,:缝宽,S,:,波长,单色光源, : 衍射角向上为正，向下为负,2、光路图,中央,明纹,单缝衍射图样的主要规律：,(1),中央亮纹最亮；,中央亮纹宽度是其他亮纹,宽度的两倍；,其他亮纹的宽度相同；,亮度逐级下降。,(2)缝 b 越小，条纹越宽。,即衍射越厉害,(3)波长,越大，条纹越宽。,屏幕,屏幕,如何解释这些实验规律？,3、惠更斯菲涅耳原理分析衍射过程,平行衍射光的获得,设平行入射光垂直投射到缝K上，其波前与缝平面AB重合。按惠更斯原理，波前上的每一点都可看成发射球形子波的波源，而每个子波源都可以向前方各个方向发出,无穷多束光线,，统称为,衍射光,，如图中A点的1，2，3光线都是衍射光线。,A,B,K,O,O,/,L,1,2,3,每个子波源所发出的沿同一方向的平行光构成了一束,平行衍射光。,如光线系1，光线系2，等构成无穷多束平行衍射光。,平行衍射光的获得,A,B,K,O,O,/,L,1,2,3,平行衍射光的方向,每一个方向的平行光与单缝法线方向之间的夹角用表示， 称为衍射角，衍射角的变化范围为0/2 向上为正，向下为负。,A,B,b,x,P,P,b,S,L,1,L,2,B,B,f,P,0,x,显然，对于,=0的这束平行光，其波面与缝平面BB重合，BB上各个点光源的相位相同，设初相均为0。其中从BB发出的每条光线到达,P,0,的光程都相等，因而在,P,0,叠加，振动相互加强，,P,0,点处,为,中央亮纹。,将狭缝分成一系列平行于缝长的宽度为,dx,的窄带，每个窄带是为发射子波的波源。,=0,的衍射光：,P,b,S,L,1,L,2,B,B,f,P,0,设,P,0,点处的合振动振幅为A,0,， A,0,应是所有沿,=0的子波在,P,0,点处引起的振幅,a,i,的简单相加，所以宽为d,x,的窄带波源发出的子波在,P,0,点引起的振动振幅为 。,x,B,B,b,x,P,D,x,x,M,N,f,0,的衍射光：,波前BB分割成许多等宽窄带,dx,初位相,整个狭缝所发次波在,=0,的方向上的合振幅,宽度,dx,窄带所发次波的振幅,M点处宽度,dx,窄带作为发射次波的波源的振动方程,M点处宽度,dx,窄带所发次波沿MN方向经透镜到达P点的光程,r,是N到P的光程,M点所宽度,dx,窄带发次波传到P点,引起振动：,复振幅：,令,P点处的合振幅：,P点处的光强：,4、光强分布,由,极值,(1) 主极大中央明纹中心位置：,当,=0,时，,仍由,(2) 极小暗纹位置：,即：,这时,得,或,3次最大值位置：两相邻最小值之间有一最大值,由：,除 ,极大（零级）,得,即,次明纹(中心),：,4各级亮纹强度分布是不均匀的,以中央明纹的强度为1，那么,第一级明纹为4.7%,第二级明纹为1.7%,第三级明纹为0.83%,/,b,-(,/,b,),2(,/,b,),-2(,/,b,),sin,0.047,0.017,1,0,相对光强曲线,0.047,0.017,总结：衍射图样中明、暗纹公式,中央明纹(中心):,即,=,0,次明纹,(中心),：,暗条纹,(中心),：,5.条纹位置,故,次,明,纹位置：,暗,纹位置：,6、条纹宽度,中央亮纹角度宽度,:,条纹对透镜中心的张角,2,1,。有时也用,半角宽度,描述。,x,I,0,x,1,x,2,衍射屏,透镜,观测屏,x,0,f,1,由,暗纹条件：,这一关系称衍射反比律,得,第一暗纹的衍射角,中央明纹角宽度：,光学变换放大,限制和扩展,.,2,.,1,中央明纹的线宽度,：为正负第一暗纹间距,。