特殊四边形专题复习92277

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,特殊四边形专题复习,项目,四边形,边,角,对角线,对称性,平行四边形,矩形,菱形,正方形,等腰梯形,平行且相等,平行且相等,平行,且四边相等,平行,且四边相等,两底平行,两腰相等,对角相等,邻角互补,四个,角,都是直角,同一底上,的角相等,对角相等,邻角互补,四个,角,都是直角,互相平分,互相平分且相等,互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角,相等,互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角,中心对称图形,中心对称图形,轴对称图形,中心对称图形,轴对称图形,中心对称图形,轴对称图形,轴对称图形,二、几种特殊四边形的性质：,四边形,条件,平行,四边形,矩形,菱形,正方形,等腰梯形,三、几种特殊四边形的常用判定方法：,1,、定义：两组对边分别平行,2,、两组对边分别相等,3,、一组对边平行且相等,4,、对角线互相平分,1,、定义：有一角是直角的平行四边形,2,、三个角是直角的四边形,3,、对角线相等的平行四边形,1,、定义：一组邻边相等的平行四边形,2,、四条边都相等的四边形,3,、对角线互相垂直的平行四边形,1,、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形,2,、有一组邻边相等的矩形,3,、有一个角是直角的菱形,1,、两腰相等的梯形,2,、在同一底上的两角相等的梯形,3,、对角线相等的梯形,1,、一组对边平行的四边形是梯形。（ ）,2,、一组对边平行，另一组对边相等的的四边形是平行四边形。（ ）,3,、两条对角线相等的四边形是矩形。（ ）,4,、一组邻边相等的的矩形是正方形。（,）,5,、对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ）,6,、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（ ）,x,判断题,x,x,x,2.,若四边形,ABCD,为平行四边形，请补充条件,_,使得四边形,ABCD,为菱形,.,AB=BC,A D,B C,A D,B C,或,ACBD,5.,如图，在四边形,ABCD,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是边,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点，请添加一个条件，使四边形,EFGH,为,菱形,，并说明理由。,解：添加的条件,_,ACBD,我想到：,三角形中位线定理,5.,如图，在四边形,ABCD,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是边,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点，请添加一个条件，使四边形,EFGH,为,矩形,，并说明理由。,解：添加的条件,_,ACBD,我想到：,三角形中位线定理,5.,如图，在四边形,ABCD,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是边,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点，请添加一个条件，使四边形,EFGH,为,正方形,，并说明理由。,解：添加的条件,_,ACBD,我想到：,三角形中位线定理,且,ACBD,6.,如图，菱形,ABCD,的对角线的长分别为,2,和,5,，,P,是对角线,AC,上任一点（点,P,不与点,A,、,C,重合）且,PEBC,交,AB,于,E,，,PFCD,交,AD,于,F,，,则阴影部分的面积是,.,2.5,我想到：,平行四边形被对角线分成的四个三角形面积相等,.,7.,如图，矩形,ABCD,的对角线,AC,、,BD,交于点,O,，过点,D,作,DPOC,，,且,DP=OC,，,连结,CP,，,试判断四边形,CODP,的形状,.,A,B,D,C,O,P,解,:,四边形,CODP,是菱形,DPOC,DP,=,OC,四边形,CODP,是平行四边形,四边形,ABCD,是矩形,CO=DO,四边形,CODP,是菱形,如果题目中的矩形变为正方形,(,图二,),，结论又应变为什么？