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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,矢量场的环量与旋涡源,不是所有的矢量场都由,激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的,力 线是闭合的,。它有以下两个特点：,（,1,）、对于任何闭合曲面的通量积分为零；,（,2,）、在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。,引入环量与旋度的目的就在于：,研究矢量场的线积分不为零这一问题。,五、矢量场的环量与旋度,1,（一）矢量场的环量,例：磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：,上式建立了磁场与电流的关系。,2,引入,环量概念,。矢量场对于闭合曲线,L,的环量定义,为该矢量对闭合曲线,L,的,线积分,，记为：,（1),如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称,该矢量场为,无旋场,，又称为,保守场,。,（2),如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，,称该矢量场为,有旋矢量场,，能够激发有旋矢量,场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。,3,旋度概念的提出：矢量场的环量给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的,宏观联系,。,为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，当闭合曲线,L,所围的面积趋于零时，矢量场对回路,L,的环量与旋涡源对于,L,所围的面积的通量成正比，即：,（二）矢量场的旋度(Rotation),J,F,n,4,矢量场旋度定义为,：矢量场在,M,点处的旋度为一,矢量,，其数值为包含,M,点在内的,小面元边界,的环量与小面元比值极限的最大值，其方向为极限取得最大值时小面积元的法线方向，即：,5,根据线积分的计算公式，不难得到旋度在直角坐标系中的表达式为:,6,利用旋度的定义式，可得到一般曲线和曲面积分之间的变换关系式，即Stokes定理,环量积分旋度的面积分,（三）、环量与旋度之间的联系Stokes定理,7,方向相反,大小相等,结果抵消,8,旋度的计算公式,圆柱坐标系下旋度的计算公式：,圆柱坐标系下旋度的计算公式：,球坐标系下的旋度计算公式,9,1.5 矢量场的旋度,10,（一）、无源场,对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有散度为零，即：,则称A为无源场。,性质一：,在无源场中穿过场域V中任何一个矢量管的所有截面的通量都相等。,性质二：,无源场存在矢势。,六、无源场和无旋场,11,（二）、无旋场,对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有旋度为零，即：,则称A为无旋场。,性质一：,在无旋场中，A沿场域V的任何闭合路径L的环量为零。即：,性质二：,无旋场可以表示为某标量场的梯度场。,12,（三）、调和场,散度和旋度都等于零的矢量场，称为调和场。,根据其,无旋性,可得：,根据其,无源性,可得：,引入,Laplacian算子,13,拉普拉斯方程和泊松方程,若矢量场仅为无旋场，例如连续分布的体电荷内部，任意点的散度不为零，须引入泊松方程,14,对于矢量场必需考虑如下问题：,（1）场的特性：矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？,（2）源的特性：是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？,（3）场的唯一性：如何唯一的确定一个矢量场？,六、Helmholtz定理,15,1 矢量场的Helmholtz定理,空间区域,V,上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即,：,其中 为无旋场， 为无源场。,16,Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即,任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无,源场，由旋涡源激发；并且满足：,另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：,17,证明：一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。,18,正交坐标系下的梯度公式：,19,正交坐标系下的散度计算公式：,正交坐标系下的旋度计算公式：,20,
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