,中央明纹(,主极大,),宽度,:,x,I,0,x,1,x,2,衍射屏,透镜,观测屏,x,0,f,1,屏幕,屏幕,屏幕,x,2,x,I,0,x,1,衍射屏,透镜,像屏,x,0,f,2,对K级暗纹有,其他各级明纹的宽度,为相邻暗纹间距,角宽度,线宽度,可见中央明纹约为其他各级明纹宽度的两倍。近似值,单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？,入射波长变化，衍射效应如何变化？,越大， 越大，衍射效应越明显,.,入射白光，那么中央亮斑仍为白，其它各级为彩色。,当缝宽比波长大很多时，形成单一的明条纹，这就是透镜所形成线光源的象。显示了光的直线传播的性质。,因为衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相同位置上。,O,b,O,b,单缝位置对光强分布的影响,单缝上下移动，,条纹位置不变。,条纹位置如何？,例题1. 波长为,= 632.8 nm 的He-Ne激光垂直地投射到缝宽,b,= 0.0209 mm 的狭缝上。现有一焦距,f,=,50 cm 的凸透镜置于狭缝后面，试求：,(1) 由中央亮条纹的中心到第一级暗纹的角距离为多少？,(2) 在透镜的焦平面上所观察到的中央亮条纹的线宽度是多少？,x,I,0,x,1,x,2,衍射屏,透镜,观测屏,x,0,f,1,解1：(1)根据单缝衍射的各最小值位置公式,令 k = 1，将条件代入上式，得,由于 1 很小，可以认为,x,I,0,x,1,x,2,衍射屏,透镜,观测屏,x,0,f,1,(2)由于,1,十分小，故第一级暗条纹到中央亮条纹中心的距离,x,1,为,因此中央亮条纹的宽度为,x,I,0,x,1,x,2,衍射屏,透镜,观测屏,x,0,f,1,一、衍射装置和衍射条纹,2.4 夫琅和费圆孔衍射,光学,Source,Lens,1,Circular Aperture,Lens,2,Screen,夫琅和费圆孔衍射图样中央是一很亮的圆斑,集中了衍射光能量的83.8%, 通常称为艾里斑.因为夫琅禾费圆孔衍射的光强分布，首先由英国天文学家艾里S. G. Airy,1801-1892)导出的。它的中心是点光源的几何光学像。,圆孔的夫琅禾费衍射,照片,二、强度分布公式和分布曲线,2.4 夫琅和费圆孔衍射,光学,根据惠更斯,菲涅耳原理，采用积分法可以推导在平行光垂直入射时，夫琅禾费圆孔衍射的光强分布公式，由于推导过程较繁琐，因此在此只给出结果。,其中,假设用一阶贝塞尔函数符号表示。那么有：,以 sin 为横坐标，以 IP/I0 为纵坐标，那么光强分布用曲线表示为.,夫琅和费圆孔衍射光强分布曲线,由光强分布公式可得：,中央最大值的位置为：,最小值的位置为：,次最大值位置为：,最大与次最大值的相对强度为：,I /I,0,1.0,0.5,0,0.610,1.116,0.0175,0.0042,强度分布图示,1.619,I/I,0,1.0,0.5,0,0.610,1.116,0.0175,0.0042,1.619,衍射图和强度分布曲线,艾里斑,：艾里斑直径,1,：艾里斑的半角宽度,假设透镜L的焦距为 f ,那么艾里斑的线半径为:,夫琅和费圆孔衍射中艾里斑的半角宽度：,除了一个反映几何形状不同的因数外，二者一致的。