竞赛课件8：功与能

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,功与能,1,利用图象求功之方法适用于当力对位移的关系为线性时;或在表示力对位移关系的,F-s,示功图中,F,(,s,)图线与,s,轴围成的图形“面积”有公式可依时;因为在,F-s,示功图中，这种“面积”的物理意义就是功的大小,方法,A,利用图象示功图,s,F,0,变力求功方法,ABC,x,W,2,锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有80%的能量传给木桩，且木桩所受阻力,f,与插入深度,x,成正比，试求木桩每次打入的深度比若第一次打击使木桩插入了全长的1/3，全部插入须锤击多少次？,专题8-例1,本题中的阻力,f,为一与位移,x,成正比的变力，即,f=kx,示功图,x,F,0,x,1,x,2,x,3,l,W,0,W,0,W,0,图中各阴影“面积”,表示第,1、2、3次锤击中，木桩克服阻力做的功，数值上等于锤传给木桩的能量，设为,W,0,由图,当,x,n,=l,时，由,3,某质点受到,F,=6,x,2,的力的作用，从,x,=0处移到,x,=2.0 m处，试求力,F,做了多少功？,专题8-例2,本题中的变力力,F,与位移,x,成,F=,6,x,2,关系，,F-x,图线为抛物线,示功图,24,x,/m,F/,N,0,2,W,图中 “面积” 表示,F,力做的功,“面积” 由阿基米德公式,由示功图得,F,力做的功,4,如图所示，一质量为,m,，长为,l,的柔软绳索，一部分平直地放在桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为,柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？由这一位置开始运动，柔绳刚离开桌面时的速度多大？,小试身手题2,设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为,x,0,，则由,柔绳恰由静止开始下滑至以,v,离开桌面，由动能定理,其中，重力功等于绳重力势能减少,摩擦力为线性变力：,示功图,x,F,f,0,l-x,0,W,f,x,5,一质点的质量为,m,，被固定中心排斥，斥力的大小,F=mr,，其中,r,为质点离开此中心的距离在开始时，,r,0,=a,，,v=,0，求质点经过位移,a,时所达到的速度大小,小试身手题5,斥力为线性变化力！,示功图,r,F,0,a,a,W,F,对示功图求梯形阴影“面积”,对质点经过位移,a,的过程，由动能定理,6,跳水运动员从高于水面,H,10 m的跳台自由落下，运动员的质量,m,60 kg，其体形可等效为长度,l,1.0 m、直径,d,0.30 m的圆柱体，略去空气阻力，运动员入水后水的等效阻力,F,作用于圆柱体下端面，,F,量值随入水深度,y,变化如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与,OY,和,OF,重合，为了确保运动员绝对安全，试计算水池中水的,h,至少应等于多少？,小试身手题8,5,mg,/2,Y,F,0,h,对全过程运用动能定理:,其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆“面积” :,示功图,入水过程中，浮力随入水深度,y,作线性变化,示功图,Y,F,浮,0,l,7,如果在某一位移区间，力随位移变化的关系为,F=f,(,s,) ，求该变力的功通常用微元法，即将位移区间分成,n,（,n,）个小区间,s,/,n,，在每个小区间内将力视为恒定，求其元功,F,i,s,/,n,，由于功是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段位移中所做的功为：,方法,B,用微元法,在数学上，确定元功相当于给出数列通项式，求总功即求数列,n,项和当,n,时的极限,8,半径等于,r,的半球形水池，其中充满了水，把池内的水完全吸尽，至少要做多少功？,专题8-例3,r,r,i,沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成,n,层，每一元层水的高度,r,1,i,2,每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第,i,层水柱底面的半径,这层水的质量,将这层水吸出至少应做的元功是,将池水吸尽至少要做的功是,9,一个质量为,m,的机动小车，以恒定速度,v,在半径为,R,的竖直圆轨道绕“死圈”运动已知动摩擦因数为,，问在小车从最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？