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,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,12,章,机械振动基础,引 言,单自由度系统的自由振动,计算固有频率的能量法,单自由度系统的有阻尼自由振动,单自由度系统的无阻尼受迫振动,单自由度系统的有阻尼受迫振动,结论与讨论,1,引 言,振动,是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作,往复运动,。,物理学知识的深化和扩展,物理学中研究质点的振动；工程力学研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。,振动属于动力学第二类问题,已知主动力求运动。,2,3,4,5,振动问题的研究方法,与分析其他动力学问题相类似：,选择合适的广义坐标；,分析运动；,分析受力；,选择合适的动力学定理；,建立运动微分方程；,求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。,与分析其他动力学问题不同的是：,一般情形下， 都选择平衡位置作为广义坐标的原点。,研究振动问题所用的动力学定理：,矢量动力学基础中的,动量定理；,动量矩定理；,动能定理；,达朗伯原理。,6,按激励特性划分：,振动问题的分类,自由振动,没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。,参激振动,激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。,自激振动,系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。,受迫振动,系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。,7,按系统特性或运动微分方程类型划分：,线性振动,系统的运动微分方程为线性方程的振动。,非,线性振动,系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。,按系统的自由度划分：,单自由度,振动,一个自由度系统的振动。,多自由度,振动,两个或两个以上自由度系统的振动。,连续系统,振动,连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。,8,12-1,单自由度系统的自由振动,l,0,m,k,k,x,O,x,l,0,st,F,W,1.,自由振动微分方程,l,0,弹簧原长；,k,弹簧刚性系数；,st,弹簧的静变形；,取静平衡位置为坐标原点，,x,向下为正，则有：,9,A,振幅；,n,固有频率；,（,n,+,）,相位；,初相位。,10,单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程,物理学基础的扩展,这一方程，可以扩展为广义坐标的形式,11,设弹簧刚度系数分别为,k,1,和,k,2,，在,W,重力作用下，两弹簧的总静变形,s,等于单个弹簧的静变形之和，有,1.,串联情形,k,1,k,2,W,s,固有频率,上式说明串联弹簧的等效刚度系数为,由于弹簧是串连的，每个弹簧受的力,W,相等，于是,得,串联弹簧与并联弹簧的等效刚度,12,2.,并联情形,固有频率,上式说明并联弹簧的等效刚度系数为,k,1,k,2,W,s,k=k,1,+,k,2,设弹簧刚度系数分别为,k,1,和,k,2,，在,W,重力作用下，静变形为,s,，有,k,1,k,2,W,这种弹簧同样也是属于并联的情况,13,例 题,1,提升重物系统中，钢丝绳的横截面积,A,2.89,10,4,m,2,，材料的弹性模量,E,200GPa,。,重物的质量,m,6000kg,，,以匀速,v,0.25m/s,下降。当重物下降到,l,25m,时，钢丝绳上端突然被卡住。,m,v,l,求,：（,1,）,重物的振动规律,；,（,2,）钢丝绳承受的最大张力。,解,：钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块系统,弹簧的刚度为,设钢丝绳被卡住的瞬时,t,0,，,这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移,x,作为广义坐标，则系统的振动方程为,m,k,静平衡位置,O,x,14,m,k,静平衡位置,O,x,方程的解为,利用初始条件,求得,（,2,）钢丝绳承受的最大张力。,取重物为研究对象,15,如图表示一简支梁和悬臂梁各有一集中载荷，重量为,F,，位置如图所示。已知梁的跨度为,l,，材料的弹性模量为,E,，截面惯性矩为,J,，不计梁的质量，求梁的固有频率。,例 题,2,解：简支梁中点和悬臂梁端点的静挠度分别为,和,相当的弹簧系数分别为,和,则固有频率分别为,和,16,例 题,3,图示结构中，杆在水平位置处于平衡，若,k,、,m,、,a,、,l,等均为已知。