,即当,/D,d，,试分析夫琅禾费衍射图样。,解：,圆孔的衍射图样只取决于圆孔的直径，而与圆孔的位置是否偏离透镜主轴无关。,根据几何光学的知识，凡是平行于主轴的任何光线，经透镜折射后，都将会聚于主焦点，或者说从波面上所有点发出的次波，经过透镜而到达焦点,F,都有相同的光程。,因此中央最大值的位置是在透镜的主轴上，而和圆孔的位置无关。直径完全相同的两个圆孔并排时，由它们产生的两个衍射图样也完全相同，而且完全重合。圆孔衍射图样如图。,另一方面，两个圆孔的光波之间还会产生干涉，因此整个衍射图样是受单圆孔衍射调制的杨氏干涉条纹。,杨氏双孔干涉的条纹形状应为双曲线族：,圆孔衍射图样如图,衍射图样与干涉图样叠加的结果应为：,由夫琅禾费圆孔衍射，艾里斑的半线宽度为：,由杨氏双孔干涉的条纹间距为：,由于,Dd，,因此,y,l ,即艾里斑内至少有一对杨氏干涉暗条纹。,76,双圆孔衍射图,例,一束直径为 2mm 的 He-Ne 激光器发出的激光投向月球。月球和地球的距离为 3.76105 km，试问在月球上得到的光斑的直径有多大？假设这激光束经扩束器扩展成直径分别为 2m 和 5m ，再发向月球，试问在月球表面上的光斑各为多大？,解 根据夫琅禾费圆孔衍射图样的第一最小值位置表式，得,那么艾里斑的直径为,假设经扩束成2m，即扩展103倍，那么艾里斑缩小103倍，即艾里斑直径为290m. 假设经扩束成5m，即扩展2 500倍，艾里斑的直径为116m .,2.5 平面衍射光栅,光学,1.,定义：,衍射光栅：,狭义：,大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成,的光学元件,广义：任何具有空间周期性的衍射屏都可以叫做,衍射光栅,2.种类：,3.性质：,光栅是分解复色光的精密光学,装置。,4.用途：,形成光谱。,反射光栅,透射光栅,光栅的种类虽然很多但其基本原理是相似的，下面以平面透射光栅为例讨论光栅衍射的基本原理。,一、实验装置,S,*,屏幕,设光栅各缝的宽度都等于,b,，相邻两缝间不透明部分的宽度都等于,a,。,光栅常数：,d = a + b,d,约10,-2,10,-3,mm,定义,a,b,它反映光栅的空间周期性，其倒数表示每毫米内有多少条狭缝，称为光栅密度，实验室内常用6001200/mm的光栅。,二、光栅衍射图样的特征,与单缝衍射图样相比，多缝衍射的图样中出现一系列新的强度最大值和最小值；,主最大的位置与缝数无关，但它们的宽度随缝数的增大而减小，其强度正比于缝数平方；,相邻主最大之间有N一1条暗纹和N一2个次最大；,强度分布中保留了单缝衍射的因子。,I,sin,q,0,4,8,-,4,-,8,(,l,/d ),光栅衍射,光强曲线,I,sin,q,0,4,8,-,4,-,8,(,l,/d ),轮廓线,三、光栅衍射规律,光栅,是由许多单缝组成的，每个缝都在屏幕上各自形成单缝衍射图样，由于各缝的宽度均相同，故它们形成的衍射图样都相同，,每个缝的衍射图样是否错开？,以双缝为例 设每个缝宽均为,b,，,b,d,f,透镜,假设只开上缝,衍射的中央亮纹在何处?,假设只开下缝,衍射的中央亮纹在何处?,只要透镜光心的相对位置不变,那么两套条纹的位置是完全一样的。,I,每个缝的衍射图样重叠,相干叠加,f,透镜,各单缝的衍射光在屏幕上重叠时，由于它们都是相干光，所以缝与缝之间的衍射光将产生干涉，因此还必须考虑由各缝发出的多光束之间产生的干涉。