量子态的不同表象幺正变换

量子力学教程,(,第二版,),量子力学教程,(,第二版,),7.1,量子态的不同表象，么正变换,量子力学教程,7.1,量子态的不同表象，么正变换,量子力学教程,7.1,量子态的不同表象，么正变换,量子力学教程,量子力学教程,量子力学教程,*,第,7,章,量子力学中的矩阵形式,与表象变换,一、直角坐标系中的类比,取平面直角坐标系,x,1,x,2,的基矢为,e,1,和,e,2,长度为,1,，彼此正交,标积,我们将其称之为基矢的正交归一关系,.,平面上的任一矢量,可以用它们来展开,A,1,、,A,2,代表,A,在坐标系中的投影,.,称为,矢量,A,在坐标系,x,1,x,2,中的表示,.,7.1,量子态的不同表象，么正变换,二、坐标系顺时针转动,现在将坐标系,x,1,x,2,顺时针方向转动，得到,x,1,x,2,其基矢为,e,1,和,e,2,满足,在此坐标系中,矢量,A,表示成,其中投影分量是,同一个矢量,A,在两个坐标系中的表示有什么关系？,根据,(2),和,(2,),式,上式分别用,e,1,和,e,2,点乘,得,表成矩阵的形式为,或记为,把,A,在两坐标中的表示联系起来的变换矩阵,矩阵,R,的矩阵元是两个坐标系的基矢之间的标积，它表示基矢之间的关系,.,故当,R,给定，则任何一个矢量在两坐标系间的关系也随之确定,.,三、变换矩阵的性质,变换矩阵,R,具有下述性质：,是,R,的转置矩阵,真正交矩阵,（实矩阵）,四、不同表象中基矢的关系,量子态和力学量,(,算符,),的不同表示形式,称为表象。,形式上与此类似，在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量子态，可以看成抽象的,Hilbert,空间中的一个“矢量”,.,体系的任何一组对易力学量完全集,F,的共同本征态，可以用来构成此空间的一组正交归一完备的基矢（称为,F,表象）,对于任意态矢量,y,，可以用它们展开,其中,这一组数,就是态,(,矢,),在,F,表象中的表示，,它们分别是态矢,y,与各基矢的标积,.,与平常解析几何不同的是：,这里的“矢量”,(,量子态,),一般是复量；,空间维数可以是无穷的，甚至不可数的,.,现在考虑同一个态,y,在另一组力学量完全集,F,中的表示,.,F,表象的基矢,即,F,的,本征态,y,a,它们,满足正交归一性,对于任意态矢量,y,，可以用它们展开,这一组系数,就是态,(,矢,),y,在,F,表象中的表示，,显然,(14),左乘,(,取标积,),得,与,有何关系,？,其中,F,表象基矢与,F,表象基矢的标积,(15),式也可以写成矩阵的形式：,简记为,式,(17),就是同一个量子态在,F,表象中的表示与它在,F,表象中表示的关系，它们,通过,S,矩阵相联系，且,变换矩阵,S,为么正,(unitary),矩阵矩阵，此变换也称为么正变换,.,