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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,行列式知识点,行列式主要知识点网络图,概念,列排,逆序数，奇排列，偶排列,行列式,一般项是不同行不同列元素乘积代数和,性质,列排,1.D=D,T,2.,互换行列式的两行,(,列,),，行列式变号。,推论：若行列式两行,(,列,),相同，则行列式等,0,3.,某行,(,列,),所有元素同乘,k,，等于,k,乘行列式,推论：某行,(,列,),有公因子可提到行列式的外面,4.,若有两行,(,列,),成比例，则行列式等于,0,5.,若某一行,(,列,),所有元素均为两元素之和，则行列式可拆成两个行列式。,6.,某行,(,列,),的,k,倍加到另一行,(,列,),，行列式不变。,展开,列展开,行展开,计算方法,数学归纳法,加边法,定义法,递推法,公式法,拆项法,析因子法,应用,克拉默法则,齐次线性方程组有非零解的充要条件,下面我们通过例题来进一步巩固所学的内容，并更好的掌握理解方法和技巧，本章常见题型有,填空题、计算题、证明题,例,1,：问当,i,、,j,如何取值是，排列,2 1,i,3 7 6,j,9 5,为偶排列？,解：,令,i,=4,，,j,=8,，得排列为：,2 1,4,3 7 6,8,9 5,因为,t,( 21,4,376,8,95)=0+1+0+1+0+1+0+0+4=7,所以,21,4,376,8,95,为奇排列，与题意矛盾。,故取,i,=8,，,j,=4,，此时排列,2 1,8,3 7 6,4,9 5,为偶排列。,例,2,：写出四阶行列式中含有因子,a,11,a,23,的项。,解：,因行列式的项由不同行不同列的元素乘积构成。,即：,a,11,a,23,a,3,i,a,4,j,，其中,i,、,j,只能是,2,4,的取值。,所以有两项：,a,11,a,23,a,32,a,44,，,a,11,a,23,a,34,a,42,行标按自然数排列，那么列标排列的逆序数为：,t(1324)=1,，,t(1342)=2,所以,含有因子,a,11,a,23,的两项为,:,-,a,11,a,23,a,32,a,44,，,a,11,a,23,a,34,a,42,例,3,：已知四阶行列式,D,的第,2,行元素分别为,: -1, 0,2 ,4,第,4,行元素的,余子式,依次为：,2, 4,a, 4,求,a,=,？,解：,由已知得：,A,41,=-2,，,A,42,=4,A,43,=-,a,A,44,=4,由,行列式某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为零,，可知：,解得：,a,=9,例,4,，计算,3,阶行列式,解：,例,5,：计算四阶行列式,解：,解：第,(,n,-1),行的,(-1),倍加到第,n,行上，第,(,n,-2),行,(-1),倍加到第,(,n,-1),行上,以此类推，直到第,1,行,(-1),倍加到第,2,行上。,例,6,：计算,n,阶行列式,按第,1,列展开,n,-1,阶,例,7,（边加法）,解：,n,+1,阶,第,1,行,(-1),倍加到各行上,第,2,列、第,3,列,第,n,列,，,依次乘,后加到第,1,列上去。,例,8,：,用数学归纳法证明,证明：当,n=1,时，,结论成立。,当,n=2,时，,结论成立。,假设当,n,k,时结论成立，证,n,=,k,+1,时也成立,按第,1,列展开,k,+1,阶,按第,1,行展开,所以当,n=k+1,时结论成立，由此结论得证。,例,9,：,求解线性方程组,解：因为系数行列式,所以，由克拉默法则知，方程组有唯一解。,所以，方程组的解为：,例,10,：,问,，,取何值时，齐次线性方程组,有非零解,解：对于方程个数与变量个数相同的齐次线性方程组，有非零解的充要条件是,系数行列式等于零,。,所以当,，,满足,=1,或,=,0,时，方程组有非零解。,
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