,光栅,每个缝形成的衍射图样都相同，且在屏幕上相互间完全重合.,可见：,光栅,衍射图案是,多缝干涉,与,单缝衍射,的共同作用形成的结果.,四、光栅衍射的强度分布,光栅有N条狭缝,缝宽为b,光栅常数为d,o,焦距,f,像屏,透镜,L,P,d,sin,d,缝平面,G,a,b,x,由于透镜L,2,的作用，来自不同的狭缝的,方向衍射光会聚在屏幕上同一点，形成多光束干涉,在夫琅和费远场条件下，各缝在P点产生的振动，振幅相同，相位不同.相邻两缝在,方向上的光程差为,相邻两个缝到 P点的相位差为,设最上面的狭缝在P点的光振动相位为零,那么各单缝在P点产生的复振幅分别为,o,焦距,f,像屏,透镜,L,P,d,sin,d,缝平面,G,a,b,x,于是P点的复振幅为：,其中,P,点处衍射光强：,式中,光强公式中,称为衍射因子,称为缝间干涉因子.,可见光栅衍射的光强是单缝衍射图样和缝间干涉因子的乘积。单缝衍射因子对干涉主最大起调制作用。,双重因素,光柵衍射包含单缝衍射和缝间子波相互干涉两种因素,每条单缝都产生同样的单缝衍射图样,缝与缝之间的子波干涉产生干涉条纹,各条纹的强度受单缝衍射条纹强度调制,缝数增多,缝间干涉明纹变细.,缝数很多,缝间干涉形成一系列很细的干涉明纹,各明纹的极值受单缝衍射因素的调制.,1干涉因子：,a干涉主极大：,即,时,称为光栅方程,当,时,由,在屏幕的中心,光强为,光强取得最大值:,o,焦距,f,透镜,L,P,d,sin,d,a,b,x,主极大角位置,sin,= 0,，,/,d,，,2,/ d,，,和缝数无关,o,焦距,f,像屏,透镜,L,P,d,sin,d,缝平面,G,a,b,x,条纹位置,：,因,很小，故,条纹最高级数,:,光栅常数越小，明纹间相隔越远,；入射光波长越大，明纹间相隔越远,由,得：,由于衍射角,不可能大于,90,，所以主最大的级次,j,max,满足,:,例如，当d 时，那么,只可能有,j,0,，,1,，,2,的级次的主最大，而无更高级次的主最大。,假设 d ，除零级主最大外，别无其它级主最大存在。,因此可以看出，光栅衍射主最大的数目最多为：,b干涉极小,在光强公式中，两因子中任一因子为零，P点的光强都会为零. 对于干涉因子,可以得最小光强,当,时,因此最小值暗纹的位置满足：,即,即,的整数。,因此,两个干涉主极大之间有(N-1)个由于干涉产生的光强为零的最小值.,从主最大的中心到其一侧的附加第一最小值的角距离就是每一主极大谱线的,半角宽度,。,第,j,级主极大明纹满足：,最靠近k级主极大的第一级极小：j=Nj+1,对第,j,级来说：,因此,c主极大的半角宽度,可见,Nd,愈大，,愈小，谱线愈窄，锐度愈好。,次最大的角位置可由,求得,可以证明，各级次最大的光强远比主最大弱得多。其值不超过零级主最大的,1/23,，所以次最大和暗纹实际上混成一片，形成光强很弱的黑暗背景。对于总缝数,N,很大的光栅，次级大完全观察不到。,因为在两相邻主最大之间有,N,1,个暗纹，而相邻两零光强暗纹之间应有一个次最大。,因此，,两相邻主最大之间必有,N,2,个次最大,。,(d),干涉次极大,即：当 时，衍射因子为零.光强亦为零。,(2) 衍射因子,得,五、光栅光强分布曲线,对于一定的波长来说，由光栅方程各级谱线之间的距离由光栅常量,d,决定。,由前面的学习知道，缝间干涉因子决定主最大、次最大和暗纹的角位置，它们的强度分布还要乘上单缝衍射因子。