行列式的展开

第六节 行列式按行（列）展开,n阶行列式的性质,例如,一、余子式与代数余子式,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的,余子式,，记作,叫做元素 的,代数余子式,例如,引理,一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,证,当 位于第一行第一列时,即有,又,从而,再证一般情形,此时,得,得,中的余子式,故得,于是有,定理,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,二、行列式按行（列）展开法则,例1,证,用数学归纳法,例2,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,则对n阶范德蒙德行列式设法,降阶,:从n行开始,后行减去前行的x,1,倍,n-,1阶范德蒙德行列式,推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,相同,关于代数余子式的重要性质,例,计算行列式,解,按第一行展开，得,例,计算行列式,解,1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,作业,P277（1）（2）（3）,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,思考题解答,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,