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,*,Chapter 2,Matrix and determinant,2.1,初等变换与矩阵等价,2.2,矩阵的标准形,2.2,初等矩阵,2.4,矩阵的秩,教学目的与要求：,掌握矩阵的初等变换，会求矩阵的标准形，能应用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵，理解矩阵秩的的概念，会求矩阵的秩 。,教学内容：,初等变换,矩阵等阶,初等方阵,矩阵求逆,矩阵的秩。,重点：,矩阵的初等变换，矩阵求逆，矩阵的秩 。,难点：,矩阵的秩,。,教学方式：,讲授。,2.1,、初等变换与矩阵等价,定义,1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换,:,1.,初等（行,/,列）变换,(1),互换两行,(,记作,r,i,r,j,);,(2),以数,0,乘以某一行,(,记作,r,i,);,(3),将第,j,行各元素乘以数,后加到第,i,行,的对应元素上去,(,记作,r,i,+, r,j,),相应地，矩阵的三种,初等列变换,的记号只需将,r,换成,c,。,定义,2,矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同,逆变换,逆变换,逆变换,定义,3,矩阵等价,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系称为等价,2.2,、矩阵的标准形,作为初等变换的应用，我们可以将矩阵化为阶梯形矩阵：,应用,1,：,定理,2.1,（,P35,）,例,1.,对下列矩阵,B,实施初等行变换,特点：,（,1,）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,（,2,）、每个台阶 只有一行，,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,注意：,行最简形矩阵,是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的,行最简形矩阵,再经过初等列变换，可化成,标准形,应用,2,：,说明：矩阵的初等变换不改变方阵的可逆性。,定理,2.2,（,P,36,）,行最简形矩阵,例如,，,特点,：,所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵,.,2.3,、初等矩阵,1,、初等矩阵,定义,由单位矩阵,E,经过一次初等变换得到的矩阵称为,初等矩阵,。,三种初等变换对应着三种初等方阵,.,(1),初等对换阵,r,i,r,j,c,i,c,j,也得到,E,(,i,j,),第,i,行,第,j,行,(2),初等倍乘阵,k,r,i,k,c,j,也得到,E,(,j,(,k,),(3),初等倍加方阵：,r,i,+,k r,j,c,j,+,k c,i,也得到,E,(,i,j,(,k,) ),定理,1,设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵,.,2,、初等矩阵的应用,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,定理,2,设,A,为可逆方阵，则存在有限个初等方阵,证,即,利用初等变换求逆阵的方法：,解,例,即,初等行变换,例,解,列变换,列变换,解,例,3,要打开思路,!,3,、小结,1.,单位矩阵 初等矩阵,.,一次初等变换,2.,利用初等变换求逆阵的步骤是,:,思考题,解,可以看成是由,3,阶单位矩阵 经,4,次初等变换,而得,.,而这,4,次初等变换所对应的初等方阵为,:,由初等方阵的性质得,三、矩阵秩的概念,1,、矩阵的秩,（,1,）,.,k,阶子式,定义,设,A,为,m,n,矩阵，在,A,中任取,k,行,k,列 (1,k, min (,m,n,),),，,由这,k,行，,k,列的交叉处的,k,2,个元素(按原来的前后顺序)所构成的,k,阶行列式，称为矩阵,A,的一个,k,阶子式。,例如：,一个,2,阶子式,例如：,一个,2,阶子式,一个,3,阶子式,(1),A,的每个元素,a,ij,都是,A,的一个一阶子式,(2),当,A,为,n,阶方阵时，,n,阶子式即为,|,A,|,注：,（,2,）,.,矩阵的秩,例如：,r,(,A,) = 3,定义,4.4,矩阵,A,的不为0的子式的最高阶数称为矩阵,A,的,秩,，记为,r,(,A,),。,( 显然,r,(,A,), min (,m,n,),),规定：,注：,非奇异矩阵,A,，有,|,A,|, 0,，,A,的秩就等于它的阶数，,A,又称为,满秩矩阵,。,奇异矩阵,A,，,也称为,降秩矩阵,。,定理 若矩阵,A,中至少有一个,k,阶子式不为0，而所有,k,+1,阶子式全为0，则,r,(,A,) =,k,。,零矩阵的秩为,0,，即,r,(,O,) = 0,例,1,解,例,2,解,例,3,解,计算,A,的,3,阶子式，,另解,显然，非零行的行数为,2,，,此方法简单！,问题,：,经过变换矩阵的秩变吗？,证,2,、矩阵秩的求法,定理,:,对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变,经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变,证毕,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩,.,例,4,解,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,则这个子式便是 的一个最高阶非零子式,.,注,：若,A,为,n,阶满秩方阵，则,其,标准形为,n,阶单位阵,E,。,例,5,解,分析：,三、小结,(2),初等变换法,1.,矩阵秩的概念,2.,求矩阵秩的方法,(1),利用定义,(,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩,).,(,即寻找矩阵中非零子式的最高阶数,);,思考题,思考题解答,答,相等,.,即,由此可知,
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