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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第一章 随机事件及其概率,基本概念,1. 随机试验；2. 样本空间；3. 随机事件,事件间的关系,1.子事件：,A,B,2.和事件：,A,B,3.积事件:,AB,4. 差事件:,A,-,B,=,A,-,AB,=,AB,5. 互斥事件(互不相容事件):AB=,6. 互逆事件: AB=,，,且AB=S,事件的运算法则,1. 交换律：,AB=BA, AB=BA,4. 德.摩根律(对偶原则) ：,设事件A,i,(,i,=1,2,n),则,2. 结合律：,A(BC)=(AB)C;,A(BC)=(AB)C,3. 分配律：,A(BC)=(AB)(AC) ; A(BC)=(AB)(AC,),5. 对必然事件的运算法则：,AS=S, AS=A,6.对不可能事件的运算法则：,A,=A,A,=,设,E-,-随机试验，,S,-样本空间. 事件,A,P,(,A,), 称为事件,A,的,概率, 如果,P,( )满足下列条件:,1 ,非负性：,对于每一个事件,A,，有,P,(,A,)0,；,2,规范性:,对于必然事件,S, 有,P,(,S,)=1,；,3 ,可列可加性:,设,A,1,，A,2,，, 是,两两互不相容,的事件，即对于 则,P,(,A,1,A,2,)=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+,概率公理化定义,概率性质,(2) (,有限可加性,),若,A,1,，A,2,，,A,n,两两不相容，,P,(,A,1,A,2,A,n,)=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+,+,P,(,A,n,),(1),P(,)=0,(3) 若,A,B,，则有,P,(,B,A),=,P,(,B,) ,P,(,A,) ;,(5),逆事件,：,P,(,A,)=1 ,P,(,A,)，,(4) 对于任一事件,A,，有,P,(,A,)1，,一般有,P,(,B,A,)=,P,(,B,) ,P,(,A,B),(6),(,加法公式,),P(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,)-,P,(,AB,),P,(,A,1,A,2,A,3,)=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+,P,(,A,3,)-,P,(,A,1,A,2,)-,P,(,A,1,A,3,)-,P,(,A,2,A,3,)+,P,(,A,1,A,2,A,3,),等可能概型(,古典概型,),1.定义：,设E是试验，,S,是E的,样本,空间，若,(1) 试验的,样本,空间的元素只有有限个；,(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.,这种试验称为等可能概型或古典概型,2.古典概型中事件,A,的概率的计算公式,几个重要,复杂事件概率计算,公式,1.条件概率,2.乘法公式,3.全概率公式,4.贝叶斯公式,独立性,1,.,事件,A,B,相互独立,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),2,.,A,1,A,2, . ,A,n,两两相互独立,P,(,A,i,A,j,)=,P,(,A,i,),P,(,A,j,) ，（,1,i,j,n,）,3,.,A,1,A,2, . ,A,n,相互独立,（1）,1,i,1,i,2,.i,k,n, (,k,n,),（2）,独立的性质:,设A和B是两个事件,且P(A) 0.若A和B相互独立,则,P(B,|,A)=P(B).反之亦然.,若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立:,A与B, A与B, A与B,则A、B互斥与A、B相互独立不能,同时存在.,若事件A和 独立, 且,则事件A和 独立.,第二章,随机变量及其分布,1.,随机变量的引入,定义：,设随机试验的样本空间为,S,=,e,.,X=X(e),是定义在样本空间,S,上的实值单值函数.称,X=X(e),为随机变量.,与普通实函数的区别：,(1),它的定义域是样本空间,S,，,而,S,不一定是实数集,;,(2),它的取值是随机的，,所,取每一个可能值都有一定,的概率.,随机变量的分类：,离散型/非离散型(连续型),2.离散型随机变量及其概率分布,定义:,取有限个或可数个值的随机变量;,分布律：,P,X,=,x,k,=,p,k,k,=1,2, ,其中,p,k,满足：,常见分布：,1）(0-1)分布：,P,X,=,k,=,p,k,(1-,p,),1-,k, k,=0,1 (0,p,1),2) 二项分布：,X,b,(,n, p,),3) 泊松分布：,3.