静定平面桁架李廉锟结构力学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,结构力学,中南大学,*,第,五,章 静定平面桁架,5-1,平面桁架的计算简图,5-2,结点法,5-3,截面法,5-4,截面法与,结点法的联合应用,5-5,各式桁架比较,5-6,组合结构的计算,1,桁架是由杆件相互连接组成的,格构状体系,，它的结点均为,完全铰结,的结点，它受力合理用料省，在建筑工程中得到广泛的应用。,1,、桁架的计算简图,(truss structure),武汉长江大桥所采用的桁架型式,屋架,计算简图,5-1,平面桁架的计算简图,2,纵梁,主桁架,横梁,空间桁架荷载传递途径：,荷载传递,:,轨枕,-,纵梁,-,结点横梁,-,主桁架,5-1,平面桁架的计算简图,3,上弦杆,Top chard,下弦杆,Bottom chard,竖杆,Vertical chard,斜杆,Diagonal chard,跨度,桁高,弦杆,腹杆,节间,d,经抽象简化后，,杆轴交于一点，且,“,只受结点荷,载作用的直杆、铰结体系,”,的工程结构,桁架,桁架各部分名称：,5-1,平面桁架的计算简图,4,桁架计算简图假定：,(,1,),各杆在两端用绝对光滑而无摩擦的铰（理想铰）相互联结。,(,2,),各杆的轴线都是直线,而且处在同一平面内，并且通过铰的几何中心。,(,3,),荷载和支座反力都作用在结点上,其作用线都在桁架平面内。,思考,:,实际桁架是否完全符合上述假定,?,主内力,:,按理想桁架算出的内力，各杆只有轴力,。,实际桁架不完全符合上述假定,但,次内力的,影响是次要的。,5-1,平面桁架的计算简图,次内力：,实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲，由此引起的内力。,5,2,、桁架的分类,一、根据维数分类,1,）,.,平面（二维）桁架,（,plane truss,）,所有组成桁架的,杆件,以及,荷载,的作用线都在,同一平面内,5-1,平面桁架的计算简图,6,2,）,.,空间（三维）桁架,（,space truss,）,组成桁架的杆件不都在同一平面内,5-1,平面桁架的计算简图,7,二、按外型分类,1.,平行弦桁架,2.,三角形桁架,3.,抛物线桁架,5-1,平面桁架的计算简图,8,三、按几何组成分类,2.,联合桁架,（,combined truss,）,3.,复杂桁架,（,complicated truss,）,5-1,平面桁架的计算简图,1.,简单桁架,（,simple truss,）,9,四、按受力特点分类,2.,拱式桁架,竖向荷载下将产生水平反力,1.,梁式桁架,5-1,平面桁架的计算简图,10,二、桁架的内力计算,1.,结点法,和,截面法,结点法,最适用于计算简单桁架。,取结点为隔离体，建立（汇交力系）平衡方程求解。原则上应使每一结点只有两根未知内力的杆件。,通常假定未知的轴力为拉力，计算结果得负值表示轴力为压力。,5-2,结点法,11,例,5-1,试用结点法求三角形桁架各杆轴力。,解,:,(1),求支座反力。,(),(),(2),依次截取结点,A,，,G,，,E,，,C,，,画出受力图，由平衡条件求其未知轴力。,5-2,结点法,12,取,A,点为隔离体，由,（拉）,所以,（压）,有,5-2,结点法,13,取,G,点为隔离体,5-2,结点法,14,取,E,点为隔离体，由,联立解出,，,5-2,结点法,15,取,C,点为隔离体，由,得,，,，,5-2,结点法,16,可以看出，桁架在对称轴右边各杆的内力与左边是对称相等的。,结论：对称结构，荷载也对称，则内力也是对称的。,5-2,结点法,17,以结点作为平衡对象，结点承受汇交力系作用。,按与,“,组成顺序相反,”,的原则，逐次建立各结点的平衡方程，则桁架各结点未知内力数目一定不超过独立平衡方程数。