第三节 正定二次型和正定矩阵

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,正定二次型和,正定矩阵,第三节,1,一、正定二次型正定矩阵,定义,由定义，可得以下结论：,充分性是显然的；下面用反证法证必要性：,代入二次型，得,2,由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。,3,定理,推论,实对称矩阵,A,正定的充分必要条件是,A,的特征值,全为正。,正定矩阵。,这是因为：,4,解,例1,判别二次型,是否正定。,二次型对应的矩阵为,),1,4,)(,2,(,2,+,-,-,=,l,l,l,5,全为正，,因此二次型正定。,6,定理,设矩阵,A,正定，则,（1）,A,的主对角元全为正；,证明,7,上述,定理是,A,正定的必要条件，但不是充分条件。,定理,8,解,例2,判别二次型,是否正定。,二次型对应的矩阵为,它的顺序主子式为：,因此,A,是正定的，,即二次型,f,正定。,9,解,例3,设有实二次型,问,t,取何值时，该二次型为正定二次型？,f,的矩阵为,顺序主子式为：,解得,10,实对称矩阵,A,为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵,C,，,使得,实际上，正定二次型的规范形为,即,A,正定的充分必要条件是,A,合同于单位矩阵,E,，,即存在可逆矩阵,C,，使,11,证,因为,于是,12,2,、其它有定二次型,定义,如果二次型不是有定的，就称为,不定二次型,。,13,显然，,A,是负定（半负定 ）的当且仅当-,A,是正定（半正定）的。由此，容易得出以下结论：,（2）,A,负定的充分必要条件是,A,的特征值全负；,（3）,A,半负定的充分必要条件是,A,的特征值非正；,（4）,A,负定的充分必要条件是,A,的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；,（1）,A,半正定,的充分必要条件是,A,的特征值,非,负；,（5）若,A,负定，则,A,的对角元全为负。,注意,:,1,.最后一条只是必要条件。,2,.,A,的顺序主子式,全非,负,，,A,也未必是半正定,的,。,14,例如，设矩阵,显然,A,的,顺序主子式,但对角元有正有负，显然,A,是不定的。,15,例5,判定下列二次型是否是有定二次型。,解,（1）,f,的矩阵为,顺序主子式,所以,f,是负定的。,16,例5,判定下列二次型是否是有定二次型。,解,（2）,f,的矩阵为,顺序主子式,所以,f,是,不,定的。,17,练习：,P222,习题五,18,END,END,19,选用例题,1、,解,C,是正定的。,且,C,是实对称阵，故,C,是正定矩阵。,20,证,必要性,充分性:,将上述过程逆推,即可得证.,21,