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单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主要内容,定义,*,第十节 多元多项式,多元多项式的排列法,齐次多项式,一、定义,在前面我们讨论了一元多项式的基本性质,.,但,是除去一元多项式外，还有含多个文字的多项式，,即多元多项式，如,x,2,-,y,2,x,3,+,y,3,+,z,3,-3,xyz,等,.,现,在就来简单地介绍一下有关多元多项式的一些概,念,.,定义,11,设,P,是一个数域，,x,1,x,2, ,x,n,是,n,个文字,.,形式为,的式子，其中,a,属于,P,，,k,1,k,2, ,k,n,是非负整数,称为一个,单项式,.,如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么,它们就称为,同类项,.,一些单项式的和,就称为,n,元多项式,，或者简称,多项式,.,和一元多项式一样，,n,元多项式也可以定义相,等、相加、相减、相乘,.,定义,12,所有系数在数域,P,中的,n,元多项式,的全体，称为数域,P,上的,n,元多项式环,，记为,P,x,1,x,2, ,x,n, .,k,1,+,k,2,+ +,k,n,称为单项式,的,次数,.,当一个多项式表成一些不同类的单项式,的和之后,其中系数不为零的单项式的最高次数就,称为这个,多项式的次数,.,二、多元多项式的排列法,虽然多元多项式也有次数，但是与一元多项,式的情况不同，我们并不能对多元多项式,中的单项式按次数给出一个自然排列的顺序，因为,不同类的单项式可能有相同的次数,.,我们看到，一,元多项式的降幂排列法,(,或者升幂排列法,),对于许多,问题的讨论是方便的,.,同样地，为了便于以后的讨,论，我们对于多元多项式也引入一种排列顺序的方,法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，因而,称为,字典排列法,.,每一个单项式,都对应于一个,n,元数组,(,k,1,k,2, ,k,n,) ,其中,k,i,为非负整数,.,这个对应是一一对应,.,为了给出单项式之间一个排列顺序的方法，我,们只要对于,n,元数组,(,k,1,k,2, ,k,n,),定义一个先后,顺序就行了,.,如果数,k,1,-,l,1,k,2,-,l,2, ,k,n,-,l,n,中第一个不为零的数是正的，也就是说，有,i,n,使,k,1,-,l,1,= 0 , ,k,i,-1,-,l,i,-1,= 0 ,k,i,-,l,i, 0 ,那么，我们就称,n,元数组,(,k,1,k,2, ,k,n,),先于,n,元,数组,(,l,1,l,2, ,l,n,) ,并记为,(,k,1,k,2, ,k,n,) (,l,1,l,2, ,l,n,) .,例如,(1 , 3 , 2) (1 , 2 , 4) .,由定义立即看出，,对于任意两个,n,元数组,(,k,1,k,2, ,k,n,),和,(,l,1,l,2, ,l,n,),，关系,(,k,1,k,2, ,k,n,) (,l,1,l,2, ,l,n,),，,(,k,1,k,2, ,k,n,) = (,l,1,l,2, ,l,n,),，,(,k,1,k,2, ,k,n,) ”,具有,传递性，即，如果,(,k,1,k,2, ,k,n,) (,l,1,l,2, ,l,n,),，,(,l,1,l,2, ,l,n,) (,m,1,m,2, ,m,n,),，,那么,(,k,1,k,2, ,k,n,) (,m,1,m,2, ,m,n,) .,事实上，由,k,i,-,m,i,= (,k,i,-,l,i,) - (,l,i,-,m,i,),即得上面,的结论,.,因之，这样的确给出了,n,元数组之间的一,个顺序,.,相应地，单项式之间也就有了一个先后顺,序,.,例如多项式,2,x,1,x,2,2,x,3,2,+,x,1,2,x,2,+,x,1,3,按字典排列法写出来就是,x,1,3,+,x,1,2,x,2,+ 2,x,1,x,2,2,x,3,2,.,按字典排列法写出来的第一个系数不为零的,单项式称为多项式的,首项,.,例如多项式,x,1,3,+,x,1,2,x,2,+ 2,x,1,x,2,2,x,3,2,的首项为,x,1,3,.,注意,首项不一定具有最大的次数,.,当,n,= 1,时，字典排列法就归结为以前的降幂,排列法,.,对于字典排列法，我们有,定理,14,当多项式,f,(,x,1,x,2, ,x,n,), 0 ,g,(,x,1,x,2, ,x,n,), 