理论力学3—空间力系1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第,3,章,工程实际中的空间力系问题,工程实际中的空间力系问题,实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用线往往不在同一平面内，构成了空间力系，,空间力系是最一般的力系,。,3.1,空间力的,投影,及,其,分解,若已知力与正交坐标系,Oxyz,三轴间夹角,则用,直接投影法,(,一次投影法,),y,x,z,F,F,x,F,y,F,z,i,k,j,O,当力与坐标轴,Ox,、,Oy,间的夹角不易确定时,可把力,F,先投影到坐标平面,Oxy,上,得到,力矢量,F,xy,然后再把这个力投影到,x,、,y,轴上,这叫,间接投影法,(,二次投影法,),。,y,x,z,F,F,x,F,y,F,z,g,O,空间力的分解,y,x,z,F,F,x,F,y,F,z,i,k,j,O,3.2,力对点的矩与力对轴的矩,3.2.1,力矩矢,r,x,y,z,O,F,A,(,x,y,z,),B,空间力对点的矩要考虑三个方面,:,力矩的大小,、,指向,和,力矩作用面方位,。这三个因素可用一个,矢量,M,O,(,F,),表示。其,模,表示力矩的大小,(,Fh,);,指向,表示力矩在其作用面内的转向,(,符合右手螺旋法则,);,方位,表示力矩作用面的法线。,M,O,(,F,),h,以,r,表示力作用点,A,的,矢径,3.2.1,力对点的矩以矢量表示力矩矢,这样,在图示坐标系中有,x,y,z,O,F,M,O,(,F,),r,A,(,x,y,z,),h,B,j,i,k,3.2.1,力对点的矩以矢量表示力矩矢,力矩矢,M,O,(,F,),在三个坐标轴上的投影为,x,y,z,O,F,M,O,(,F,),r,A,(,x,y,z,),h,B,j,i,k,F,z,F,x,F,y,3.2.2,力对轴的矩,3.2.2,力对轴的矩,力对轴的矩是,力使刚体绕该轴转动效应的度量,，是一个代数量，其绝对值等于力在垂直于该轴平面上的投影对于,轴与平面交点的矩,。即,:,符号规定,：,从,z,轴正向往负向看，若力使刚体逆时针转动取正号，反之取负,。,也可按右手螺旋法则确定其正负号,。,由定义可知：,当力的作用线与轴平行或相交,(,共面,),时，力对轴的矩等于零。,当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变,。,3.2.3,力对轴之矩的解析表达式,x,y,z,O,F,F,x,F,y,F,z,A,(,x,y,z,),B,F,x,F,y,F,xy,a,b,x,y,设力,F,沿三个坐标轴的分量分别为,F,x,F,y,F,z, 力作用点,A,的坐标为(,x,y,z,), 则,同理可得其它两式。故有,比较力对点的矩和力对轴的矩的解析表达式得,即,:,力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。,3.2.4,力对点的矩与力对轴的矩的关系,例,3-1,求力,F,在三轴上的投影和对三轴的矩。,解,:,y,x,z,F,j,q,b,c,a,F,xy,F,x,F,y,F,z,3.3,空间力偶系,F,F,A,B,d,O,r,B,r,A,r,BA,3.3.1,力偶矩矢,力偶对刚体的作用效应,可用力偶矩矢来度量,即用力偶中两个力对空间某点之矩的,矢量和,来度量。,表明力偶对空间任意点的矩与矩心位置无关,以记号,M,(,F,F,),或,M,表示力偶矩矢,则,力偶矩矢为一自由矢量。,F,F,3.3,空间力偶系,M,F,A,B,d,O,r,B,r,A,r,BA,d,B,A,C,F,3.3,空间力偶系,3.3.2,空间力偶等效定理,F,F,F,F,空间力偶的等效条件是,:,两个力偶的力偶矩矢相等。,力偶由一个平面平行移至刚体另一个平行平面不影响它对刚体的作用效果。,力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为,空间力偶系,。