概率密度函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,概率密度函数,定义,设,X,为一随机变量，若存在非负实函数,f,(,x,),使对任意实数,a b,，,有,则称,X,为连续型随机变量，,f,(,x,),称为,X,的,概率密度函数,简称,概率密度或密度函数,.,分布函数,定义,则称,X,为连续型随机变量，,f,(,x,),称为,X,的概率密度函数,简称概率密度或密度函数,.,概率密度函数的性质,(1),非负性,(2),规范性,密度函数和分布函数的关系,积分关系,导数关系,连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续,P(X=a)=0,P(a,X b)= P(aX,b)=P(a,X,b)=P(aXb),X,取值在某区间的概率等于密度函数在此区间上的定积分,连续型随机变量的分布函数的性质,因此，连续型随机变量取任意指定实数值,a,的概率为,0,解,利用密度函数的性质求出,a,已知密度函数求概率,例,求：（,1,）常数,a,；（,2,）,（,3,）,X,的分布函数,（,1,）由概率密度的性质可知,所以,a,1/2,例,设随机变量,X,具有概率密度,解,已知分布函数求密度函数,（,2)X,的密度函数,（,2,）密度函数为,解,例,Ex:,已,知连续型随机变量,X,的概率密度为,（,2,） 求,X,的分布函数,均匀分布,若连续型随机变量,X,的概率密度为,则称,X,在区间,（,a,，,b,）,上服从均匀分布记为,X U (a, b),定义,分布函数,0 a b,x,X,“,等可能,”,地取区间（,a,b,）,中的值，这里的,“,等可能,”,理解为：,X,落在区间（,a,b),中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说,它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。,0 a b,x,（）,c d,意义,例,设,在,-1,，,5,上服从均匀分布，求方程,有实根的概率。,解,方程有实数根,即,而 的密度函数为,所求概率为,指数分布,若连续型随机变量,X,的概率密度为,定义,分布函数,则称,X,服从参数为,的指数分布,.,定义,分布函数,f(x),和,F(x),可用图形表示,正态分布,则称,X,服从参数为,若连续型随机变量,X,的概率密度为,正态分布的密度函数的性质与图形,关于,x = ,对称,（,- ,，）升，（，,+,）降,单调性,对称性,拐点,中间高,两边低,y,-,+,x,2,，,对密度曲线的影响,正态分布的分布函数,F(x),1,x,标准正态分布,定义,X N,（,0,，,1,）,分布称为标准正态分布,密度函数,分布函数,偶函数,标准正态分布的概率计算,分布函数,X,-x,标准正态分布的概率计算,公式,查表,例,X N,（,0,，,1,）,一般正态分布的标准化,定理,查标准正态分布表,概率计算,一般正态分布的区间概率,。,。,。,设,XN,（,1,，,4,），,求,P(0X1.6),解,例,正态分,布的实际应用,已知,90,分以上的,12,人，,60,分以下的,83,人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为,78,分，问此人能否被录取？,某单位招聘,155,人，按考试成绩录用，共有,526,人报名，假设报名者的考试成绩,分析,首先求出,和,然后根据录取率或者分数线确定能否录取,解,成绩,X,服从,录取率为,可得,得,查表得,查表得,.,解得,故,设录取的最低分为,则应有,某人,78,分，可,被录取。,X,的取值几乎都落入以为中心，以,3,为半径的区间内。这是因为：,0.9974,F(x),3,准则,是小概率事件,例,设,X,服从参数为,3,的指数分布，求它的密度函数,及,和,解,X,的概率密度,