随机变量的分布函数,定义,：,设,X,是一个随机变量，,x,是任意实数，函数,F,(,x,)=,P,X,x,-,称为,X,的,分布函数,对任意实数,x,1,x,2,分布函数的性质,(1),有界性,(2),F,(,x,)是单调不减的,即若,(3),(4),F,(,x,)是右连续的,即,F,(,x,+0)=,F,(,x,),(1) 离散型随机变量,X,的分布函数,计算公式,(2) 连续型随机变量的分布函数,的定义,f,(,x,)的性质,三种重要的连续型随机变量,(一)均匀分布,(二)指数分布,(三)正态分布,标准正态分布:,X,N,(0,1),x,4,随机变量的函数,的,分布,一、,离散型随机变量函数的分布律,二、连续型随机变量函数的概率密度,方法,：由随机变量X的概率密度 去求,随机变量,Y=g(X),的概率密度,(,step,1) 求出,Y,的分布函数的表达式;,(,step,2) 由分布函数求导数，即可得到.,第三章 二维随机变量及其分布,1.,二维随机变量,设,E,一随机试验,样本空间,S,=,e,X,、,Y,是定义在,S,上的随机变量,向量,(,X,Y,),叫做,二维随机变,(,向,),量,.,2.,二维随机向量,(X,Y),的分布函数,性质：,(1),F,(,x,y,),是变量,x,和,y,的不减函数；,(2),0,F,(,x,y,),1,且,F,(,-,y,)=0,F,(,x,-,),=0,F,(,-,-,),=0,F,(,),=1,F,(,+,y,)=,F,Y,(,y,),F,(,x,+,)=,F,X,(,x,),(3),F,(,x,y,),关于,x,和,y,右连续,;,(4),对于任意,x,1,x,2, y,1, y,2 ,有,F,(,x,2, y,2,),-,F,(,x,2, y,1,)+,F,(,x,1,y,1,)-,F,(,x,1,y,2,),0 .,3.,边缘分布,4.,随机变量独立性的定义,1.,联合分布律：,离散型的二维随机变量,(X,Y),性质：,Y,X,2.,边缘分布律,3,.,独立性,4.分布函数,连续型的二维随机变量,1.,联合概率密度及性质,2.,边缘概率密度,X,的,边缘概率密度,Y,的,边缘概率密度,边缘分布函数,3,.,独立性,(3),若,且,X,与,Y,相互独立,则,X+Y,仍服从正态分布,且,且相互独立,则,推广,:,若,(4),有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,.,(2),若,X,与,Y,相互独立,则,(,1,),若,则,正态分布随机变量的一些常用性质,(1),Z,=,X,+,Y,的分布,分布函数,:,概率密度,:,当,X,和,Y,相互独立,:,卷积公式,两个随机变量的函数的分布,(2),当,X,和,Y,相互独立时,:,M,= max(,X,Y,),的分布函数,N,= min(,X,Y,),的分布函数,第四章 随机变量的数字特征,(一),数学期望(均值),(1-1),X,:,离散型.,分布律:,Y,=,g,(,X,),（,g,为连续函数）,函数：,(1-2),若,Z,=,g,(,X,Y,),（,g,为二元连续函数）,(1-3),设,(,X,Y,),离散型随机变量.,分布律为：,则,(2-1),:,连续型 概率密度为,f,(,x,).,Y,=,g,(,X,),（,g,为连续函数）,(2-2),函数：,则,(2-3),设,(,X,Y,),是连续型随机变量,概率密度为,f,(,x,y,).,若,Z,=,g,(,X,Y,),（,g,为二元连续函数）,(,总结,),数学期望(均值),(3)数学期望的性质:,假设以下随机变量的数学期望均存在,1.,E,(,C)=C, （,C,是常数,）,2.,E,(,CX,)=,CE,(,X,), （,C,是常数,）,3.,E,(X,Y,)=E(,X,),E,(,Y,),4.,设,X,与,Y,相互独立,则,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,),，,反之不真。,(二),方差,1,.,若,X,离散型.,2,.,若,X,连续型.,概率密度为,f,(,x,),(1),计算公式：,3,.,均方差或标准差:,假设下列方差均存在,1,.,D,(,C,)=0, (,C,为常数),2,.,D,(,C,X,)=,C,2,D,(,X,), (,C,为常数),3,.,设,X,与,Y,是两个随机变量，则有,特别，,若,X,与,Y,相互独立:,D,(,X,Y,)=,D,(,X,),+,D,(,Y,),4,.,D,(,X,)=0,P,X,=,E,(,X,)=1.,(2),方差的性质,5。,若,X,服从指数分布,则,E,(,X,)= ,D,(,X,)= .,3。,若,X,(,),则,E,(,X,)=,D,(,X,)=,.,4。,若,X,服从区间,(,a,b,)均匀分布,，,则,E,(,X,)=(,a,+,b,)/2,D,(,X,)=(,b,-,a,),2,/12.,6。,若,X,N,(,2,),则,E,(,X,)=,D,(,X,)=,2,.,2。,若,Xb,(,n,p,),则,E,(,X,)=,np,D,(,X,)=,np,(1-P),.,1。