,空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶,合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。,即,:,3.3,空间力偶系,3.3.3,空间力偶系的合成,证明,:,略,根据合矢量投影定理,:,于是合力偶矩的大小和方向可由下式确定,:,3.3,空间力偶系,空间力偶系可以合成一合力偶,所以空间力偶系平衡的必要与充分条件是,:,合力偶矩矢等于零,。即,:,因为,:,所以,:,上式即为,空间力偶系的平衡方程,。,3.3,空间力偶系,3.3.4,空间力偶系的平衡,空间力系向点,O,简化可得到一空间汇交力系和一空间力偶系,如图。,F,n,F,1,F,2,y,z,x,O,F,1,F,n,F,2,M,n,M,2,M,1,z,y,x,O,M,O,F,R,O,x,y,z,3.4.1,空间任意力系的简化,3.4,空间任意力系的简化,空间汇交力系可合成一合力,F,R,:,力系中各力的矢量和称为空间力系的,主矢,。,主矢与简化中心的位置无关,。,3.4.1,空间任意力系的简化,M,O,F,R,O,x,y,z,空间力偶系可合成为一合力偶,其矩矢,M,O,:,力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化中心的,主矩,。,主矩与简化中心的位置有关,。,主矢的大小和方向为,:,或,根据,合力矩定理,得到主矩在三个方向的投影为,:,于是主矩的大小和方向可由下式确定,:,3.4,空间任意力系的简化,3.4.2,空间任意力系的简化结果分析,空间任意力系向任一点简化的结果可能出现四种情况,:,(1),F,R,0,M,O,0 ;,(2),F,R,0,M,O,0 ;,(3),F,R,0,M,O,0 ;,(4),F,R,0,M,O,0,1),空间任意力系简化为一合力偶的情形,F,R,0,M,O,0,简化结果为一个与原力系等效的合力偶,其合力偶矩矢等于对简化中心的主矩。此时力偶矩矢与简化中心位置无关。,F,R,0,M,O,0,这时得一与原力系等效的合力,合力的作用线过简化中心,O,其大小和方向等于原力系的主矢。,3.4.2,空间任意力系的简化结果分析,2),空间任意力系简化为一合力的情形,这时亦得一与原力系等效的合力,其大小和方向等于原力系的主矢。,3.4.2,空间任意力系的简化结果分析,F,R,0,M,O,0 ,且,F,R,M,O,M,O,F,R,O,F,R,F,R,F,R,O,O,d,F,R,O,O,F,R,0,M,O,0 ,且,F,R,M,O,M,O,F,R,O,O,F,R,3),空间任意力系简化为力螺旋的情形,3.4.2,空间任意力系的简化结果分析,此时无法进一步合成,这,就是简化的最后结果,。这种力与力偶作用面垂直的情形称为,力螺旋,。,F,R,与,M,O,同方向时,称为,右手螺旋,;,F,R,与,M,O,反向时,称为,左手螺旋,。图示为一右手螺旋。,F,R,0,M,O,0 ,同时两者既不平行,又不垂直,此时可将,M,O,分解为两个分力偶,M,O,和,M,O,它们分别垂直于,F,R,和平行于,F,R,则,M,O,和,F,R,可用作用于点,O,的力,F,R,来代替,最终,得一通过点,O,的力螺旋,。,M,O,F,R,q,O,M,O,F,R,O,M,O,F,R,O,O,M,O,3.4.2,空间任意力系的简化结果分析,F,R,0,M,O,0 =,空间任意力系平衡的必要与充分条件为,:,力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零,且各力对三个轴之矩的代数和也等于零。,上式即为,空间任意力系的平衡方程,。,3.5,空间任意力系的平衡,不失一般性，假定取,z,轴与各力平行，如右图所示，则空间任意力系的,6,个平衡方程中有,3,个恒为零，即,因而空间平行力系的平衡方程只有下面的,3,个,x,y,z,O,F,1,F,2,F,3,F,n,分析,:,空间平行力系的平衡方程,空间约束类型,例,3-2,扒杆如图所示，立柱,AB,用,BG,和,BH,两根缆风绳拉住，并在点,A,用,球铰,约束，,G,、,A,、,H,在地面上，臂杆的,D,端悬吊的重物重,P,=20 kN,。求两绳的拉力和支座,A,的约束力。