,求：,系统微振动的固有频率,a,l,k,F,m,g,O,m,17,解：,取静平衡位置为其坐标原点，,由动量矩定理，得,在静平衡位置处，有,a,l,k,F,m,g,O,m,18,12-2,计算固有频率的能量法,m,k,静平衡位置,O,x,物块的动能为,取静平衡位置为零势能点，有,在静平衡位置处，有,19,物块在平衡位置处，其动能最大,物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大,无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒,20,解：,设,OA,杆作自由振动时，,其摆角,的变化规律为,系统的最大动能为,系统的最大势能为,由机械能守恒定律有,例 题,5,由能量法解,例题,4,d,l,k,F,m,g,O,m,21,例 题,6,半径为,r,、,质量为,m,的均质圆柱体，在半径为,R,的刚性圆槽内作纯滚动 。,求：,微振动固有频率。,R,C,O,解：,设摆角,的变化规律为,系统的最大动能为,22,取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为,由机械能守恒定律有,R,C,O,23,12-3,单自由度系统有阻尼自由振动,阻尼,系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑,表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的,阻力。,物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系,C,粘性阻尼系数或粘阻系数,1.,阻 尼,24,2.,振动微分方程,m,k,m,c,O,x,F,k,F,c,v,取平衡位置为坐标原点，在建,立此系统的振动微分方程时，,可以不再计入重力的影响。,物块的运动微分方程为,25,本征方程,本征值,本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。,设其解为,其通解为,26,3.,小阻尼情形,当,n,1,),情形,临界阻尼,(,1,),情形,这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数,衰减,1,1,x,O,t,29,12-4,单自由度系统无阻尼受迫振动,k,m,0,e,受迫振动,系统在外界激励下产生的振动,。,激励形式,外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。,简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。,30,F,k,F,1.,振动微分方程,m,O,x,x,振动微分方程,31,微分方程的解为：,将,x,2,代入微分方程，得,解得,32,2.,受迫振动的振幅,幅频特性曲线,33,3.,共振现象,当,n,时,，激振力频率等于系统,的固有频率时，振幅在理论上应趋于,无穷大，这种现象称为,共振,。,这表明无阻尼系统发生共振时，,振幅将随时间无限地增大。,34,12-5,单自由度系统有阻尼受迫振动,F,k,m,c,F,m,O,x,F,k,F,c,这一微分方程的全解等于,齐次方程的全解与非齐次方,程的特解之和。,35,有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解,代入微分方程，解得,36,运动微分方程的通解为：,在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成：,第一部分是,衰减振动,；第二部分是,受迫振动,。,引入：,37,38,39,幅频特性与相频特性,1,、,0,的附近区域,(,低频区或弹性控制区,),，,1,，,0,，,响应与激励同相；对于不同的,值，曲线密集，阻尼影响不,大。,2,、,1,的区域,(,高频区或惯性控制区,),，,0,，, ,，,响,应与激励反相；阻尼影响也不大。,40,幅频特性与相频特性,在低频区和高频区，当,1,时，,B /a,1,。,因此，设计时,应当使测振仪具有比较低,的固有频率，才能有比较,大的,值,。,被测频率愈高，测量精,度也高；被测频率低，测,量精度便低。,对于同一,值，阻尼较,大时，,B /a,趋,近于,1,。,46,单自由度线性系统,的受迫振动,受迫振动中的能量关系,惯性力、阻尼力、弹性恢复力和激励力在一个周期内,怎样作功？又有怎样的能量关系呢？,无阻尼自由振动,系统机械能守恒，既无能量的损耗又无外界能量的输,入，一个周期内仅有系统动能和势能的转换。,有阻尼自由振动,阻尼不断耗散能量，而外界又无能量补充，因此振动,幅值随时间衰减。,受迫振动,47,单自由度线性系统,的受迫振动,受迫振动中的能量关系,根据力在,d,t,时间内所作之元功,d,W=,Fv,d,t,当力和速度同相位时，每一时刻都作正功；而当力和速度,反相位时，每一时刻都作负功。,阻尼力和速度反相,，因此始终作负功，在一个周期内所作,的负功为,48,单自由度线性系统,的受迫振动,受迫振动中的能量关系,若力与速度相位相差,/2,，则力在一个周期内作功等于,零。