历届大学物理竞赛光学试题解答

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,历届大学物理竞赛光学试题解答,1,、,借助于滤光片从白光中取得蓝绿色光作为扬氏干涉的光源,其波长范围,=100nm,平均波长为,=490nm,求,:,干涉条纹大约从第几级开始变得模糊不清,?,解,:,蓝绿波长上,下限分别为,设从第,k,级变得模糊不清,取,k,=5,2,、,若用太阳光作光源观察双缝干涉花样,为不使条纹模糊不清,两缝间距的最大值是多少,?(,已知太阳光的发散角为,1,平均波长为,500nm),解,:,设,为太阳光的发散角,由,d,max,=,l,/,b,l,3,、,如图,已知,1,n,1,n,3,波长为,的单色平行光垂直入射到增透膜上,设三束反,射光,(,只考虑一次反射,),a,、,b,、,c,在空气中的振幅相等,欲使这三,束光相干叠加后的总强度为零。,求,:,d,1,、,d,2,的最小厚度,?,解,:,a,与,b,的光程差,:,b,与,c,的光程差,:,a,与,b,的相位差,:,b,与,c,的相位差,:,用振幅矢量图求极小值,4,、,以波长,= 0.6m,的单色平行光束垂直入射到牛顿环装置上,观测到某一暗环,n,的半径为,1.56mm,在它外面第五个暗环,m,的半径为。,求,:,在暗环,m,处的干涉条纹间距是多少,?,解法一,:,暗环条件为,e,解法二,:,两边取微分,:,由前面可知：,5,、,如图,用,= 600nm,的单色光垂直照射油膜上,看到离油膜中心最近的暗环的半径为。,求,:,(1),整个油膜上可看到的暗环数目,?,(2),油膜上表面球面的半径,?,R,d,=1.1,m,h,k,r,k,n,1,=1.2,n,2,=1.5,解,:,(1),属于薄膜等厚干涉。油膜的上下两个表面产生的反射光的干涉。,其光程差的暗环的条件,:,有完整的四个暗环， 对应,k,=1, 2, 3, 4,k,max,=4.9,取,k,max,=4,距中心最近的暗环半径为,r,4,=0.3cm,对应,k,=4,再由得,由,并注意到,2,n,1,d,(2),设暗环半径为,r,k,该处油膜厚度为,d,h,k,R,d,=1.1,m,h,k,r,k,n,1,=1.2,n,2,=1.5,6,、,如图的光路中, PO,是薄凸透镜的主光轴, A,是焦平面上与中心点,O,相隔小距离,x,的一点,求,自,P,点发出经透镜折射分别至,A,的光线的光程与至,O,的光线的光程之差,(,用,a,f,x,表示,),解,:,由点光源到其象点的各光线的光程都相等,得,7,、,波长为,的两个相干的单色平行光束,1,、,2,分别以图示的入射角,入射在屏幕面,MN,上,;,求,:,屏幕上干涉条纹的间距,?,1,2,解,:,设,AB,为相邻两明纹间距,x,则相邻两明纹的光程差的改变量为,设,A,点两束光的光程差为零,则,B,点两束光的光程差为,x,(sin,+ sin,),得,8,、,如图所示,在劳埃镜实验中,平板玻璃,MN,的长度,r,5.0cm,与平板玻璃垂直的幕到平板,N,端的距离,l,。线光源,s,位于,M,端正上方,离平板玻璃的高度,h,=0.50mm,光源波长,=500nm,。,求,:,(1),幕上相邻干涉亮条纹的间距；,(2),幕上干涉亮条纹的最低级数。,M,N,h,幕,s,l,r,解：,劳埃镜干涉相当于图示的杨氏双缝干涉。,(1),幕上相邻干涉亮条纹间距为,x,d,=2,h,s,D,=,r+l,l,s,o,P,x,min,d,=2,h,s,D,=,r+l,l,s,o,x,P,(2),劳埃镜中,s,光线是由平板玻璃反射形成的，所以在,计算,s,和,s,光线到达,P,点的光程差时必须考虑半波损失。,因此劳埃镜干涉零级亮纹位置的坐标为,幕中相干区域最低点,P,的坐标,x,P,由反射光的最小出射角,min,确定，即有,所以，,P,为暗纹位置,最低亮纹位于,x,P,上方,x,/2,处，其级数为,20,或,21,。