,若,X,服从,两点分布,则,E,(,X,)=,p,D,(,X,)=,p,(1-P),.,(三),一些常见分布的期望与方差,切比雪夫不等式:,定理,设随机变量,X,的数学期望,E,(,X,)=,方差,D,(,X,),=,2,.,则对任意的正数,，有,上式称为切比雪夫,(chebyshev),不等式,注,此不等式给出了,在随机变量的分布未知的情况下,事件 的概率,值,的一种估计方法.,(四),协方差 相关系数,协方差:,计算公式,：,1。,Cov,(,X,Y,)=,E,(,XY,)-,E,(,X,)E(,Y,),2。,D,(,X,Y,)=,D,(,X,),+,D,(,Y,),2,Cov,(,X,Y,),相关系数,:,X,与,Y,不相关:,XY,=0,协方差的性质：,1。,Cov,(,X,X,)=,D,(,X,),2。,Cov,(,X,Y,)=,Cov,(,Y,X,),3。,Cov,(,aX,bY,)=,abCov,(,X,Y,) (,a,b,为常数,),4。,Cov,(,X,1,+,X,2,Y,)=,Cov,(,X,1,Y,)+,Cov,(,X,2,Y,),Cov,(,aX,1,+,bX,2,Y,)=,aCov,(,X,1,Y,)+,bCov,(,X,2,Y,),相关系数的性质：,注:,1),若随机变量,X,与,Y,相互独立,则,X,与,Y,一定不相关;,反之不一定成立。,2),对,二维正态随机变量,(,X,Y,):,X,与,Y,不相关,X,与,Y,独立,3),二维正态分布只要知道,X,与,Y,的分布及相关系,数即可确定.,设,X,Y,为随机变量,则,1),X,的,k,阶原点矩(,k,阶矩)：,2),X,和,Y,的,k+l,阶混合矩：,(五) 矩 协方差矩阵,3),X,的,k,阶中心矩：,4),X,和,Y,的,k,+,l,阶混合中心矩：,几个常用的矩统计量,样本均值,样本标准差,样本,k,阶原点矩,样本,k,阶中心矩,样本方差,数理统计部分,设,X,1, X,2, X,n,是来自总体,N,(0,1),的样本,则,分布,几个常用统计量的分布,设,X,N,(0,1),Y,2,(,n,),且,X,与,Y,独立,则,t,分布,F,分布,设,U,2,(,n,1,),V,2,(,n,2,),且,U,与,V,独立,则,0,F,(,n,1,n,2,),正态总体的样本均值与样本方差的分布,总体,X,均值为,方差为 ,2,X,1, X,2, X,n,是来自,X,的样本,结论,1,设,X,1, X,2, X,n,是来自正态总体,XN (, 2 ),的样本,则,结论,2,点值估计,区间估计,假设检验,参数估计,统计推断,正态总体方差,正态总体均值,总体未知参数的,点估计,用样本,(,原点,),矩作为总体,(,原点,),矩的估计,矩估计法,:,最大似然估计法：,利用,最大似然原理的直观想法,“,概率最大的事件最可能出现,”,，把抽取的样本对应的事件作为概率最大的事件，然后用此倒推未知参数的值,.,似然函数,:,区间估计,:,为了估计总体,X,的未知参数,通过样本寻求一个,区间,，并且给出此,区间覆盖参数,真值的可信程度,这就是总体未知参数的,区间估计问题,估计量的评选标准,:,无偏性,（求期望）,有效性,（求方差）,相合性,（对n求,极限,）,设总体,X,的分布函数,F,(,x,;,),为,未知参数,X,1,X,2, ,X,n,是取自总体,的样本,.,设,满足,0,1,则称随机区间 为,的,置信水平,为,1-,的,置信区间,.,是两个统计量,.,若,置信区间,:,设总体,XN(,2,), X,1, X,2, ,X,n,是总体,X,的样本，,1.,均值,的置信区间,(,a,),2,为已知时,取枢轴量,置信区间,:,或,(b),2,为未知时,取枢轴量,2.,方差,2,的置信区间,取枢轴量,原假设,是被检验的假设,通过检验可能被接受,也可能被否定。,与,H,0,对应的假设,只有在原假设被否定后才可接受的假设。无充分理由是不能轻率接受的。,备择假设,两类错误, =P,第一类错误,=P,拒绝,H,0,|,H,0,真,=,显著水平, =P,第二类错误,=P,接受,H,0,|,H,0,伪,我们希望二者都小点，但是二者不可能同时最小，他们是一个跷跷板的两端，但也不满足,=1-,参数假设检验,单总体,N(,2,),均值,的检验,(,显著水平为,),1.,2,已知,检验统计量,:,H,0,:,=,0,H,1,:,0.,拒绝域,:,-,Z,检验法,检验统计量：,2.,2,未知,-,t,检验法,H,0,:,=,0,H,1,:,0.,拒绝域,:,单总体,N,(,2,),方差,2,的检验,-,2,检验法,拒绝域,:,双边检验,:,取检验统计量,:,假设检验与区间估计的关系：,1.所用的工具都一样，同样的随机变量（枢轴量，检验统计量）,2.问题的提法不同，所用的原理不同，所以取向不同。即与拒绝域对立的接受域就是区间估计中的置信区间。,3.学习的时候注意二者的联系与区别，对比着学习更轻松。,
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