0,时，乘,积,f,(,x,1,x,2, ,x,n,),g,(,x,1,x,2, ,x,n,),的首项等于,f,(,x,1,x,2, ,x,n,),的首项与,g,(,x,1,x,2, ,x,n,),的首项,的乘积,.,证明,设,f,(,x,1,x,2, ,x,n,),的首项为,g,(,x,1,x,2, ,x,n,),的首项为,为了证明它们的积,为,f g,的首项，,(,p,1,+,q,1,p,2,+,q,2, ,p,n,+,q,n,),先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了,.,事实上，,f,(,x,1,x,2, ,x,n,),g,(,x,1,x,2, ,x,n,),只要证明,中其他单项式所对应的有序数组是,(,p,1,+,k,1,p,2,+,k,2, ,p,n,+,k,n,),或者,(,l,1,+,q,1,l,2,+,q,2, ,l,n,+,q,n,),或者,(,l,1,+,k,1,l,2,+,k,2, ,l,n,+,k,n,),其中,(,p,1,p,2, ,p,n,) (,l,1,l,2, ,l,n,),，,(,q,1,q,2, ,q,n,) (,k,1,k,2, ,k,n,).,而,(,p,1,+,q,1,p,2,+,q,2, ,p,n,+,q,n,)(,p,1,+,k,1,p,2,+,k,2, ,p,n,+,k,n,),与,(,p,1,+,q,1,p,2,+,q,2, ,p,n,+,q,n,)(,l,1,+,q,1,l,2,+,q,2, ,l,n,+,q,n,),是显然的,.,同样有,(,l,1,+,q,1,l,2,+,q,2, ,l,n,+,q,n,)(,l,1,+,k,1,l,2,+,k,2, ,l,n,+,k,n,).,由传递性即得,(,p,1,+,q,1,p,2,+,q,2, ,p,n,+,q,n,)(,l,1,+,k,1,l,2,+,k,2, ,l,n,+,k,n,).,这就证明了，,不可能与乘,积中其他的项同类而相消，且先于其他所有的项，,因而它是首项,.,证毕,用数学归纳法立即得出,推论,1,如果,f,i, 0 ,i,= 1 , 2 , ,m,那么,f,1,f,2, ,f,m,的首项等于每个,f,i,的首项的乘积,.,的结论显然包含着,推论,2,如果,f,(,x,1,x,2, ,x,n,), 0 ,g,(,x,1,x,2, ,x,n,), 0 ,那么,f,(,x,1,x,2, ,x,n,),g,(,x,1,x,2, ,x,n,), 0 .,三、齐次多项式,多项式,称为,m,次齐次多项式,，如果其中每个单项式全,是,m,次的,.,例如,是一个,4,次齐次多项式,.,显然，两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式,它的次数就等于这两个多项式的次数之和,.,任何一个,m,次多项式,f,(,x,1,x,2, ,x,n,),都可以,唯一地表示成,其中,f,i,(,x,1,x,2, ,x,n,),是,i,次齐次多项式,.,f,i,(,x,1,x,2, ,x,n,),称为,f,(,x,1,x,2, ,x,n,),的,i,次齐次,成分,.,如果,是一个,l,次多项式，,h,(,x,1,x,2, ,x,n,) =,f,(,x,1,x,2, ,x,n,),g,(,x,1,x,2, ,x,n,),的,k,次齐次成分,h,k,(,x,1,x,2, ,x,n,),为,那么乘积,特别地，,h,(,x,1,x,2, ,x,n,),的最高次齐次成分为,h,m+l,(,x,1,x,2, ,x,n,),=,f,m,(,x,1,x,2, ,x,n,),g,l,(,x,1,x,2, ,x,n,) .,由此可知，对于多元多项式，也有,乘积的次数等于,因子次数的和,.,最后我们指出，与一元多项式一样，多元多项,式也可以看作函数的表达式,.,设,并设,c,1,c,2, ,c,n,是数域,P,中的数，我们称,为,f,(,x,1,x,2, ,x,n,),在,x,1,=,c,1,x,2,=,c,2, ,x,n,=,c,n,处的值,.,显然，当,f,(,x,1,x,2,x,n,) +,g,(,x,1,x,2,x,n,) =,h,(,x,1,x,2,x,n,),f,(,x,1,x,2,x,n,),g,(,x,1,x,2,x,n,) =,p,(,x,1,x,2,x,n,),f,(,c,1,c,2,c,n,) +,g,(,c,1,c,2,c,n,) =,h,(,c,1,c,2,c,n,),时，我们有,f,(,c,1,c,2,c,n,),g,(,c,1,c,2,c,n,) =,p,(,c,1,c,2,c,n,) .,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,
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