,如果题目中的矩形变为菱形,(,图一,),，结论应变为什么？,图一,A,O,D,P,B,C,P,C,D,O,B,A,图二,如图，矩形,ABCD,的对角线,AC,、,BD,交于点,O,，过点,D,作,DPOC,，,且,DP=OC,，,连结,CP,，,试判断四边形,CODP,的形状,.,A,B,D,C,O,P,8.,以,ABC,的边,AB,、,AC,为边的等边三角形,ABD,和等边三角形,ACE,，,四边形,ADFE,是平行四边形,.,（,1,）当,BAC,等于,时，四边形,ADFE,是矩形；,（,2,）当,BAC,等于,时，平行四边形,ADFE,不存在；,（,3,）当,ABC,分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形,.,B,C,A,E,F,D,解,:,（,3) AB=AC,时，平行四边形,ADFE,时菱形。,AB=AC,且,BAC=150,时，平行四边形,ADFE,是正方形。,150,60,60,60,如图,1:,正方形,ABCD,的对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，,E,是,AC,上的一点，连接,EB,，,过点,A,作,AM,BE,，,垂足,M,，,AM,交,BD,于点,F,（,1,）,求证,OE=OF,（,2,）,如图,2,所示，若点,E,在,AC,的延长线上，,AM,EB,的延长线于点,M,，交,DB,的延长线于点,F,，,其他条件都不变，则结论“,OE=OF”,还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由,A,B,C,D,O,F,E,M,A,B,C,D,F,E,M,O,1.,已知,ABC,中,D,是,AB,的中点,E,是,AC,上的点,且,ABE=BAC,EFAB,DFBE,请猜想,DF,与,AE,有怎样的特殊关系,并说明理由,.,猜想,:DF,与,AE,相等且互相平分,.,若要使,AEDF,点,E,还应满足什么条件,?,2.,已知,BE,、,CF,分别为,ABC,中,B,、,C,的平分线，,AMBE,于,M,，,ANCF,于,N,，,求证：,MNBC.,A,M,N,E,F,C,B,Q,R,提示,:,证明,ABQ,和 ,CAR,是等腰三角形,3.,如图，在四边形,ABCD,中，,AB=CD,，,BC=AD,，点,E,、,F,在对角线,AC,上，试问：当,BE,、,DF,满足什么条件时，,EF,与,BD,互相平分？并说明理由,F,B,A,C,D,E,例题选讲,已知：如图，,ABCD,中，,E,、,F,分别是边,AB,、,CD,的中点,.,求证：四边形,EBFD,为平行四边形,.,你还有其他方法吗？比较哪种方法更简单？,已知：如图，,DC/EF/AB,，,DA/GH/CB,，图中有多少平行四边形？,我能行,1,已知：如图，平行四边形,ABCD,中，,E,、,F,分别是边,AD,和,CB,的中点,.,求证：,EF=AB,我能行,2,已知：如图，,ABCD,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AB,、,BC,、,CD,、,AD,上的点，且,AE=CG,，,BF=DH, 求证：四边形,EFGH,是平行四边形,.,我能行,3,已知：如图，,ABCD,中，,E,F,分别是,对角线上两点，且,AE,CF,求证：四边形,BEDF,是平行四边形,例题一张四边形纸板形状如图，,（）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的四个,顶点分别落在四边形的四条边上，可怎样剪？,四边形满足什么情况下,中点四边形为矩形？