,专题8-例4,小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是变力，故而摩擦力为一随位置变化的力！,x,y,O,A,B,当小车运动在,A,处元圆弧段时,mg,N,A,摩擦力在,A,处元功为,当小车运动在与,A,关于,x,轴对称的,B,处元圆弧段时,mg,N,B,续解,10,摩擦力在,B,处元功为,小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为,查阅,摩擦力在半圆周轨道上的总功,计算水平直径以下段摩擦力的功：,续解,11,水平直径以上段摩擦力的功：,12,将板沿板长均分为,n,（,n,）,等份,将木板在水平地面上绕其一端转动角,，求所需要做的功木板长度为,L,，质量为,M,，木板与地面之间的动摩擦因数为,小试身手题1,元摩擦力做功的位移为,摩擦力对,i,段做的元功为,则对木板的功,各元段摩擦力为,13,从一个容器里向外抽空气，直到压强为,p,容器上有一小孔，用塞子塞着现把塞子拔掉，问空气最初以多大速率冲进容器？设外界大气压强为,p,0,，大气密度为,小试身手题4,p,p,0,x,s,设小孔截面积为,s,，打开塞子后孔外侧厚度为,x,的一薄层空气在内、外压强差作用下冲入容器，获得速度,v,0,，,由动能定理,:,14,这种求功方法依据功对能量变化的量度关系，只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便是相应的功量,方法,C,从能量变化反观功,15,如图所示,一质量分布均匀的粗绳长2,a,，质量为2,m,，两端悬于水平天花板上相距为,a,的两点而悬垂静止，其重心位于天花板下方,b,处.现施一力于绳之最低点,C,并将绳拉直至,D,点，求拉力所做的功,D,由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花,重力势能增加了,由功能原理，拉力功为,解：,专题8-例5,由于拉力做功，使绳之重心高度变化因而重力势能变化，重力势能的增量即为所求拉力功量,C,h,h,16,一质量为,m,的皮球，从高为,h,处自由下落（不计空气阻力），反弹起来的高度为原来的3/4，要皮球反弹回,h,高处，求每次拍球需对球做的功,专题8-例6,在球与地面接触期间，地面对球的弹力对球做负功，使球的动能减少地面对球的弹力功是变力功!,牛顿碰撞定律：,若两球碰撞前速度依次为,v,10,、,v,20,，碰撞后速度为,v,1,、,v,2,，则碰撞后两者的分离速度,v,2,v,1,与碰撞前两者的接近速度,v,20,v,10,成正比，比值e称恢复系数（或反弹系数），比值由两者的质料决定，即,从,h,高度自由下落再反弹的全过程,地面弹力功,W,1,:,从,h,高度拍下再反弹原高的全过程,地面弹力功,W,2,:,续解,17,从,h,高下落未速度即与地接近速度:,从地面反弹的起跳速度即与地分离速度:,同一球与同一地面碰撞,恢复系数相同:,18,如图所示，有两个薄壁圆筒半径为,R,的圆筒绕自己的轴以角速度转动，而另一个圆筒静止使两圆筒相接触并且它们的转轴平行，过一会儿，由于摩擦两圆筒开始做无滑动的转动问有多少机械能转换成内能？（两圆筒的质量分别为,m,1,、,m,2,）,小试身手题9,m,1,R,m,2,1,根据题意，一段时间内,m,1,线速度从,R ,1,R,而,m,2,线速度从0, ,2,r= ,1,R,这种变化是因为两者间有大小相等的一对力作用，这对力做功使系统机械能(动能)转换成内能 !,对系统,由动能定理:,又,由牛顿第二、三定律,一对力大小相等:,19,功能关系面面观,功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量度功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功的过程就是物体能量转化的过程，转化了的能量都可以由做功的多少来量度，这是我们对功与能之间关系的基本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据,功能关系基本认识,功能关系的具体认识,功能对应规律,借助功与能的具体对应关系，对运动的功的量度问题作出正确的操作.,确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述；,分析所研究过程的初、未两状态的动能，完成等号右边对动能变化的表述 ；,动能定理的应用,选定研究的对象与过程;,示例,20,一定的能量变化由相应的功来量度,重力功量度重力势能的变化：,外力,（,可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它力,）,做的总功量度动能的变化：,弹力,功量度弹性势能的变化：,动能定理,引力,功量度引力势能的变化：,非重力弹力功量度机械能的变化：,势能定理,功能原理,电场力功量度电势能的变化：,（,W,非,可以是摩擦力功、电场力功、安培力功或其它非重力、弹簧弹力的功,）,返回,21,如图示，一水塔的蓄水箱底离地面的高度,H,0,=,20 m，其横断面是半径,R=,2 m的圆储水深,h=,1 m，如果用装在高,H,1,=,5 m处、截面积为2 cm,2,的水龙头放水，问需要多久才能将水放完？