,S,S,1,S,2,O,1,O,2,9,、,将一块凸透镜一分为二,如图放置,主光轴上物点,S,通过它们分别可成两个实像,S,1,、,S,2,实像的位置如图。,(1),纸平面上作图画出可产生光相干叠加的区域,; (2),纸平面相干区域中相干叠加所成亮线是什么形状,?,解,:,图中的,S,1,AS,2,为相干区域。,A,(2) P,点的光程差,:,P,C,B,为亮线,P,点构成以,S,1,、,S,2,为焦点的部分椭圆曲线。,物点与像点间各光线的光程相等,当 时，,10,、,圆柱形均匀透明体的底面下平放着一枚小硬币,两者间有微小间隙,且硬币厚度可忽略,设周围都是空气,若通过透明体侧壁看不到硬币,求,:,透明体折射率的取值范围是多少,?,解,:,侧壁上发生全反射的条件,:,当 的光线发生全反射时,所有光线都全反射,来自硬币的光线,11,、,观察者通过缝宽,a,的单缝观察位于正前方的相距,1km,远处发出波长为,500nm,单色光的两盏单丝灯,两灯丝皆与单缝平行,它们所在的平面与观察方向垂直。,则,人眼能分辨两灯丝的最短距离是,(A)0.01m (B)0.1m (C)1m (D)10m,解,:,单缝的最小分辨角为,由瑞利判据可知当两灯丝对单缝所张的角等于单缝的最小分辨角时,两灯丝刚可分辨。所以有,12,、,人的眼睛对可见光,(5000),敏感,瞳孔的直径约为,5mm,一射电望远镜接收波长为,1m,的射电波,若要求其分辨本领相同,射电望远镜的直径约为,_,。,(1)10m, (2)10,2,m, (3)10,3,m, (4)10,4,m,解,:,设人眼瞳孔的直径为,d,1,射电望远镜的直径为,d,2,圆孔光学仪器的最小分辨角,:,按题意有,13,、,含有红光,r,、紫光,v,的光垂直入射在每毫米有,300,条缝的光栅上,在,24,角处二种波长光的谱线重合,;,求,:,(1),紫光波长为多少,? (2),屏幕上可能单独呈现紫光的各级谱线的级次,?(,只写出正级次, sin24),解,:,(1),=0,的中心处红,紫光谱线重合。,取,k,r,=2,红,紫光谱线再次重合时，满足光栅方程,(2),由光栅方程,故单独出现紫光的谱线级次为,1,、,2,、,4,、,5,、,7,14,、,如图,为制造光栅的原理图。,激光器,分束器,感光板,H,30,(1),为了在第一级光谱能将和,的二谱线分辨开,求,所制得的光栅沿,x,方向应有,的最小宽度。,(2),若入射到,H,上的两束光的光强之比为,1/4,求,干,涉图样合成光强的最小值和最大值之比。,x,解,:,(1),设,N , d,分别为光栅缝数和光栅常数,则所求宽度为,先求缝数,N,:,再求光栅常数,d,:,即求干涉条纹的间距,30,A,B,C,设,AB,为干涉条纹的间距,则,A,、,B,两点的光程差之差,:,(2),15,、,一单色平行光束通过一狭缝产生夫琅禾费衍射时,当缝宽加倍时,衍射图样中心的光强为原来的几倍,?,单位时间内透过缝的总能量为原来的几倍,?,解,:,单位时间内透过缝的总能量入射光强,缝的面积,入射光强没变,而缝的面积是原来的,2,倍,所以总能量为原来的,2,倍。,16,、,单色光垂直入射于缝宽为,a,的单缝,观测其夫琅禾费衍射。现在缝宽的一半上覆盖移相膜,使经此膜的光相位改变,但光能不损失。试画出光强度,I,分布曲线,(,已知,为入射光波长,为衍射角,),。,解,:,思路,:,由波带法,并考虑移相膜,判断衍射光强的,极大和极小位置。,(1),=0,时,通过单缝,各点的光程差为,0,但移相膜使上、下,两半缝的对应光线,有附加相差,它们,干涉相消,中心点,o,的光强度为,0,。,移相膜,a,B,A,sin,o,f,(2),当,a,sin,时,可将单缝分为二个波带,两个波带的对应点的光程差为,/2,而移相膜附加光程差为,/2,所以产生相长干涉,/,a,处的,光强最大。