,并说明理由,解：分别取，的中点，可剪得中点四边形为平行四边形,两条对角线互相垂直，,解：一张四边形纸板满足时,分别取，的中点，就能剪出,中点四边形是,矩形,，,理由如下：,是的中位线,（三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半）,是的中位线,，,（三角形的中位线平行于第三边）,同理可得：,， ,四边形是矩形,（三个角是直角的四边形是矩形）,两条对角线互相垂直,练习：,已知,:,如图,AC,与,BD,是,矩形,ABCD,的两条对角线，求证：四边形,EFGH,是矩形,例,1,：,已知：如图，,AC,与,BD,相交于点,O,，,AB CD,且,1=,2,。求证：四边形,ABCD,是矩形,自我诊断,1,、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ）,A,对角线相等,B,对角线垂直,C,对角线互相平分且相等,D,对角线垂直且相等,2,、如图,直线,EFMN,PQ,交,EF,、,MN,于,A,、,C,两点,AB,、,CB,、,CD,、,AD,分别是,EAC,、,MCA,、,ACN,、,CAF,的角平分线，则四边形,ABCD,是（ ）,A,菱形,B,平行四边形,C,矩形,D,不能确定,C,合,作交流,、,共同提高,1.,如图，在平行四边形,ABCD,中，已知两条对角线相交于点,O,，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AO,、,BO,、,CO,、,DO,的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形,（课本,P105,练习第一题）,2.,如图，平行四边形,ABCD,的对角线,AC,、,BD,交于点,O, E,、,F,在,AC,上，,G,、,H,在,BD,上，且,AE=CF, BG=DH.,求证：,GF=HE.,证明：四边形,ABCD,是平行四边形,OA=OC OB=OD, AE=CF, BG=DH,OE=OF OG=OH,四边形是,GFHE,平行四边形,（对角线互相平分的四边形是平行四边形）,GF=HE(,平行四边形的对边相等）,思考：证明两条线段相等常用哪些方法？,如图，已知平行四边形,ABCD,中，,DE,AC,于,E,BFAC,于,F,求证：,BE=DF,综合应用、巩固提高,方法一：,DE,AC,BFAC,DEBF,DEA=BFC=90,。,四边形,ABCD,是平行四边形,DA=BC,DABC, DAE= BCF,在,AED,和,CBF,中,DEA=BFC=90,DAE= BCF,DA=BC,AED,CBF(A.A.S.),DE=BF,DEBF,四边形,DEBF,是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）,BE=DF(,平行四边形的对边相等）,方法二：,连接,BD,，交,AC,于,O,点,四边形,ABCD,是平行四边形,OD=OB,，,OA=OC, DE,AC,BFAC,DEA=BFC=90,。,DABC, DAE= BCF, DA=BC,AEDCFB(A.A.S.),AE=CF,OE=OF,四边形,DEBF,是平行四边形,（对角线互相平分的四边形是平行四边形）,BE=DF(,平行四边形的对边相等）,O,1,、四边形的四条边分别为,a,b,c,d,其中,a,c,为对边，且满足,a,2,+b,2,+c,2,+d,2,=2ac+2bd,那么这个四边形一定是（ ）,A.,两组对角分别相等的四边形,B.,平行四边形,C .,对角线互相垂直得四边形,D.,对角线相等的四边形,B,3,。如图，四边形,ABCD,中，,ABC,ADC,R,，,E,是,AC,的中点，,EFBD,于,F,，求证：,DF,BF,。,A,B,C,D,E,F,注意：,在已知条件中有直角三角形及斜边的中点时，常利用,斜边的中线是斜边的一半,这条性质 。,1.,如图,四边形,ABCD,是正方形,ABC,是等边三角形,.,求,:,的度数,.,D,B,C,A,E,2.,已知,:,如图,四边形,ABCD,是一个正方形,E,是,BC,延长线上的一个点,且,AC=EC.,求,:DAE,的度数,.,B,D,E,A,C,3.,已知,:,如图, ABC,的,两条高为,BE,，,CF,，点,M,为,BC,的中点,.,求证,:ME,MF.,A,C,B,E,F,M,3,：如图，在四边形,ABCD,中，,AB=2,，,CD=1,，,A=60,，,B=D=90,，,求四边形,ABCD,的面积。