误差与实验数据处理2011上课课件

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,误差与实验数据处理,教师：李芬,1,基本概念,误差公理： 一切测量都存在误差。,真 值：被测量的真实量值。,等精度测量：在同一条件下进行的重复多次测量。,不确定度,(U),： 表示测量结果不确定的程度。,直接测量：用测量器具直接测出被测量量值的测量。,间接测量：先直接测出与被测量有关的直接测量量值，,再根据该被测量与直接测量量值之间的数,学关系算出被测量量值的测量。,2,测量误差,1,、绝对误差：被测量的测量值,与其真值之差为绝对误差,(,测量误差,),：,式中： 为绝对误差； 为测量值；,R,为被测量的真值,真值包括：,(1),理论真值 三角形的三个内角之和,180,o,(2),约定真值 米原器和千克原器,(3),相对真值 有限次重复测量值的算术平均值,;,高一级准确度等级测量器具所测得的值作为较低,一 级,准确度等级测量器具测量值的真值,2,、相对误差,:,绝对误差与真值之比,.,用百分数表示：,式中：,E,为相对误差；,3,测量结果的表达,1,、 等精度重复直接测量,测量列为,m,1,，,m,2,，,，,m,n,如果系统误差为零或采用修正方法消除了系统误差，也去除了粗大误差,测量结果：,给出上述测量结果同时，还要指明相应的置信概率,p,于是，,测量结果应为,:,同时给出：,重复测取数据个数,n,由置信概率,P,决定。,P=0.95, n,在,22,25,次之间；,P=0.997,，,n,大于等于,370,次；,P=0.683, n,为小于等于,20,次。,4,没有标出准确度等级,可以连续读数（可估读）的仪器，取仪器最小分度值的一半作为仪器的最大误差,没有标出准确度等级,又不可连续读数（不可估读）的仪器，取最小分度值作为仪器的最大误差,已标出准确度等级的仪器，仪器的最大误差 由误差公式计算。,2,、单次直接测量 ：,式中： 为测量仪器的最大误差；,设仪器准确度等级为,a,，满量程为,L,有些仪器最大误差由相应的公式计算,5,数据舍入规则,1,、 若舍去部分的数值小于保留部分末位的半个单位，则末位不变。 例如：将下列数据舍入到小数点后第二位,1.23481.23,（因为,0.00480.005,）,5.624995.62,（因为,0.004990.005,）,5.625015.63,（因为,0.005010.005,）,3,、若舍去部分的数值等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，末位为偶数时不变，末位为奇数时加,1,。,1.23501.24,（因为,0.0050=0.005,，且,3,为奇数）,5.625005.62,（因为,0.00500=0.005,，且,2,为偶数）,5.605005.60,（,0,认为是偶数）,6,测量结果中， 或 保留数字位数应与不确定度一致,最终结果，标准偏差 取一位有效数字，相对误差 取两位有效数字。在计算过程中多取一位，在误差处理中， 和 都采用进位的方法。,标准偏差 和 都应取成 。,例如 ：,取,例如：,保留数字位数,1,、,2,、,7,测量误差的分类,1,、系统误差：,在相同条件下，多次重复测量同一量值时，误差的大小和符号保持不变或按一定规律变化。,2,、随机误差：,在相同条件下，多次重复测量同一量时，误差的大小、符号均无规律地变化。,3,、粗大误差：,在相同条件下，多次重复测量同一量时，明显歪曲测量结果的误差。,8,系统误差的判别,2,、残余误差观察法,（根据测量顺序作图观察，判断有规律系统误差）,m,1,，,m,2,，,.,，,m,n,n,r,1,2,3,4,0.1,0.2,0.3,1,、实验对比法,（,判断固定不变的,系统误差）,9,随机误差的方差和标准差,1,、无限次测量列任一次,测量值的标准差（,n,）,对等精度无限测量列,m,1,，,m,2,，,，,m,n,去除了系统误差和粗大误差，任一次测量值的方差和标准差分别为：,按上式计算标准差需要已知真值，测量次数,n,需足够大，是理论计算公式。