,由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。,小结,:,5-2,结点法,18,1.,对于一些特殊的结点，可以应用平衡条件直,接判断该结点的某些杆件的内力为零。,零杆,(,1,),两杆交于一点，若,结点无荷载,，则两杆的内力都,为,零,。,5-2,结点法,结点法计算简化的途径：,19,(,2,),三杆交于一点，其中两杆共线，若,结点无荷载,，则,第三杆是零杆,，而在直线上的两杆内力大小相等，且性质相,同（同为拉力或压力）。,5-2,结点法,20,(,3,),四杆交于一点，其中两两共线，若,结点无荷载,，则,在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同。,推论，,若将其中一杆换成外力,F,，则与,F,在同一直,线上的杆的内力大小为,F,，性质与,F,相同。,5-2,结点法,21,(,4,),四杆交于一点，其中两两共线，若,结点无荷载,，则,在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同。,5-2,结点法,22,值得注意：,若事先把零杆剔出后再进行计算，可使计算大为简化。,5-2,结点法,F,P,/2,F,P,/2,F,P,F,P,F,P,23,零杆,:,轴力为零的杆,练习,:,试指出零杆,受力分析时可以去掉零杆,是否说该杆在结构中是可,有可无的,?,5-2,结点法,24,5-2,结点法,练习,:,试指出,零杆,25,5-2,结点法,练习,:,试指出,零杆,26,下图示对称结构在正对称荷载作用下，若,A,点无外荷载，则位于对称轴上的,杆,1,、,2,都是零杆,。,练习,:,试指出,零杆,5-2,结点法,为什么,?,27,F,Ay,F,By,结点法计算简化的途径：,2.,对称结构受对称荷载作用,内力和反力均为对称,:,受反对称荷载作用,内力和反力均为反对称。,E,点无荷载,红色杆不受力,F,Ay,F,By,垂直对称轴的杆不受力,对称轴处的杆不受力,5-2,结点法,28,应用范围,1,、求指定杆件的内力；,2,、计算联合桁架。,截面法定义,:,作一截面将桁架分成两部分，然后任取一部分为隔离体,(,隔离体包含一个以上的结点,),，根据平衡条件来计算所截杆件的内力。,联合桁架,(,联合杆件,),指定杆件,(,如斜杆,),5-3,截面法,29,截面法计算步骤,2.,作截面,(,用平截面，也可用曲截面,),截断桁架，取隔离体；,3. (1),选取矩心，列力矩平衡方程,(,力矩法,)(2),列投影方程,(,投影法,),；,4.,解方程。,1.,求反力,(,同静定梁,),；,注意事项,1,、尽量使所截断的杆件不超过三根,(,隔离体上未知力不超过三个,),，,可一次性求出全部内力；,2,、选择适宜的平衡方程，最好使每个方程中只包含一个未知力，,避免求解联立方程。,3,、若所作截面截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中，,除一杆外，其余均汇交于一点,(,力矩法,),或均平行,(,投影法,),，则该杆,内力仍可首先求得。,分类,力矩法和投影法,5-3,截面法,30,示例,1,：,试求图示桁架中杆,EF,、,ED,，,CD,，,DG,的内力。,截面如何选择？,5-3,截面法,31,解,:,(,1,),求出支座反力,F,A,和,F,B,。,(,2,),求下弦杆,CD,内力，利用,I-I,截面,，,力矩法,F,A,d-F,1,d-F,2,0-F,NCD,h=0,F,NCD,=(F,A,d-F,1,d-F,2,0)/h,与等代梁比较，得出：,F,NCD,=M,0,E,/h,（自己总结）,当荷载向下时，,M,0,E,为正，,F,NCD,为拉力，即简支桁架下弦杆受拉。,取,EF,和,ED,杆的交点,E,为矩心，,CD,杆内力臂为竖杆,高,h,，,由力矩平衡方程,M,E,=0,，可求,CD,杆内力。