,B,A,D,C,E,注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边等。,解：,延长,AD,，,BC,交于点,E,，,在,RtABE,中，,A=60,，,E=30,又,AB=2,BE=,3,AB=2 ,3,在,RtCDE,中，同理可得,DE=,3,CD= ,3,S,四边形,ABCD,=S,RtABE,- S,RtCDE,= ABBE - CDDE,1,2,1,2,= 22,3 - 13,1,2,1,2,= ,3,3,2,2,1,2,）将一个平行四边形的纸片沿一条对角线裁开，能拼成（ ）种凸四边形？,3,c,b a a,b,c,c,c,b,b,c,c,专题二 折叠问题,1),将菱形,ABCD,按图折叠，使,A,与,B,重合，折痕为,MN,， ,A,与,1,之间数量关系为（ ）。,D C,M 1,A N B,12A,四边形,ABCD,是平行四边形,证明： ,BCE,、,ACF,是等边三角形,BCE,ACF=60,即,1,3=2,3=60, 1=2,又,CB,CE,、,CA,CF,BACFEC,（,SAS,）,AB,EF,又,AB,AD,AD,EF,同理可证：,BACBDE,DE,AF,四边形,ABCD,是,E,F,D,B C,2,3,1,2,）已知：以三角形,ABC,的三边为边，在,BC,的同一侧分别作三个等边三角形，即,ABD,、,BCE,、,ACF,（,1,）,四边形,ADEF,是什么四边形？说明理由。,A,（,2,）请猜测当,ABC,满足什么条件时，四边形,ADEF,是矩形？,当,BAC,等于,150,时，四边形,ADEF,是矩形。,（,3,）请猜测当,ABC,满足什么条件时，以,A,、,D,、,E,、,F,为顶点的四边形不存在？,当,BAC,等于,60,时，,以,A,、,D,、,E,、,F,为顶点的四边形不存在。,2,）已知：以三角形,ABC,的三边为边，在,BC,的同一侧分别作三个等边三角形，即,ABD,、,BCE,、,ACF,（,1,）,四边形,ADEF,是什么四边形？说明理由。,E,F,D,A,B C,A D,M P N,B C,1,）梯形,ABCD,中，,ADBC,，,中位线,MN,与对角线,BD,交于点,P,试,判断,BP,与,DP,的大小关系,（BP=DP）,专题四,几何变通题,A D,M N,B C,若连接,AC,，交,MN,于,Q,，,是否可以得出,PQ=,(BC-AD),？,1,2,证明： ,MP,是,ABD,的中位线,MQ,是,ABC,的中位,线,MP=,AD,MQ=,BC,PQ=MQ-MP,即,PQ=,(BC-AD),1,2,1,2,1,2,Q,P,O,D,A,O,P,Q,B C,QEAD,，,PEBC,PE=,BC,、,QE=,AD,又在,PQE,中,PQ,（,PE+QE,）,PQ,（,BC+AD,）,1,2,1,2,1,2,E,证明：取,CD,中点,E,若四边形,ABCD,既不是梯形，也不是平行四边形，,P,、,Q,分别,为,BD,、,AC,的中点，那么是否可得出,PQ ,（,BC+AD,） 。,1,2,连接,PE,和,QE,A D,O,F,B C,证明：,1,） 四边形,ABCD,是正方形,对角线,AC,交,BD,于点,O,BOE,AOF,、,BO,AO,又,AG BE,1+3,90,又,AC BD,2+3,90,1,2, AFOBEO,OE=OF,E,G,2,）已知：正方形,ABCD,的对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，,E,是,AC,上,一点，过点,A,作,AGEB,，,垂足为,G,，,AG,交,BD,于,F,。,求证：,OE=OF,1,2,3,针对上述命题，若点,E,在,AC,的延长线上，,AGEB,交,EB,的延长线于点,G,，,AG,的延长线交,BO,的延长线于点,F,，,其它条件不变，则结论,“,OE,OF,还成立吗？如果成立，请给予证明。如果不成立，请说明理由。