,专题8-例7,根据题意，水箱中的水从底部截面积为,s,的小孔流出，若流速为,v,i,，则时间,t,i,内的水流量,Q,i,= v,i,t,i,S,；总储水全部流尽的时间应为,每层水放出时间的通项式为,全部水箱储水放尽的总需时为,小孔流速,续解,1,i,2,n,22,一个常用近似,示例,23,P,0,+,P,水,P,0,设小孔处一小片厚,x、,面积,S,的液片,在内外压力之合力作用下获得速度,v,而离开小孔，,由动能定理,:,小孔流速模型,P,0,返回,P,P,+,P,水,24,质量为,m,的小球以某一初速度竖直上抛，若运动中所受阻力,F,f,=kv,2,，最大阻力为重力的0.44倍，试求小球上升的最大高度,H,及落回抛出点时的速度,v,t,专题8-例8,本题通过元过程的动能定理,用微元法求得终解!,本题研究过程中有重力功与阻力功,其中阻力功为耗散功,且为一按指数规律变化的力!,一个重要极限,取上升过程中的某一元过程：该过程小球上升了高度,H,/,n,(,n,)，速度从,v,i,减少为,v,i+,1,，各元过程中的阻力可视为不变为,合外力,根据动能定理，对该元过程有,即,对该式变形有,续解,25,在各相同的上升高度,H,/,n,微元中，合外力大小成等比数列递减、因而动能的增量是成等比数列递减的，其公比为,对上式两边取极限:,同理,对下落过程由,对此式两边取,n,次方当,n,极限:,续解,26,由题给条件,小球落回抛出点时的速度是抛出时速度的六分之五,查阅,27,R,一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为,H,的任意点,P,，在重力作用下由静止开始往下滑，从,Q,点离开球面，求,PQ,两点的高度差,h,专题8-例9,本题除重力外无非保守力的功,机械能守恒!,设球半径为,R,P,Q,H,mg,v,由机械能守恒:,Q,点动力学方程为:,由几何关系:,若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑下,R/,3的高度，释放高度,H,越小，沿球面滑下的高度越短这是一个有趣又有用的模型,28,x,y,如图甲所示，把质量均为,m,的两个小钢球用长为2,L,的线连接，放在光滑的水平面上在线的中央,O,作用一个恒定的拉力，其大小为,F,，其方向沿水平方向且与开始时连线的方向垂直，连线是非常柔软且不会伸缩的，质量可忽略不计试求：当两连线的张角为2,时，如图乙所示，在与力,垂直的方向上钢球所受的作用力是多少？钢球第一次碰撞时，在与力,垂直的方向上，钢球的对地速度为多少？经过若干次碰撞，最后两个钢球一直处于接触状态下运动，试求由于碰撞而失去的总能量为多少？,小试身手题3,O,F,O,甲,F,乙,在如示坐标中分解力,F,F,在与,F,垂直方向上线对钢球的力大小为,设钢球第一次碰撞时沿,F,方向速度为,v,x,，垂直于,F,方向速度为,v,y,，设力,F,的位移为,x,，由动能定理,在,x,方向上:,达到终态时，两球,v,y,=0，,F,总位移,X,，有,29,军训中，战士距墙,S,0,以速度,v,0,起跳，如图所示，再用脚蹬墙面一次使身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为,求能使人体重心有最大总升高,H,max,的起跳角,小试身手题6,S,0,v,0,设抵达墙时战士速度为,v,，蹬墙后速度为,v,各矢量间关系如示，,矢量图示,v,gt,v,0,v,从起跳至上升至最高,H,处，由机械能守恒:,由矢量图所示关系:,30,质量为,M,、长为,l,的板放在冰面上，在板的一端坐着质量为,m,的小猫它要跳到板的另一端，问小猫对冰面的最小速度,v,0min,应为多少？小猫为使跳到板的另一端所消耗的能量最少， 问它的初速度,v,0,应该与水平面成多大角,？