,解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标系。,列平衡方程如下：,联立求解得：,例题,3-3,如图所示三轮小车，自重,P,= 8 kN,，作用于点,E,，载荷,F,1,= 10 kN,，作用于点,C,。求小车静止时地面对车轮的约束力。,以小车为研究对象，主动力和约束力组成空间平行力系，受力分析如图。,列平衡方程,解：,解方程得,例,3-4,一车床的主轴如图所示,齿轮,C,半径为,100 mm,卡盘,D,夹住一半径为,50 mm,的工件,A,为向心推力轴承,B,为向心轴承。切削时工件,等速转动,车刀给工件的力,F,x,466 N,、,F,y,352 N,、,F,z,1400 N,齿轮,C,在啮合处受力为,Q,作用在齿轮,C,的最低点，压力角,a,20,。不考虑主轴及其附件的质量,试求,Q,的大小及,A,、,B,处的约束力。,F,x,F,z,F,y,A,F,Ax,F,Ay,F,Az,F,Bz,F,Bx,F,x,F,z,F,y,B,y,x,z,50,200,100,解,:,取主轴及工件为研究对象。,向心轴承,B,的约束反力为,F,Bx,和,F,Bz,止推轴承,A,处约束反力有,F,Ax,、,F,Ay,、,F,Az,其中,F,Ay,起止推作用。主轴共受九个力作用,是空间一般力系。,Q,A,F,Ax,F,Ay,F,Az,F,Bz,F,Bx,F,x,F,z,F,y,B,y,x,z,50,200,100,Q,A,F,Ax,F,Ay,F,Az,F,Bz,F,Bx,F,x,F,z,F,y,B,y,x,z,50,200,100,Q,3.4.1,平行力系中心,平行力系中心是平行力系合力通过的一个点。平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关,而,与各平行力的方向无关,。称该点为此,平行力系的中心。,3.4,重心,F,1,F,R,F,2,y,z,x,O,A,C,B,r,1,r,C,r,2,由合力矩定理：,如果令,F,0,是力作用线方向的单位矢量,则将上式代入（,1,）式得,（,1,）,F,1,F,R,F,2,y,z,x,O,A,C,B,r,1,r,C,r,2,通常采用投影式求出直角坐标分量,去掉,F,0,这个单位矢量,F,1,F,R,F,2,y,z,x,O,A,C,B,r,1,r,C,r,2,重力是地球对物体的吸引力,如果将物体看作由无数的质点组成,则重力便构成,空间汇交力系,。,3.4.2,重心,由于物体的尺寸比地球小得多,因此,可近似地认为重力是个平行力系,这力系的合力就是物体的重量。,不论物体如何放置,其重力的合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的点,这个点称为,物体的重心。,对于,均质物体,、,均质板,或,均质杆,其重心坐标分别为,:,3.4.2,重心,均质物体的重心就是几何中心,即,形心,。,均质物体,均质板,均质杆,3.4.3,确定物体重心的方法,1,简单几何形状物体的重心,如果均质物体有,对称面,或,对称轴,或,对称中心,则该物体的重心必相应地在这个对称面、或对称轴、或对称中心上。简单形状物体的重心可从相应,工程手册,上查到。,2,分割法,如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成,而这些简单物体的重心是已知的,那么整个物体的重心可由下式求出。,3,负面积法,若在物体或薄板内切去一部分,(,例如有空穴或孔的物体,),则这类物体的重心,仍可应用与分割法相同的公式求得,只是,切去部分的体积或面积应取负值。,例,:,求图示均质板重心的位置。,解一 分割法,a,a,a,a,y,x,O,建立图示坐标系,将薄板分为两部分,其重心分别为,C,1,和,C,2,C,2,C,1,解二 负面积法,y,x,O,将薄板分为大、小两个正方形,其重心分别为,C,1,和,C,2,4,悬挂法,5,称重法,则,若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）轮的距离？,有,要测得重心的高度,可将后轮抬起,测出相关数据,H,本章结束,