,2,）已知：正方形,ABCD,的对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，,E,是,AC,上,一点，过点,A,作,AGEB,，,垂足为,G,，,AG,交,BD,于,F,。,求证：,OE=OF,A D,O,G C,B,F E,A D,O,F,B C,E,G,1,2,3,2,、如图，正方形,ABCD,，,菱形,AEFC,，则,FAB=,.,F,A,B,C,D,E,？,22.5,0,反思,:,例题,1,中翻折得到等腰三角形,利用旋转得到平行四边形,由等底等高去求三角形面积,.,例题,2,要注意平行线在转化角的方面的作用,.,A,B,C,D,O,E,3.,如图，在矩形,ABCD,中，,AC,、,BD,交于点,O,，,AE,平分,BAD,交,BC,于,E,，,连结,OE,，,已知,CAE=15,，求,BOE,的度数。,反思,:,1.,说明,AOB,是等边三角形,;,2.,说明,ABE,是等腰直角三角形,;,3.,说明,BOE,是等腰三角形,;,4.,求出,CBO,的度数,;,5.,得出结论,.,4,、,如图,已知点,E,、,F,分别在正方形,ABCD,的边,BC,、,CD,上，且,AE,平分,FAD,，,试说明,BF+DE=AF,成立。,M,反思,:,1.,旋转作图,AMB,与,ADE,是成旋转图形,;,2.,说明,MAF=M,=E=90,0,-FAE,3.,得到结论,.,5.,如图，在等腰梯形,ABCD,中，,AD=2,，,BC=4,，高,DF=2,，,求,CF,和腰,DC,的长。,反思,:,利用辅助线,将梯形转化为四边形与三角形,1,、,在四边形,ABCD,中,O,是对角线的交点,下列条件能判断这个四边形是正方形的是（ ）,A,、,AB=CD,ABCD ,AC=BD,B,、,ADBC,B=D,C,、,AO=C0,BO=DO,，,AB=BC,D,、,AO=BO=CO=D0,，,ACBD,D,第四部分,.,基础训练,2,、,把一张长方形的纸条按图那样折叠， 若得到,AME,70,o,，则,EMN,（ ）,A,、,45,o,B,、,50,o,C,、,55,o,D,、,60,o,C,3,、,菱形的周长等于高的,8,倍，则其最大内角 等于（ ）,A,、,60,B,、,90,C,、,120,D,、,150,D,E,A,D,C,B,5,(1),如图，周长为,68,的矩形,ABCD,被分成,7,个全等的矩形，则矩形,ABCD,的面积为（ ）,（,A,）,98,（,B,）,196,（,C,）,280,（,D,）,284,C,4,、,矩形,ABCD,中，,AB=8,，,BC=6,，,E,、,F,是,AC,的三等分点，则,BEF,的面积是（ ）,A,、,8 B,、,12 C,、,16 D,、,24,D,A,C,B,E,F,A,(2),如图，,E,为矩形,ABCD,的边,CD,上的一点，,AB,AE,4,，,BC,2,，,则,BEC,是（ ）,（,A,）,15,（,B,）,30,（,C,）,60,（,D,）,75,D,6.,如图所示一种可活动的,菱形,衣帽架。若墙上钉子的距离,AB=BC=12,，且,AMB=BNC=60,，,那么做这样的衣帽架至少需要,长的材料。（不计制作过程中的损耗）,144,M,N,C,B,A,第五部分,:,复习小结,1,、请相互之间议一议，本课复习的内容；,2,、相互之间提问讨论还存在的问题。,1,、已知正方形,ABCD,，,延长,AB,到,E,，,连结,EC,，在,BC,上取,BF=BE,连接,AF,并延长交,EC,于,G.,试说明,AF,与,CE,的关系,.,第六部分,.,课外作业,A,B,C,D,E,F,G,2,、如图，在,Rt,ABC,中,C=,Rt,，,AD,平分,CAB,，,DFAB,，,CEAB,，,垂足分别为,F,、,E,，,试说明四边形,CDFG,为菱形。