,10,2,、,有限次,测量列任一次,测量值的标准差,（,贝塞尔公式,）,实际测量中，测量次数,n,是有限的,，用算术平均值作为被测量的真值的最佳值，则任一次测量值的标准差的方差和标准差分别为：,测量结果：,同时给出：,11,3,、测量列算术平均值的标准差,在相同条件下，对被测量重复做,n,次测量，得,m,1,，,m,2,，,，,m,n,，去除系统误差和粗大误差，由于随机误差的存在,围绕测量值算术平均值的标准差，由下式求出：,测量结果：,同时给出,:,12,粗大误差的剔除,拉依达准则：,格拉布斯准则：,凡剩余误差大于格拉布斯鉴别值的误差被认为是粗大误差，该测量值舍去,式中,g,（,a,，,n,）为格拉布斯准则判别系数，它与测量次数,n,及显著性水平,(,取,0.05,或,0.01),有关，判别系数见下表,m,1,，,m,2,，,，,m,n,（,n,10,）,该测量值舍去,13,n,a,n,a,0.05,0.01,0.05,0.01,g,（,n, a,）,g,（,n, a,）,3,1.15,1.16,17,2.48,2.78,4,1.46,1.49,18,2.50,2.82,5,1.67,1.75,19,2.53,2.85,6,1.82,1.94,20,2.56,2.88,7,1.94,2.10,21,2.58,2.91,8,2.03,2.22,22,2.60,2.94,9,2.11,2.32,23,2.62,2.96,10,2.18,2.41,24,2.64,2.99,11,2.23,2.48,25,2.66,3.01,12,2.28,2.55,30,2.74,3.10,13,2.33,2.61,35,2.81,3.18,14,2.37,2.66,40,2.87,3.24,15,2.41,2.70,50,2.96,3.34,16,2.44,2.75,100,3.17,3.59,14,0.0001,0.01,24.76,9,0,0,24.75,8,0.0001,- 0.01,24.74,7,0.0004,- 0.02,24.73,6,0,0,24.75,5,0.0025,+0.05,24.80,4,0.0004,- 0.02,24.73,3,0.0001,+0.01,24.76,2,0.0001,- 0.01,24.74,1,序号,等精度直接测量列的数据处理实例,例：对某一轴的直径进行等精度测量,9,次，得到下表数据，求测量结果。,1,、求算数平均值,2,、求残余误差,3,、判断系统误差,根据残余误差观察法，由表可以看出误差符号大体上正负相同，且无显著变化规，判断该测量列无有规律变化的系统误差。,15,4,、求测量值的标准差,5,、判别粗大误差,本实例测量轴径的次数较少，因而不采用拉依达 准则判别粗大 误差，采用格拉布斯准则，,故判别测量列中存在粗大误差,将,m,4,去掉后,重新计算。,16,0.000225,0.015,24.76,9,0.000025,0.005,24.75,8,0.000025,- 0.005,24.74,7,0.000225,- 0.015,24.73,6,0.000025,0.005,24.75,5,0.000225,- 0.015,24.73,3,0.000225,0.015,24.76,2,0.000025,- 0.005,24.74,1,序号,6,、再一次求算数平均值、残余误差、标准差、判别粗大误差 等,17,7,、最后的测量结果,18,间接测量,设,N,为间接测量量，,x,、,y,、,z,为独立的直接测量参数,N =,f,(x,、,y,、,z),间接测量量,N,的误差是分别由,x,、,y,、,z,在各自直接测量中的误差引起的，间接测量标准误差计算式为,:,19,N,的相对误差为,:,20,27.215,20.53,13.73,6.73,0,27.15,27.2,27.2,27.25,27.25,27.2,27.3,27.3,27.3,27.35,27.1,27.1,27.1,27.2,27.2,20.45,20.50,20.525,20.575,20.6,20.55,20.55,20.6,20.65,20.65,20.35,20.45,20.45,20.5,20.55,13.65,13.725,13.7,13.775,13.8,13.75,13.8,13.8,13.85,13.9,13.55,13.65 