,移相膜附加光程差为,/2,a,B,A,/2,sin,o,f,(3),当,a,sin,2,k k,1, 2, ,时,上、下两个半缝各自可分为偶数个波带。 它们自身相邻两波带间的光程差为,/2,产生干涉相消,而移相膜不起作用,故,2,k,/,a,处的,光强为,0,。,移相膜不起作用,a,B,A,sin,o,f,/2,(4),当,a,sin,(2,k,+1), k,1, 2, ,时,上、下两个半缝各自可分为奇数个波带。,移相膜使中央两波带的附加光程差为,/2,相移膜使中央相邻两波带的光程差为,故除中央两个波带外,其它波带两两互相抵消。,(2,k,+1),/,a,处的,光强为极大,(,但较小,),。,a,B,A,/2,17,、,有三个透射光栅,分别为,100,条,/mm,500,条,/mm,及,1000,条,/mm,。以钠灯为光源,(,=,589.3nm),经准直正入射到光栅上,要求两条黄谱线分离得尽量远。如果观察的是一级衍射谱线,应选用哪个光栅,?,如果观察的是二级衍射谱线,应选用哪个光栅,?,解,:,由光栅方程,d,sin,=,k,两边微分得,对,k,=2,k,=1,时，应选用,1000,条,/mm,的光栅。,k,=2,时，应选用,500,条,/mm,的光栅。,18,、,某光栅的光栅常数,d,=10,3,cm,每个透光缝的宽度,a,=,d,/3,。,(1),以,单色平行光正入射,透过光栅后,最多能观察到多少条谱线？,(2),以,1,和,2,复合平行光正入射,透过光栅后,恰能分辨这两个波长的二级谱线,试问此光栅有多少条刻缝？,解,:,(1),由光栅方程,d,sin,=,k,得,由缺级条件,:,d,/,a,=3,可知,k,=,3,6, ,15,为缺级,则最多可见到的谱线条数为,(2,16+1),10,23,(2),由光栅的分辨本领,(,k,级谱线分辨本领与光栅刻缝,数,N,的关系,),：,可得,波片,(wave plate),A,A,o,A,e,光轴,P,1,偏振片,P,1,单色自然光,波片,C,d,x,y,(,光轴,),A,A,e,A,o,射出波片,C,时,o,光和,e,光的振动,:,y,z,光轴,d,所以,则,合成为线偏振光,合成为正椭圆偏振光,合成为斜椭圆偏振光,合成为圆偏振光,k,=0,1, 2, ,一、,1/4波片,能使,从,波片,透,射,后,的两束线偏振光,(,o,光和,e,光,),的相位差,=,(2,k,+1),/2,，这样的波片称为1/4波片。,思考,:,(1),线偏光通过,1/4,波片后,透射光的偏振态和,光强如何,?,(,正椭圆或圆偏光,光强不变,),(2),自然光通过,1/4,波片后,透射光的偏振态和,光强如何,?,(,自然光,光强不变,),光轴,x,y,线偏振光,垂直入射到,半波片,上,透,射光仍为线偏振光,但其振动,方向却旋转2,角,如,右,图,所示,二、,1/2波片,(,又叫,半波片,),能使,从,波片,透,射,后,的两束线偏振光,(,o,光和,e,光,),的,相位差,(2,k,+1),，这样的波片称为1/,2,波片。,19,、,有两个圆偏振器,偏振片用,P,1,和,P,2,表示,波片用,N,1,和,N,2,表示,按,N,1,- P,1,- P,2,- N,2,顺序排列, P,1,和,P,2,偏振化方向间的夹角,以光强为,I,0,的自然光垂直入射到上述偏振系统,求,透射光的偏振态和光强,?,解,:,圆偏光,由圆偏振器,可知,P,1,与,N,1, P,2,与,N,2,之间夹角为,45,N,1,P,1,P,2,N,2,20,、,用旋转的检偏镜对某一单色光进行检偏,在旋转一圈的过程中,发现从检偏镜出射的光强并无变化。先让这一束光通过一块,1/4,波片,再通过旋转的检偏镜检偏,则测得最大出射光强是最小出射光强,的,2,倍。,求,入射的是什么偏振态的光,其中自然光光,强占总光强的百分之几,?,解,:,光强无变化,结论,:,自然光或圆偏光或两者混合。