,3.,已知：如图，在等腰梯形,ABCD,中，,ABCD,，,AB,CD,，,AD=BC,，,BD,平分,ABC,，,A=60,，,梯形周长是,20cm,，,求梯形的各边的长,61,一、判断题：,例题,1.,两条对角线相等的四边形是矩形,（ ）,2.,两条对角线相等且互相垂直的,四边形是矩形,. ( ),3.,两条对角线互相垂直平分的,四边形是菱形,. ( ),例题,62,4.,两条对角线互相垂直的矩形,是正方形,. ( ),5.,两条对角线相等的菱形是正方形,. ( ),6.,两条对角线垂直且相等的四边形,是正方形,. ( ),7.,矩形的四个角都相等； （ ）,9.,有两个角相等的梯形是等腰梯形；（ ）,8.,有一个角是直角且邻边相等的,平行四边形是正方形； （ ）,63,二,.,填空题：,相等,2.,两条对角线,的四边形是矩形。,互相平分且相等,3.,两条对角线,的平行四边形是菱形。,互相,垂直,4.,两条对角线,的四边形是菱形。,互相垂直平分,5.,两条对角线,的矩形是正方形。,互相垂直,1.,两条对角线,的平行四边形是矩形。,6.,两条对角线,的菱形是正方形。,相等,64,7.,两条对角线,的,平行四边形是正方形。,8.,两条对角线,的,四边形是正方形。,9.,等腰梯形在同一底上的两个角,，对角线,。,互相垂直并相等,互相垂直平分并相等,相等,相等,10.,已知平行四边形,ABCD,中，,AB,12,，则,C,，,D,。,60,120,65,11.,如图,(1), ABCD,中，,1=B=50,则,2 =,。,A,B,C,D,1,2,(1),80,12.,菱形,ABCD,的周长为,20cm,，,BAD,120,则对角线,AC,等于,_.,A,B,C,D,O,(2),5,66,13.,矩形,ABCD,中，,AEBD,垂足为,E,，对角线,AC,BD,交于点,O,，且,BE,：,ED,1,：,3,，若,AB=4,则,AC,的长为,_,。,8,A,E,B,O,C,D,A,B,D,C,E,14.,已知梯形的上、下底分别为,3,，,5,，一条腰长为,4,，则另一腰的取值范围,_,。,3,4,3,2,4,2,BC6,67,1.,ABCD,，,P,为,AC,上任一点，过点,P,作,EF,AB,，作,MNAB,。问图中有几个平行四边形？有几对全等三角形？有几对等积的平行四边形？,A,E,D,C,B,M,F,P,N,9,个平行四边形,3,对全等三角形,3,对等积的平行四边形,三、解答题,2,、,已知：如图，在矩形,ABCD,中，,AEBD,于,E,，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，且,BE,：,ED=1,：,3,，,AD=6,cm,，求,AE,的长,.,A,B,D,C,O,E,3,、,已知：如图，若从矩形,ABCD,的顶点,C,作对角线,BD,的垂线与,BAD,的平分线,相交于,E,，求证：,AC=CE.,A,B,D,C,E,O,N,A,B,D,C,E,O,N,F,4,、,已知：如图，,E,为矩形,ABCD,的边,AD,上一点且,BE=ED,，,P,为对角线,BD,上一点，,PFBE,于,F,，,PGAD,于,G,，求证：,PF+PG=AB.,A,B,D,C,G,E,F,P,A,B,D,C,G,E,F,P,H,6,、,如图,边长为,6cm,的菱形,ABCD,中,DAB=60,0,E,为,AB,的中点,F,是,AC,上一动点,求,EF+BF,的最小值,.,7,、,在矩形,ABCD,中，为边上，或矩形内部，或矩形外部任一点，分别画出这三种情况，然后证明,.,8,、两条宽度均为米的国际公路相交成度角，那么这两条公路相交处的公共部分的面积是多少？,9,、,把边长为的正方形的四个角剪掉，得一个四边形，怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且面积为原来的九分之五？证明并计算。,10,、,菱形中，为中点，垂直,BC,，垂直，（）求菱形面积；,（）求角,CHA,的度数。,11,、,三角形,ABC,中，角为度，的垂直平分线交于，交于，在上，并且，求证：四边形是平行四边形；当角多少度时，四边形是菱形？,12,、正方形边长为，一个直角顶点在上滑动，一边始终经过点，另一边与射线相交于点，设，之间距离为，三角形是否可能为等腰三角形？求出此时点的位置和的值，若不能，说明理由。