,小试身手题7,猫消耗能量,E,，,使猫及木板获得初动能：,起跳时间,t,内,m,与,M,间水平方向相互作用力大小相等,，,故有,猫从跳离板一端到落至板另一端历时由竖直方向分运动得,这段时间内猫对板的位移应满足,利用基本不等式性质,：,31,如图所示，厚度不计的圆环套在粗细均匀、长度为,L,的棒的上端，两者质量均为,m,，圆环与棒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为一常数，为,kmg,（,k,1）棒能沿光滑的竖直细杆,AB,上下滑动，棒与地碰撞时触地时间极短，且无动能损失设棒从其下端距地高度为,H,处由静止自由下落，与地经,n,次碰撞后圆环从棒上脱落分析棒第二次碰地以前的过程中，环与棒的运动情况，求出棒与环刚达到相对静止时，棒下端距地高度,h,；求出,n,、,k,、,L,、,H,四个量应满足的关系,小试身手题10,由机械能守恒，棒第一次碰地以前速度,A,B,L,H,棒与地相碰后瞬时速度大小不变、方向向上，,加速度为,环速度,环加速度,棒与环相对初速度,相对加速度,棒与环相对静止时,环与棒的共同速度,从棒从地面向上到与环相对静止的过程中，一对摩擦力做负功，重力分别对环、棒做负功，,由动能定理：,续解,32,棒与环一起以,V,1,自由下,落h,至第二次落地,时速度仍由机械能守恒,此后棒与环相对滑动,则若在碰,n,次后环脱离棒，,n,、,k,、,L,、,H,四个量应满足的关系：,查阅,33,钢球沿着光滑的长梯弹跳，在每一级台阶上仅跳一次，如图所示每次与台阶碰撞时，球要损失,50的机械能试求小球抛出时的初速度,v,及其与竖直线的夹角（梯子台阶的高度,h,10cm，宽,l,20cm）,小试身手题11,l,h,根据题意,，,第一次与平台碰撞前后有,v,v,v,落,v,起,v,v,每次跳起到落到下一台阶的过程中,有,v,起,v,起,v,落,由水平方向的匀速运动得钢球每一次飞行时间,代入数据整理后得,说明起跳速度变为水平，除钢球落在拐点情况外，应舍去此解,34,元功法,取元功作微元，以功能原理为基本依据求得一类物理问题解答的方法，我们称之为“元功法”.这种解法所循基本原理是分析力学中的“虚功原理”，由伯努利首先提出的用元功法可以处理某些平衡问题，且颇为简单,元功法,元功法处理平衡问题基本思路,取与原平衡状态逼近的另一平衡状态，从而虚设一个元过程，此过程中所有元功之和为零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理，求得终解,35,如图所示，质量为,m,、长度为,l,的均匀柔软粗绳，穿过半径,R,的滑轮，绳的两端吊在天花板上的两个钉子上，两钩间距离为2,R,，滑轮轴上挂一重物，重物与滑轮总质量为,M,，且相互间无摩擦，求绳上最低点,C,处的张力,专题8-例10,本题用元功法求解!,分析粗绳、滑轮和重物构成的系统的受力情况,A,O,C,R,B,T,A,(,M+m,),g,分析绳之一半的受力情况,T,C,设想在,A,处以力,T,A,将,ABC,段绳竖直向上拉过一极小距离,x,由功能原理,x,36,a,b,如图示，一轻三足支架每边长度均为,l,每边与竖直线成同一角度，三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三角形，现用一绳圈套在三足支架的三足上,使其不能改变与竖直线间的夹角，设三足支架负重为,G,，试求绳中张力,F,T,专题8-例11,本题用元功法求解!,分析支架的受力情况,G,F,T,F,N,设想支架各边足部在绳合力作用下向正三角形中心移动一极小位移,x,:,x,y,支架每个足部绳合力元功,负重重力势能增量,x,与,y,几何关系如示 :,x,y,当,x,0,0,由功能原理,37,B,A,C,如图,所示的曲柄连杆机构中，设曲柄端,A,上所受的竖直力为,Q,，由活塞,D,上所受的水平力,P,维持平衡，试用元功法求,P,与,Q,的比值图中、为已知,小试身手题12,C,B,A,P,D,设想设活塞,D,（即连杆的,B,端）以速度,v,通过一微小位移,x,，与此同时，连杆,A,端以速度,v,A,绕,C,点通过一小段弧,v,n,v,v,A,v,A,v,v,-,x,v,A,与,v,杆约束相关关系如示,v,A,方向与曲柄,CA,垂直，且是与,B,相同的水平速度,v,及对,B,点的转动速度,v,n,的矢量和,Q,y,在力,P,发生水平位移,x,的时间内,力,Q,发生的竖直位移为,由元功法得,38,如图所示，均匀杆,OA,重,G,1,，能在竖直面内绕固定轴,O,转动，此杆的,A,端用铰链连住另一重,G,2,的均匀杆,AB,，在,AB,杆的,B,端施一水平力,F,，试用元功法求二杆平衡时各杆与水平所成的角度及,小试身手题13,F,O,A,B,分析连杆的受力情况,G,1,G,2,x,y,设想水平力使,AB,杆的,B,端移动极小位移,x,3,续解,同时，,G,1,、,G,2,力沿力方向的极小位移各为：,39,由元功法得,将各力的微小位移代入:,查阅,该等式成立须,40,