椭圆方程及性质应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,2,课时,椭圆方程及性质的应用,【,题型示范,】,类型一,直线与椭圆的位置关系,【,典例,1】,(1),若直线,y,kx,1,与焦点在,x,轴上的椭圆 总有公共,点，则,m,的取值范围为,_,(2),判断直线,l,:,和椭圆,2x,2,+3y,2,=6,是否有公共点,.,【,解题探究,】,1.,题,(1),中直线,y=kx+1,是否恒过定点？若恒过定点，过哪个定点？当点在什么位置时，经过该点的直线总与椭圆有公共点？,2.,题,(2),判断直线是否与椭圆有公共点，常用什么方法？,【,探究提示,】,1.,恒过定点,(0,1),，当点在椭圆上或在椭圆内部时，经过该点的直线与椭圆总有公共点,.,2.,判断直线与椭圆是否有公共点，往往利用判别式的符号进行判断,.,【,自主解答,】,(1),方法一,:,由 消去,y,整理得,(m+5k,2,)x,2,+10kx+5(1-m)=0,所以,=100k,2,-20(m+5k,2,)(1-m)=20m(5k,2,+m-1).,因为直线与椭圆总有公共点,所以,0,对任意,kR,都成立,.,因为,m0,所以,5k,2,1-m,恒成立,所以,1-m0,即,m1.,又因为椭圆的焦点在,x,轴上,所以,0m5,所以,1m0,m(m-4)0,所以,0m0),短半轴长为,b(b0),则,2b=4,由,解得,a=4,b=2.,因为椭圆,C,的对称轴为坐标轴，,所以椭圆,C,的方程为 或,设直线,l,的方程为,y=x+m,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),由方程组,消去,y,得,5x,2,+2mx+m,2,-16=0,由题意，得,=(2m),2,-20(m,2,-16)0,且,因为,|AB|=,=,所以,解得,m=,2,验证知,0,成立，,所以直线,l,的方程为,x-y+2=0,或,x-y-2=0.,【,方法技巧,】,1.,直线与椭圆相交弦的弦长问题,直线与椭圆相交有关弦的问题,主要思路是联立直线和椭圆的方程,得到一元二次方程,然后借助一元二次方程的有关知识解决,有时运用弦长公式,解题时应,注意以下几点,:,(1),当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长,.,(2),当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式,.,(3),如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况,.,2.,解决椭圆中点弦问题的三种方法,(1),根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决,.,(2),点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标,分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关,系，具体如下： 已知,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),是椭圆,(ab0),上的两个不同的点，,M(x,0,y,0,),是线段,AB,的中点，则,由,-,，得 变形得,即,(3),共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为,P(x,0,y,0,),，,设其一交点为,A(x,，,y),，则另一交点为,B(2x,0,-x,，,2y,0,-y),，,则,两式作差即得所求直线方程,.,【,变式训练,】,直线,y=x+1,被椭圆 所截得的弦的中点,坐标是,( ),【,解析,】,选,C.,由 消去,y,得,3x,2,+4x-2=0,设弦的两端点坐标为,(x,1,y,1,),(x,2,y,2,),中点坐标为,(x,中,，,y,中,),，,则,x,1,+x,2,=,所以,x,中,=,从而,y,中,=x,中,+1=,所以中点坐标为,【,补偿训练,】,椭圆,x,2,+4y,2,=16,被直线 截得的弦长为,_.,【,解析,】,由 消去,y,并化简得,x,2,+2x-6=0.,设直线与椭圆的交点为,M(x,1,y,1,),N(x,2,y,2,),则,x,1,+x,2,=-2,x,1,x,2,=-6.,所以弦长,=,答案：,类型三,与椭圆有关的综合问题,【,典例,3】,(1),椭圆,(a,b,0),与直线,x+y,=1,交于,P,，,Q,两点，且,OPOQ,，其中,O,为坐标原点，则,=_.,(2)(2014,成都高二检测,),已知椭圆,(ab0),的离心,率为 短轴的一个端点到右焦点的距离为 直线,l,:,y=,kx+m,交椭圆于不同的两点,A,，,B.,求椭圆的方程；,若坐标原点,O,到直线,l,的距离为 求,AOB,面积的最大值,.,【,解题探究,】,1.,题,(1),中一般将条件,OPOQ,转化为什么？