,5-3,截面法,32,(,3,),求,上弦杆,EF,内力,F,A,2d-F,1,2d-F,2,d+F,xEF,H=0,F,xEF,=-(F,A,2d-F,1,2d-F,2,d)/H,与等代梁比较，得出：,F,xEF,=-M,0,D,/H,，,再由比例关系求,F,NEF,。,当荷载向下时，,M,0,D,为正，,F,NEF,为压力，即简支桁架上弦杆受压。,取,ED,和,CD,杆的交点,D,为矩心，由力矩平衡方程,M,D,=0,，先求,EF,杆的水平分力,F,xEF,，此时力臂即为桁高,H,。,5-3,截面法,33,(,4,),斜杆,ED,-F,A,a+F,1,a+F,2,(a+d)+F,yED,(a+2d) =0,F,yED,=(F,A,a-F,1,a-F,2,(a+d)/ (a+2d),再由比例关系求,F,NED,，,其拉或压需视上式右端分子,为正或为负而定。,取,EF,和,CD,杆的延长线交点,O,为矩心，并将,F,NED,在,D,点分解为水平和竖向分力,F,xED,和,F,yED,，由力矩平衡方程,M,O,=0,，先求,ED,杆的竖向分力,F,yED,，此时力臂即为,a+2d,。,(,5,) DG,杆如何求？,利用,II-II,截面 ，,投影法,5-3,截面法,34,示例,2,：,试求图示桁架,a,杆的内力。,解,(,1,),求支座反力。,(,2,),直接求出,a,杆的位置困难。首先作截面,-,，求出,F,N,EC,，,然后取结点,E,就可求出,a,杆的轴力。,作截面,-,，取截面左侧部份为隔离体，由,故,5-3,截面法,35,(,3,),取结点,E,为隔离体，由,思考：,是否还有不同的途径可以求出,F,N,？,5-3,截面法,36,截面单杆,:,用截面切开后，通过一个方程,可求出内力的杆,.,截面上被切断的未知轴力的,杆件只有三个,三杆均为单杆,.,截面上被切断的未知轴力的,杆件除一个外交于一点,该杆,为单杆,.,截面上被切断的未知轴力的,杆件除一个均平行,该杆为单,杆,.,截面法技巧：,5-3,截面法,37,相 交 情 况,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,a,为截面单杆,5-3,截面法,38,平行情况,F,P,F,P,b,为截面单杆,5-3,截面法,39,练习,:,求图示桁架指定杆件内力,(,只需指出所选截面即可,),5-3,截面法,40,5-3,截面法,41,5-3,截面法,42,5-3,截面法,43,在桁架的计算中，结点法和截面法一般结合起来使用。,尤其当,（）只求某几个杆力时；,（）联合桁架或复杂桁架的计算。,例,5-1,试求图示,K,式桁架中,a,杆和,b,杆的内力。,如何合理选择截面？,杆件数大于,3,5.4,截面法与,结点法,的联合应用,44,截取结点,K,为隔离体，,由,K,形结点的特性可知,(,结点法,),F,Na,=-F,Nc,或,F,ya,=-F,yc,由截面,I-I,(,截面法,),根据,F,y,=0,有,3F-F/2-F-F+F,ya,-F,yc,=0,即,F/2+2F,ya,=0,得,F,ya,=-F/4,由比例关系得,F,Na,=-F/45/3=-F/12,截面法不能直接求解,5.4,截面法与,结点法,的联合应用,45,由截面,I-I,(,截面法,),根据,M,C,=0,即可求得,F,Nb,，,F,Nb,=-(3F,8-F/2,8-F,4)/6=-8F/3,也可作截面,II-II(,曲截面,),并取左半边为隔离体，,(,更简捷,),由,M,D,=0,F,Nb,6+3F,8-F/2,8-F,4=0,5.4,截面法与,结点法,的联合应用,46,例,5-2,试求图示桁架,HC,杆的内力。,支座反力如图。