,光强无消光,非圆偏光,;,光强有变化,非自然光,;,结论,:,两者混合。,波片,检偏镜,检偏镜,设入射总光强为,1,其中自然光强为,x,则圆偏光强为,(1,x,),由题意,波片,检偏镜,21,、,如图,用单色自然光照射缝,s,0,时,在屏上可,得一组明暗相间的干涉条纹。 今在,s,0,处贴放一偏振,片,P,使其透振方向与缝,s,0,平行,;,在,s,1,s,2,处各贴放一个,相同的半波片,Q,1,Q,2,并使其中一个半波片的光轴与缝平行,另一个半波片的光轴与缝垂直。不计,P,Q,1,Q,2,对,光的吸收,则与原干涉图样相比,屏上条纹位置和强度,的变化如何,?,解,:,通过 的光,对波片而言是,o,光,;,通过 的光,对波片而言是,e,光,;,波片产生了附加相位差,条纹平移半个条纹间距,(,或明暗相反,);,同时强度减半,P,解,:,d,波片,P,2,单色,自然光,P,1,(,光轴,),主截面,P,1,与,P,2,间的夹,角产生的附加,相位差,:,22,、,一厚度为,10,m,的方解石晶片,其光轴平行于表面,放置在两正交偏振片之间,晶片主截面与第一个,偏振片的偏振化方向夹角为,45,若使波长,6000,的光,通过上述系统后呈现极大,晶片厚度至少磨去多少,?,(,方解石的,n,o,=1.658,n,e,=1.486 ),( P,1,与,P,2,在同象限,),(P,1,与,P,2,在异象限,),设晶片原厚度,d,0,=10,m ,使,=6000,的光通过晶片后呈现极大时,晶片厚度为,d,可算出使,d,10,m,所相应的,k,=1,2,3,取,k,=3,d,= 8.72,m,磨去厚度为,d,0,d,m,=3.488(,k,0.5),m,o,光和,e,光的相位差,:,23,、,扬氏干涉, P,0,处为,0,级亮纹,P,4,处为,1,级亮纹,P,1,P,2,P,3,为,P,0,P,4,间的等间距点。,求,:,N,N,1,N,2,偏振片如图放置, N,1,N,2,的透光轴方向互相,垂直,且与,N,的透光轴方向成,45,角,说明,P,0,P,1,P,2,P,3,P,4,处光的偏振态,并比较它们的相对强度。,(2),在幕前再放置偏振片,N,其透光轴与,N,的垂直,则上,述各点光的偏振态和相对强度如何,?,解,:,(1),45,45,s,1,s,2,的出射光互相垂直,故两束光不发生干涉,设,s,1,s,2,的光强分别为,在,P,0,P,1,P,2,P,3,P,4,处的光程差分别为,故分别为线偏光,(1-3,象限,),右旋圆偏光,线偏光,(2-4,象限,),左旋圆偏光,线偏光,(1-3,象限,),在,P,0, P,1, P,2, P,3, P,4,处的相位差分别为,由非相干叠加,得各点光强为,(2),45,45,经,N,后的两出射光互相平行,故发生干涉,且所有点都是线偏光。,从图上可见, N,对,s,1,s,2,后的光产生了附加相位差,在,P,0, P,1, P,2, P,3, P,4,处的相位差分别为,在,P,0, P,1, P,2, P,3, P,4,处的光强分别为,24,、,单色平行自然光通过半透半反分束器,H,分成互相垂直的两束光,1,与,2, M,1,、,M,2,是相同的玻璃反射面, 1,与,2,均以布儒斯特角,i,B,=52,30,分别入射到,M,1,、,M,2,反射后得到两束光,1,与,2,。在,1,与,2,重叠区放一观察屏,P,使,1,与,2,对屏的法线对称。,求,(1),屏上干涉条纹的间距,;,(2),在,2,的光路上放置一偏振片,使其偏振化方向与纸,面的法向成,60,角,屏上干涉条纹的可见度,?,解,:,(1),先确定,1,、,2,两光束的入射角,两光相遇,属于偏振光干涉,1,2,A,、,B,两点的光程差之差,:,条纹间距为,(2),设,1,与,2,自然光的光强,均为,2,I,0,当,时，,A,、,B,两处的明条纹就是条纹间距,可见度：,Thank You !,不尽之处，恳请指正！,