,2.,题,(2),中求,AOB,面积的最大值，关键是求什么？,【,探究提示,】,1.,条件,OPOQ,，一般转化为向量 来处,理,.,2.,关键是求,|AB|,的最大值,.,【,自主解答,】,(1),设,P(x,1,y,1,),，,Q(x,2,，,y,2,),，,由,OPOQ, ,x,1,x,2,+y,1,y,2,=0.,因为,y,1,=1-x,1,y,2,=1-x,2,代入上式得：,2x,1,x,2,-(x,1,+x,2,)+1=0 (*),又将,y=1-x,代入,(a,2,+b,2,)x,2,-2a,2,x+a,2,(1-b,2,)=0,，因为,0,，所以,x,1,+x,2,= x,1,x,2,=,代入,(*),化简得,答案,：,2,(2),由 所以,b=1,所以椭圆的方程为,:,由已知 所以,联立,l,:y=kx+m,和,消去,y,整理可得：,(1+3k,2,)x,2,+6kmx+3m,2,-3=0,所以,=(6km),2,-4(1+3k,2,)(3m,2,-3)0,设,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),则,所以,|AB|,2,=(1+k,2,)(x,1,-x,2,),2,=,=,= (k0),当且仅当 时取等号，,验证知,满足题意，,显然,k=0,时，,|AB|,2,=3b0),的左、右焦点,过点,F,1,的直线交椭圆,E,于,A,B,两点,|AF,1,|=3|BF,1,|.,(1),若,|AB|=4,ABF,2,的周长为,16,求,|AF,2,|.,(2),若,cosAF,2,B= ,求椭圆,E,的离心率,.,【,解题指南,】,(1),利用椭圆的定义求解,.,(2),设,|BF,1,|=k,用,a,k,表示,|AF,2,|,|BF,2,|,利用余弦定理解,ABF,2,得出等腰,RtAF,1,F,2,从而得到,a,c,的关系式,.,【,解析,】,(1),由,|AF,1,|=3|BF,1,|,|AB|=4,得,|AF,1,|=3,|BF,1,|=1,因为,ABF,2,的周长为,16,所以由椭圆定义可得,4a=16,|AF,1,|+|AF,2,|=2a=8,故,|AF,2,|=2a-|AF,1,|=8-3=5.,(2),设,|BF,1,|=k,则,k0,且,|AF,1,|=3k,|AB|=4k,由椭圆定义可得,|AF,2,|=2a-3k,|BF,2,|=2a-k,在,ABF,2,中,由余弦定理可得,|AB|,2,=|AF,2,|,2,+|BF,2,|,2,-2|AF,2,|,|BF,2,|cosAF,2,B,即,(4k),2,=(2a-3k),2,+(2a-k),2,- (2a-3k)(2a-k),化简可得,(a+k)(a-3k)=0,而,a+k,0,故,a=3k,于是有,|AF,2,|=3k=|AF,1,|,|BF,2,|=5k,因此,|BF,2,|,2,=|AF,2,|,2,+|AB|,2,F,1,AF,2,A,故,AF,1,F,2,为等腰直角三角形,从而,c=,【,补偿训练,】,已知椭圆,G,：,(a,b,0),的离心率为,右焦点为 斜率为,1,的直线,l,与椭圆,G,交于,A,，,B,两点，以,AB,为底边作等腰三角形，顶点为,P(-3,2).,(1),求椭圆,G,的方程,.,(2),求,PAB,的面积,.,【,解析,】,(1),由已知得,解得 又,b,2,=a,2,-c,2,=4,所以椭圆,G,的方程为,(2),设直线,l,的方程为,y=,x+m,，,由,得,4x,2,+6mx+3m,2,-12=0 ,设,A,，,B,的坐标分别为,(x,1,y,1,),(x,2,y,2,)(x,1,x,2,),AB,的中点为,E(x,0,y,0,),则,因为,AB,是等腰,PAB,的底边，所以,PEAB.,所以,PE,的斜率 