,一、,选择：,1,、正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）,A,、,四边都相等,B,、,对角线互相垂直且平分,C,、,对角线相等,D,、,对角线平分一组对角,2,、下列命题中（ ）是假命题,.,A,、,对角线互相平分的四边形是平行四边形,. B,、,两条对角线相等的四边形是矩形,.,C,、,两条对角线互相垂直的矩形是正方形,.,D,、,两条对角线相等的菱形是正方形,.,C,B,试一试,二、填空：,1,、菱形的对角线长为,6,和,8,，则菱形的边长，面积是,. 2,、矩形的对角线长为,8,，两对角线的夹角为,60,，则矩形的两邻边分别长和,.,5,24,4,A,B,C,D,A,O,O,B,C,D,你准行,1,题,2,题,如果题目中的矩形变为正方形,(,图二,),，结论又应变为什么？,如果题目中的矩形变为菱形,(,图一,),，结论应变为什么？,图一,A,O,D,P,B,C,P,C,D,O,B,A,图二,7.,如图，矩形,ABCD,的对角线,AC,、,BD,交于点,O,，过点,D,作,DPOC,，,且,DP=OC,，,连结,CP,，,试判断四边形,CODP,的形状,.,A,B,D,C,O,P,8.,以,ABC,的边,AB,、,AC,为边的等边三角形,ABD,和等边三角形,ACE,，,四边形,ADFE,是平行四边形,.,（,1,）当,BAC,等于,时，平行四边形,ADFE,不存在；,（,2,）当,BAC,等于,时，四边形,ADFE,是矩形；,（,3,）当,ABC,分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形,.,B,C,A,E,F,D,解,:,（,3) AB=AC,时，平行四边形,ADFE,时菱形。,AB=AC,且,BAC=150,时，平行四边形,ADFE,是正方形。,60,150,60,60,如图,1:,正方形,ABCD,的对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，,E,是,AC,上的一点，连接,EB,，,过点,A,作,AM,BE,，,垂足,M,，,AM,交,BD,于点,F,（,1,）,求证,OE=OF,（,2,）,如图,2,所示，若点,E,在,AC,的延长线上，,AM,EB,的延长线于点,M,，交,DB,的延长线于点,F,，,其他条件都不变，则结论“,OE=OF”,还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由,A,B,C,D,O,F,E,M,A,B,C,D,F,E,M,O,自主探究一,A,B,C,P,M,Q,已知：,ABC,中,AB=AC=a,，,M,为底边,BC,上任意一点，过点,M,分别作,AB,、,AC,的平行线交,AC,于,P,，交,AB,于,Q.,（,1,）线段,QM,、,PM,、,AB,之间有什么关系？,（,2,）图中的三角形之间有什么关系？,自主探究二,A,B,C,P,M,Q,已知：,ABC,中,AB=AC=a,，,M,为底边,BC,上任意一点，过点,M,分别作,AB,、,AC,的平行线交,AC,于,P,，交,AB,于,Q.,探究,:,当,M,位于,BC,的什么位置时,四边形,AQMP,是菱形？并说明你的理由,.,当,ABC,满足什么条件菱形,AQMP,是正方形？,1,、检查一个门框是矩形的方法是（ ）,A,、测量两条对角线是否相等,.,B,、,测量有三个角是直角,. C,、 测量两条对角线是否互相平分,. D,、 测量两条对角线是否互相垂直,.,2,、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ ）,A,、矩形,B,、菱形,C,、梯形,D,、正方形,B,B,考考你,3,、菱形的周长等于高的,8,倍，则其最大内角 等于（ ）,A,、,60,B,、,90,C,、,120,D,、,150,4,、矩形,ABCD,中，,AB=8,，,BC=6,，,E,、,F,是,AC,的三等分点，则,BEF,的面积是（ ）,A,、,8 B,、,12 C,、,16 D,、,24,D,D,A,C,B,E,F,A,E,A,D,C,B,5,、在正方形,ABCD,中，,E,在,BC,上，,BE=2,，,CE=1,，,P,在,BD,上，则,PE,和,PC,的长度之和最小可达到,_,A,B,C,D,E,F,G,P,如何设计花坛？