,缝间干涉因子与单缝衍射因子相乘，就得到实际光强分布。单缝衍射因子的变化曲线可看作是各级主最大的强度的包络线。从而使不同级的主最大具有不同的强度。,如图,六、主最大谱线的缺级,假设本应该由相应级的干涉主最大出现的地方，恰好是单缝衍射的暗纹所在的位置，此时合成光强为零，即本应该出现的主最大不再出现，这种现象称缺级。,缺级发生在衍射角，同时满足光栅方程主最大和单缝衍射极小两个条件的地方。,假设在某衍射方向是 k级衍射极小,又是j 级干涉主最大,那么有,由此两方程, 得,第,j,级干涉主极大被,k,级衍射极小调制掉.,例如,那么,等级次,被调制掉, 不出现.,结论：当d是b的倍数时，都会发生缺级。,由上式可见，光栅主最大的缺级,与波长无关，而由光栅参数决定。,七,、,光栅光谱,如果入射光是包含几种不同的波长的复色光，由光栅主极大满足的光栅方程：,那么除零级以外，各级主最大的位置各不相同。我们将可以看到在衍射图样中有几组不同颜色的谱线，分别对应于不同的波长。,把波长不同的同级谱线集合起来构成一组谱线，称为,光栅光谱,。,如果是白光，那么光栅光谱中除零级仍为一条白色亮线外，其它各色谱线都排列成连续的谱带，第二、三级后可能发生重叠。如图,紫,红,紫,紫,紫,紫,紫,红,红,红,红,红,由光栅方程可得其重叠条件为：,例题：平面透射光栅狭缝的宽度b=1.582*10-3mm,假设以波长的氦氖激光垂直入射在这个光栅上，发现第四级缺级，会聚透镜的焦距为1.5m,试求：1 屏幕上第一级亮条纹与第二级亮条纹的距离。2屏幕上所呈现的全部亮条纹数。,解：1设光栅中相邻两缝间不透明部分的宽度均等于a，光栅常数 d=a+b ，由第四级缺级。那么有,d,=4,b,4,10,-3,=6.328,10,-3,mm,且,4,，,8,，,12,，,的级次都缺级。,由光栅方程可知，第一级亮条纹和第二级亮条纹的角位置为：,假设会聚透镜的焦距为f,那么它们距中央亮条纹的中心位置的距离为：,因此,当,很小时，,二者之间距为：,假设考虑到j=4，8缺级，而j10实际上看不到。那么屏幕上呈现的全部亮条纹数为,2由光栅方程：,当sin1时，j最大，那么,，能看到的主最大最高级数为,干涉与衍射的区别与联系,联系：,波动的相干叠加，物理上的中心问题都是相位差。,区别：,干涉：有限的或彼此离散的无限多光束的叠加；每束光按直线传播；明暗条纹间距光强分布均匀，是对几束光的粗略分析。,衍射：无限多连续分布的次波叠加；每列次波都是波动的；明暗条纹间距光强分布相对集中，是对一束光的精细分析。,小 结,一、光的衍射现象,定义：光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强分布不均匀的现象。,2.,条件：障碍物的线度和光的波长可以比拟,二、惠更斯菲涅耳原理,波面,S,上每个面积元,dS,都可以看成新的波源，它们均发出次波。波面前方空间某一点,P,的振动可以由,S,面上所有面积元所发出的次波在该点叠加后的合振幅来表示。,三、菲涅耳半波带,任何相邻两带的对应部分所发出的次波到达P点时的光程差都为/2 ，即相位相反。,Ak=(a1ak)/2,四、菲涅耳波带片,只让奇数或偶数半波带透光的屏光学元件,五、衍射的分类,1. 菲涅耳衍射,2. 夫琅禾费衍射,六、平面透射光栅：,作业：,P111:,2，4，7，8，9，10，12，14，15,