,取截面,I-I,以左为隔离体，由,M,F,=0,可得,F,NDE,=905/4=112.5kN(,拉,)(,截面法,-,力矩法,),由结点,E,的平衡得,F,NEC,=F,NED,=112.5kN (,拉,),5.4,截面法与,结点法,的联合应用,47,再取截面,II-II,以右为隔离体，由,M,G,=0,并将,F,NHC,在,C,点分解为水平和竖向分力，可得,F,xHC,=(3015-112.56)/6=-37.5kN(,拉,),F,yHC,过铰,G,，不产生力矩，先求,F,xHC,(,截面法,-,力矩法,),由几何关系,F,NHC,=-40.4kN,5.4,截面法与,结点法,的联合应用,48,对称结构,:,几何形状和支座对某轴对称的结构,.,对称荷载,:,作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作,用点对称的荷载,反对称荷载,:,作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,作用点,对称,方向反对称的荷载,对称荷载,反对称荷载,对称性的利用,49,对称结构的受力特点,:,在对称荷载作用下内力是对称的,在反对称荷载作用下内力是反对称的,.,对称,平衡,反对称,平衡,对称性的利用,50,例,:,试求图示桁架,A,支座反力,.,对称荷载,反对称荷载,0,0,0,B,C,0,对称性的利用,51,例,:,试求图示桁架各杆内力,.,对称性的利用,52,(a),例,3 :,试对图,(a),所示桁架，,1),分析并确定求解整个桁架内力的路径；,2),寻找只计算杆,a,轴力时的简捷方法，并求出杆,a,轴力,5.4,截面法与,结点法,的联合应用,(b),解：,先求出支座反力，见图,(b),53,(c),由图,(c),所示截面左侧隔离体求出截面截断的三根杆的轴力后，即可依次按结点法求出所有杆的轴力。,利用截面,I,I,截开两简单桁架的连接处，取截面任一侧为隔离体，见图,(c),5.4,截面法与,结点法,的联合应用,54,见图,(d),，由结点,H,的结点单杆,EH,上的轴力，再由结点,E,（当杆,EH,轴力已知时，杆,a,既是结点,E,上的结点单杆）可求出杆,a,的轴力。,方法,1,：,5.4,截面法与,结点法,的联合应用,(d),55,取截面,II,II,下为隔离体，见图,(e),(e),方法,2,：,5.4,截面法与,结点法,的联合应用,该隔离体上有,5,根被截断的杆件，但有,4,根是交于一点,A,的，因此利用以铰,A,为矩心的力矩方程，可直接求出杆,a,的轴力。,56,将杆,a,轴力在,B,点分解，由,5.4,截面法与,结点法,的联合应用,57,(a),例,4,5.4,截面法与,结点法,的联合应用,解：由上部结构的整体平衡条件，求的支座反力如图,(b),所示。,(b),58,取截面,I,I,右，可求该截面上的单杆,AK,的轴力（当不利用结构的对称性时，这一步是解题的关键）。计算如下：,5.4,截面法与,结点法,的联合应用,59,一、桁架的外形对内力的影响,桁架的外形对桁架内力的分布有比较大的影响，在设计时应根据这些影响来选择合适的桁架外型。,平行弦桁架,三角形桁架,梯形桁架,抛物线形桁架,5.5,各式桁架比较,60,1.,桁架的外形对弦杆内力的影响,等代梁,平行弦桁架，由截面,-,截断桁架，取左侧部份为隔离体,对,结,点,7,取力矩求得,5.5,各式桁架比较,61,F,N68,的,分子相当于此桁架的等代梁上与结点,7,对应处截面的弯矩,M,7,0,，,分母,h,则为,F,N68,对矩心的力臂。上式可写为,:,M,0,为等代梁上对应截面的弯矩。下弦杆受拉，取正号；上弦受压，取负号。,同理，其他弦杆的力可以表示成类似的公式,5.5,各式桁架比较,62,等代梁,平行弦桁架,h,为常数，弦杆的内力与,M,0,成比例变化。,弦杆内力分的规律是：,中间弦杆的内力较大而靠近支座处的弦杆内力较小。,结论：,5.5,各式桁架比较,63,三角形桁架,，力臂,h,值由两端向中间按直线规律递增，而各结点对应的,M,0,值按抛物线规律变化。力臂的增长比弯矩的增大来得快。,弦杆内力变化的是：,靠近支座处弦杆的内力较大而逐渐向跨中递减。