,在一块正方形花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛分成全等的四部分（不考虑道路宽度），你有几种方法？（至少说出三种）,我是一名优秀设计师,在矩形,ABCD,中，,AB=16,，,BC=8.,将矩形沿,AC,折叠，点,D,落在点,E,处，且,CE,交,AB,于点,F,，求,AF,的长,.,C,E,F,D,A,B,思考,点拨,：,对于折叠问题，可以从折叠前后的两个图形是全等图形入手进行分析,.,李大爷有一个边长为,a,的正方形鱼塘，鱼塘四个角的顶点,A,、,B,、,C,、,D,上各有一棵大树，现在李大爷想把鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大）,.,又不想把树挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）,.,(1),若按圆形设计,请画出你设计的示意图,并求出圆形鱼塘的面积,;(2),若按正方形设计,请画出你设计的示意图,.,合作探究,D,B,C,A,D,C,B,A,O,(1),若按圆形设计,请画出你设计的示意图,并求出圆形鱼塘的面积,;,D,A,O,C,B,当直角三角形的斜边一定时,两直角边满足什么条件时直角三角形的面积最大？,你知道吗？,E,5,如图,3,，已知长方形,ABCD,，过点,C,引,A,的平分线,AM,的垂线，垂足为,M,，,AM,交,BC,于,E,，连接,MB,、,MD,（,1,）求证：,BE,=,DC,；,（,2,）求证：,MBE,=,MDC,6,如图,4,，在梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,AB,DC,AD,，,ADC,=120,（,1,）求证：,BD,DC,；,（,2,）若,AB,4,，求梯形,ABCD,的面积,7,阅读下面问题和分析过程，并按要求进行证明,已知：四边形,ABCD,中，,AB,DC,，,AC,BD,，,AD,BC,求证：四边形,ABCD,是等腰梯形,分析：要证四边形,ABCD,是等腰梯形，因为,AB,DC,，所以只要证四边形,ABCD,是梯形即可；又因为,AD,BC,，故只需证,AD,BC,即可；要证,AD,BC,，现有如图,13,所示四种添作辅助线的方法，请任意选择其中两种图形，对原题进行证明,类型之二平行四边形的判定,2010中山如图31-3，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD、等边ABE已知BAC=30，EFAB，垂足为F，连接DF,（1）试说明AC=EF；,（2）求证：四边形ADFE是平行四边形,【解析】（1）证明ABCEBF（理由AAS）；（2）证ADEF，就要证DAF=AFE=90,再证AD=EF即可.,证明：（1）在RtABC中，BAC=30，,ABC=60.,在等边ABE中，ABE=60，,且AB=BE.,EFAB，EFB=90，RtABCRtEBF，AC=EF.,（2）等边ACD中，DAC=60，,AD=AC，,又BAC=30,DAF=90,ADEF.又AC=EF,AD=EF,四边形ADFE是平行四边形,【,点悟】证明一个四边形是平行四边形，有多种证明思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证明思路.如本题中若证明两组对边分别平行（或分别相等），则证明过程显然比证明一组对边平行且相等复杂得多.,类型之三,平行四边形的综合探究,2010晋江如图31-4，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明（写出一种即可）,关系：ADBC，AB=CD，A=C,B+C=180.,已知：在四边形,ABCD,中，,.,求证：四边形,ABCD,是平行四边形,例2,如,图，在梯形,ABCD,中，,AD BC,，,AB=BC+AD,，,H,是,CD,中点，试说明：,BHAH,H,E,延长,AH,，交,BC,延长线于点,E,4.,如图，矩形纸片,ABCD,中，,AB=3,厘米，,BC=4,厘米，现将,A,、,C,重合，使纸片折叠压平，设折痕为,EF,。试确定重叠部分,AEF,的面积。,