,惯性力和弹性恢复力的相位都与速度相位相差,/2,，因,此，惯性力与弹性恢复力在一个周期内所作之功都作功等,于零。,49,单自由度线性系统,的受迫振动,受迫振动中的能量关系,激励力超前位移,相位，可将其分解为与速度和位移同,相位的两部分。,对于微分方程简谐激励力,第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为,零。这样，激励力在一个周期内所作之功为,50,单自由度线性系统,的受迫振动,受迫振动中的能量关系,第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为,零。这样，激励力在一个周期内所作之功为,这表明，稳态受迫振动一个周期内激励力所作之功等于阻,尼力耗散的能量。这就可以解释为什么有阻尼系统受迫振动,的稳态响应有一个稳定的振幅。,根据稳态响应幅值的表达式有,51,单自由度线性系统,的受迫振动,受迫振动中的能量关系,因为在一个周期内激励力所作,之功与振幅成正比，而阻尼耗散,的能量与振幅平方成正比，当振,动幅值还未达到稳定值,B,0,时，激,励力所作之功大于阻尼耗散的能,量，振幅将增加。,当振幅到达,B,0,时，激励力所作,之功与阻尼耗散的能量相等，系,统能够维持等幅振动。,52,单自由度线性系统,的受迫振动,受迫振动中的能量关系,若由于某种干扰使振幅大于,B,0,时，阻尼耗散的能量大于激励 力,所作之功，振幅又会衰减，直至,在,B,0,处又维持稳定的振幅。,53,结论与讨论,按激励不同，可将振动分为自由振动、强迫振动和自,激振动等，若按系统特性分类，则可分为线性振动和非线,性振动。,关于振动概念,工程力学将振动的概念从物理学中的单个质点扩展到,系统。系统可以是单自由度，也可以是多自由度，乃至无,限多自由度。,系统要产生振动必须有内因和外因：内因是系统本身,既要有弹性又要有惯性，二者缺一不可。对有阻尼系统，,仅在弱阻尼时运动才有振动形态。外因是系统要受到激励。,54,结论与讨论,关于运动微分方程,建立系统运动方程属于动力学第二类问题，即：已知,主动力求运动的问题。主要过程与求解动力学其它问题相,似，但振动问题还要注意广义坐标原点的选择，通常以静,平衡位置作为广义坐标原点。,55,结论与讨论,关于运动微分方程,建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理,*,拉格朗日方程,对于无阻尼的情形,56,结论与讨论,关于运动微分方程,建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理,*,拉格朗日方程,对于有阻尼的情形,57,结论与讨论,关于运动微分方程,动量矩定理,对于有一固定轴，并且绕固定轴,转动的系统，特别对于扭转振动的情形，采用动,量矩定理更好。,J,O,系统绕固定轴,O,的转动惯量的代数和,；,L,O,所有外力对固定轴,O,之矩的代数和,。,力矩方向,与广义坐标方向相同时为正，反之为负,。,建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理,58,结论与讨论,关于运动微分方程,机械能守恒,对于没有能量损耗的保守系统,建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理,59,结论与讨论,有阻尼系统仅在弱阻尼时才有振动形态，阻尼使自由,振动频率略有降低使振幅按指数衰减，振动过程中有能,量耗散。,单自由度线性系统,自由振动要点,固有频率是系统的固有属性，它仅与系统的等效刚度,和等效质量有关。,无阻尼系统的自由振动是简谐振动，其频率就是固有,频率；振幅和初相位取决于初始条件；振动过程中没有,能量的补充或耗散。,60,结论与讨论,单自由度线性系统,简谐激励的受迫振动要点,激励引起的稳态受迫振动，即微分方程的特解。振动频率,为激励频率,。即使系统有阻尼，振幅也不会随时间衰减。,简谐激励的响应包括三部分：,激励引起的自由振动，频率也为,d,，振幅与激励有关。,这两部分振动叠加就是运动微分方程满足初始条件,的齐次解。对有阻尼系统，它们的振幅随时间衰减。,稳态受迫振动中最重要的是共振区、弹性区和惯性,区幅频特性和相频特性研究。,初始条件引起的自由振动，频率为,d,，振幅与激励无关。,61,结论与讨论,单自由度线性系统,简谐激励的受迫振动要点,稳态响应的振幅是稳定的，不会因受,干扰而偏离；无阻尼系统共振时，振幅将,越来越大。这些现象都可以由稳态受迫振,动中的能量关系加以解释。,62,结论与讨论,多自由度线性系统,振动的概念,63,结论与讨论,多自由度线性系统,振动的概念,64,结论与讨论,多自由度线性系统,振动的概念,65,结论与讨论,多自由度线性系统,振动的概念,*,对于多自由度系统，固有频率怎样定义？,*,多自由度系统的振动有什么特点？,*,多自由度系统的自由振动是否也是 简谐振动？,66,结论与讨论,多自由度线性系统,振动的概念,*,一般情形下，多自由度系统的自由振动,并不是简谐振动。但在特定条件下可以是,简谐振动，此时系统各质点同步到达最大,偏离位置或同步到达平衡位置。,67,
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