13.6,13.7,13.7,6.675,6.725,6.75,6.75,6.75,6.7,6.75 6.8,6.8,6.8,6.65,6,.7,6.7,6.7,6.7,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,右,左,右,左,右,左,右,左,右,左,右,左,40,30,20,10,0,间接测量举例：,已知,:,旋光性溶液的长度,:,L=10 cm,浓度：,C,0,=0,；,C,1,=10%,；,C,2,= 20%,；,C,3,= 30%,；,C,4,= 40%,测得不同浓度的旋光度, 数据表,21,求：旋光率,a,注：,i,代表不同浓度,1,、 由式,得,其中,:,2,、,22,b.,坐标轴焦点用低于测量值最低值且与最低值相近的整数表示,不一定从零开始,测量数据的表示方法,c.,数据过大或过小，分度应以 表示，坐标轴 不标数据点,d.,描点用,、*,等标出。,f.,图线大约在 或 位置,1,、,列表法,：表名、已知条件列在表格右上方，行、列标清标题（名称代表符号、,单位（,在符号后并括起来,） 。同一个单位可标在表格右上方,2,、,作图法,:,a.,水平轴自变量，纵轴因变量，标明符号、单位,e.,注明图号、图名,23,3,、实验数据的直线拟合,（一元线性回归）,:,给测量值配上一个最佳的直线方程的过程。设测得一组数（,x,i,、,y,i,）,对于每一个测量值,x,i,，它对应的测量值为,y,i,，由公式,( 1 ),计算出,x,i,对应的,y,值，再由公式,( 2 ),计算差值,v,i,( 1 ),( 2 ),对于,公式,( 1 ),，,最佳的直线方程应该,使得差值的平方和为最小，即,24,r,的绝对值越近于,1,，说明线性函数拟合是合理的。,r,等于零或趋近于零，说明,x,、,y,两物理量根本不存在线性关系,。,得到,分别求得,25,27.215,20.53,16.73,13.73,6.73,0,27.15,27.2,27.2,27.25,27.25,27.2,27.3,27.3,27.3,27.35,27.1,27.1,27.1,27.2,27.2,20.45,20.50,20.525,20.575,20.6,20.55,20.55,20.6,20.65,20.65,20.35,20.45,20.45,20.5,20.55,16.675,16.7,16.725,16.75,16.8,16.75,16.8,16.8,16.85,16.9,16.6 16.6,16.65,16.65,16.7,13.65,13.725,13.7,13.775,13.8,13.75,13.8,13.8,13.85,13.9,13.55,13.65 13.6,13.7,13.7,6.675,6.725,6.75,6.75,6.75,6.7,6.75 6.8,6.8,6.8,6.65,6,.7,6.7,6.7,6.7,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,右,左,右,左,右,左,右,左,右,左,右,左,40,30,X,20,10,0,( 0 , 0 ),( 10% , 6.73 ),( 20% , 13.73 ),( 30% , 20.53 ),( 40% , 27.215 ),例：,26,27,如何写实验报告,实验名称,实验目的,实验原理,实验内容,实验步骤,实验仪器,实验数据处理,实验数据记录,回答思考题,绘制实验数据曲线,实验课前做好预习,作业：提交一份误差处理方法总结及误差处理的例子,28,29,随机误差,设测量列为,m,1,，,m,2,，,，,m,i,则用绝对误差表示的随机误差列,i,为：,i,m,i,R,（,i,1,，,2,，,3,，,，,n,）,将上式两边求和得：,由正态分布的抵偿特性有：,有,当,n,为有限值时，测量值序列的算术平均值为,:,30,