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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.1,不定积分的概念与性质,一、,原函数与不定积分的概念,二、不定积分的几何意义,三、不定积分的性质,四、基本积分公式,五、不定积分的求法,前面我们讨论了一元函数的微分学，它的基本问题是求已知函数的导数或微分。而在实际问题中，还会遇到与此相反问题，即已知一个函数的导数或微分，求此函数。,例如：已知作非匀速直线运动的物体在任意时刻 的速度 ，要求物体的运动方程：,。这类问题在数学中归结为求导运算的逆运算，我们称之为求函数的不定积分。,一、原函数与不定积分的概念,1.,原函数：,设 是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数 ，使对于该区间任意 ，都有关系式：,或,成立，则称函数 为函数 在该区间上的一个,原函数,。,例,又因为：,所以显然 ， ， ， 都是 的一个原函数。,由此不难得出：,（,1,）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。,（,2,）同一函数的原函数之间只相差一个常数。,（,3,）若 为 的一个原函数，则 表示 的所有原函数。,2.,不定积分的定义：,设 是 在区间,I,上的一个原函数，则函数 的全体原函数 （,c,为任意常数）,任意常数,积分符号,被积函数,被积表达式,积分变量,3.,如何求不定积分,称为 在该区间,I,上的不定积分。,即：,例1,解：,例,2,解：,求,求,因为,所以,是,的一个原函数，从而有,因为,所以,是,的一个原函数，从而有,例,3,求,因为,结论,（,3,）不是每个函数在定义区间上都有原函数；在 定义区间上的,连续函数一定有原函数,（即：一定有不定积分）。,（,1,）求函数 的 不定积分就是求 的全体原函数，实际上只需求出它的一个原函数，再加上一个常数,C,即可。,（,2,）检验积分结果正确与否的方法是：积分结果的导函数等于被积函数。,设函数,在某区间上的一个原函数为,，则,在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而,的全部积分曲线,所组成的积分曲线族。其方程为,的图象显然可由这条曲线沿,或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线， 因此，不定积分的几何意义是,轴向上,设函数,在某区间上的一个原函数为,，则,在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而,所组成的积分曲线族。其方程为,的图象显然可由这条曲线沿,或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线， 因此，不定积分的几何意义是,轴向上,设函数,在某区间上的一个原函数为,，则,在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而,二、不定积分的几何意义,如下图所示：,例,4,设曲线通过点（,1, 2,），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（,1,，,2,）,所求曲线方程为,三、不定积分的性质,定理,1,微分运算与积分运算互为逆运算，即,定理,2,定理,3,积分运算和微分运算是互逆的，因此，,对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式,。,四、基本积分公式,将基本导数公式,从右往左,读，（然后稍加整理）可以得出,基本积分公式（基本积分表）,。,基本积分表,是常数,);,基本积分表,1.,直接积分法,（,直接利用,基本积分公式与性质求,积分）,解,根据,幂函数的积分公式,例,5,求下列函数的不定积分,（,恒等变形法,）,五、 不定积分的求法：,(1),解,:,解,:,原式,例,6,求下列函数的不定积分,解：原式,解：原式,解：原式,解：原式,解：原 式,解：原 式,解：原 式,解,所求曲线方程为,3.,基本积分表,；,5.,不定积分的（线性）性质；,1.,原函数的概念： ；,2.,不定积分的概念： ；,4.,求微分与求积分的互逆关系；,六、小结,6.,求不定积分的基本方法：将所求积分转化为,基本积分表,中的积分。,
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