,梯形桁架,，其形状介于平行弦桁架和三角形桁架之间，其内力相对比较均匀。,抛物线桁架,，当计算下弦杆的内力时，,M,0,和,h,均按抛物线变化。下弦杆的内力为一常数。上弦杆内力的水平分力也相等。整个桁架的上下弦杆的内力分布比较均匀。,5.5,各式桁架比较,64,2,.,桁架的外形对腹杆（竖杆或斜杆）内力的影响,竖杆,6-5,(,或斜杆,6-7,),的内力可由截面,-,(,或,-,),以左部份平衡条件,Y,=0,求得。,竖杆的内力和斜杆内力的竖向分力,分别等于代梁对应结间处的剪力,F,S,0,，即,5.5,各式桁架比较,65,由 可见：,腹杆的内力可正可负，其数值与代梁的剪力有关。,靠近支座外腹杆的内力较大，跨中的腹杆内力较小。,桁架的弦杆主要是承担弯矩而腹杆则主要承担剪力。,问：抛物线形桁架其腹杆的内力为零吗？,对于抛物线形桁架由于各结间的下弦杆内力均相等，故可判断其腹杆的内力均为零。,上述几种类型的桁架中，抛物线形桁架的内力最为均匀，但构造复杂。在大跨度的结构中采用抛物线型桁架是一种比较合理的选择。,5.5,各式桁架比较,66,二、桁架的应用,（,1,）,平行弦桁架有利于标准化，便于制作和施工拼装；适用于轻型桁架，采用一致截面的弦杆而不至于有很大的浪费。,（,2,）,三角形桁架符合屋顶构造需要，常在屋架中采用，其端结点构造布置较为困难。,（,3,）,抛物线形桁架内力分布均匀，材料使用较为经济，但结点构造复杂，适合于跨度较大的桥梁和屋架。,5.5,各式桁架比较,67,F,P,如何,计算？,68,比较内力,69,组合结构定义：,链杆只受轴力，受弯杆件同时受有弯矩和剪力。,受力特点：,组合结构是指由链杆和受弯杆件混合组成的结构。,5.6,组合结构的计算,70,分析步骤：,先求反力，然后计算各链杆轴力，最后分析受弯杆件。,选择恰当方法解决关键杆内力计算,选择截面时，必须注意区分两类杆,求解的关键点,:,求解此类结构的方法应与求解梁的方法和求解桁架的方法结合应用。,5.6,组合结构的计算,71,例,5-3,试分析图示组合结构的内力。,1,）首先求出反力,8 kN,2 m,2 m,2 m,4 m,4 m,4 m,A,B,C,D,E,G,F,5 kN,I,I,3 kN,2,）,一般情况下应先计算链杆的轴力,取隔离体时宜尽量避免截断受弯杆件,5,6,-6,12,-6,5,6,M,图,(kN.m),F,N,图,(kN),5.6,组合结构的计算,72,作截面,I-I,拆开铰,C,并截断拉杆,DE,，取右边为隔离体，由,M,C,=0,有,3kN8m-F,NDE,2=0,得,F,NDE,=12kN(,拉力,),分别取结点,D,、,E =,F,NFD,、,F,NAD,、,F,NEG,、,F,NEB,3,）,分析受弯杆件,取,AC,杆为隔离体，考虑其平衡可得,F,CH,=12kN(),，,F,CV,=3kN(,),绘制内力图,5.6,组合结构的计算,73,例,5-4,组合结构如图示，试求,AC,杆的内力图。,解,:,AC,杆、,CB,杆是承受弯曲的杆件。,(,1,),求支座反力, ,5.6,组合结构的计算,74,(,2,),作截面,-,，考虑左半部分平衡。,由 ， ， 得,由,得,由 ， ，得,5.6,组合结构的计算,75,由 ， ，得,(,3,),取铰,E,为隔离体,由 ， ， 得,5.6,组合结构的计算,76,(,4,),作,AC,杆的内力图。,考虑截面,-,右侧部分平衡，可以作用类似方法和步骤求得,CB,杆的内力图。,5.6,组合结构的计算,77,思考：,取隔离体时,可否用截面,-,将结构截断？,注意：,准确判断哪些杆件是梁式杆，哪些杆件是链杆，是计算的关键。,5.6,组合结构的计算,78,例,可不求出反力，直接作出受弯杆,M,图，再由此,M,图及对称性、结点法求出所有二力杆轴力。,5.6,组合结构的计算,79,5-6 5-9,5-11 5-14,5-17,5-19,本章课后作业：,80,