解得,m=2.,此时方程为,4x,2,+12x=0,解得,x,1,=-3,x,2,=0,所以,y,1,=-1,y,2,=2.,所以,此时，点,P(-3,2),到直线,AB,：,x-y+2=0,的距离,所以,PAB,的面积,【,拓展类型,】,椭圆中的最值问题,【,备选例题,】,(1),斜率为,1,的直线,l,与椭圆 相交于,A,，,B,两点，则,|AB|,的最大值为,_.,(2)(2012,辽宁高考,),如图，动圆,C,1,:x,2,+y,2,=t,2,1t0,所以,设直线与椭圆交于,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),两点，,则,所以,|AB|=,=,当,t=0,时，,|AB|,为最大，即,|,AB|,max,=,方法二：根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点,时截椭圆所得弦长最长，将,y=x,代入 得交点坐标为,和 故,答案：,(2),设,A(x,0,y,0,)(-3x,0,0),，则矩形,ABCD,的面积,S=4|x,0,y,0,|.,由 得,从而,当 时，,S,max,=6.,从而,t=,时，矩形,ABCD,的面积最大，最大面积为,6.,由,A(x,0,y,0,),B(x,0,-y,0,),A,1,(-3,0),A,2,(3,0),知直线,AA,1,的方程为,直线,A,2,B,的方程为,由得,又点,A(x,0,y,0,),在椭圆,C,上，故,将代入得,(x-3,y0).,因此点,M,的轨迹方程为,(x-3,yb0),的左焦点为,F,离心率为 过点,F,且与,x,轴垂直的直线被椭圆,截得的线段长为,(1),求椭圆的方程,.,(2),设,A,B,分别为椭圆的左、右顶点,过点,F,且斜率为,k,的直线与,椭圆交于,C,D,两点,.,若 求,k,的值,.,【,审题,】,抓信息,找思路,【,解题,】,明步骤,得高分,【,点题,】,警误区,促提升,失分点,1:,解题时,若求,不出直线与椭圆交点的纵坐标,即得不出处,则会导致求不出椭圆方程而本例不得分,.,失分点,2:,若在处化简整理结果时错误,则会导致下面运算全部错误,本例最多能得,6,分,.,失分点,3:,若在处向量的运算不能转化为坐标间关系,则得不出关于,k,的等量关系而失,3,4,分,.,【,悟题,】,提措施,导方向,1.,加强运算能力的培养,椭圆的综合问题,一般涉及的运算量较大,因此在平时学习中,要多注重运算能力的培养,防止因运算错误而失分,如本例,(1)(2),问求解时,都涉及较大的运算量,.,2.,向量关系的应用,在解析几何中，向量的运算常通过坐标的运算来实现，对向量,相等、向量的数量积、共线向量的坐标表示要熟练掌握，如本,例 是建立关于,k,的方程的关键,.,【,类题试解,】,(2013,山东高考,),在平面直角坐标系,xOy,中，已,知椭圆,C,的中心在原点,O,，焦点在,x,轴上，短轴长为,2,，离心率为,(1),求椭圆,C,的方程,.,(2)A,B,为椭圆,C,上满足,AOB,的面积为 的任意两点，,E,为线,段,AB,的中点，射线,OE,交椭圆,C,于点,P,，设 求实数,t,的值,.,【,解析,】,(1),设椭圆,C,的方程为,(ab0),，,由题意知 解得 因此椭圆,C,的方程为,(2),当,ABx,轴时，设,A(x,0,y,0,),B(x,0,y,0,),，,由 得 或,由,=t(x,0,0)=(tx,0,0),得,P(tx,0,0),，,又,P,在椭圆上，所以 所以 或,所以,t=2,或,(,舍去负值,).,当,AB,不垂直于,x,轴时，设,AB,：,y=,kx+m,，显然,m0,，代入椭圆方,程得,(1+2k,2,)x,2,+4kmx+2(m,2,1)=0. (*),由三角形面积公式知，,|x,A,y,B,x,B,y,A,|= |x,A,(kx,B,+m),x,B,(kx,A,+m,)|= |m|x,A,x,B,|=,所以，,|,x,A,x,B,|=,(x,A,+x,B,),2,4x,A,x,B,=,即,整理得， ,又 所以，,即,将其代入椭圆方程得 整理可得，,1+2k,2,=m,2,t,2, ,联立，消去,1+2k,2,，约分掉,m,2,，移项整理得，,3t,4,16t,2,+16,=0,，,解之可得，,t,2,=4,或 均能使,(*),式的,0,，所以,t=2,或,(,舍,去负值,).,综上，,t=2,或,