第四章电气系统与机电系统的建模

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 电气系统与机电系统的建模,4.1,电气系统的数学模型,本章重点内容为：电气系统的数学建模、模拟仿真与混合仿真、机电系统的数学建模。,电气系统在工程中占有相当重要的地位，是构成一切现代系统的必备环节。电气系统由于其电路系统相对明确，其问题基本属于白箱问题，其数学建模目标也自然是很明确的。,一、电路系统基本定理的数学表达式,1,、基尔霍夫第一定律,该定律表明任何回路的瞬时电动势等于通过该回路中诸元件的电压降。,2,、基尔霍夫第二定律,该定律表明在一个节点上的电荷是守恒的，即在一个节点上的电流代数和始终为零,。,例,4.1,建立如图所示系统的数学模型。,解： 系统输入量为,u,1,，,输出量为,u,2,；,按照基尔霍夫定律，分别列出运动方程：,消去中间变量,i,1,，,i,2,，,整理得到系统方程,表4.1,几种典型电路的传递函数,1,、积分电路，滤波器,2,、微分电路,3,、微分电路,4,、超前滞后滤波电路,4.2,模拟与混合仿真系统,一、模拟仿真,计算机仿真就是建立系统数学模型，并利用该模型在计算机上运行，进行系统科学试验研究的全过程，按照所使用的仿真计算机类型（模拟机、数字机和混合机）不同，计算机仿真被分为,模拟仿真,、,数字仿真,和,数,-,模混合仿真,。,模拟仿真具有并行高速运算、易于进行实时和超实时仿真、使用模拟化量、显示直观、连接方便、技术成熟、使用简单等优点。但模拟仿真存在致命的弱点，即精度低、无逻辑判断功能，且难以实现自动化，因此，被后来的混合仿真和数字仿真所排挤，失去进一步发展势头。 。尽管如此，模拟仿真目前仍然广泛使用，尤其是它不仅是教学中不可缺少的部分，还是混合仿真中的一个重要的组成环节。,1,、模拟计算机的组成,模拟计算机是一种由运算放大器组成的模拟计算装置。其基本组成如下图所示。,控制部分,运算部分,电源,排 题 板,输出设备,操作信息,模拟计算机的基本组成框图,控制部分,：用以控制计算机的各种工作状态。,运算部分,：能实现各种运算功能的运算部分。它是以运算放大器为,核心的各种运算部件。,排 题 板,：根据模拟结构图连接被仿真的系统。即，根据设计好的,模拟排题图，在排题板上用导线连接成仿真模型。,输出设备,：用以显示、记录仿真结果。,电源部分,：提供所需要的各种电源。,2,、模拟计算机的基本运算部件,运算放大器,是模拟计算机的核心和基本部件。它实质上是一个放大倍数极大、输入放大器电流很小，零点漂移很小，线性度很好的直流放大器。,具有,n,个输入端的运算放大器电路图如下。图中，,e,i1,e,in,为,各支路输入电压；,I,i1,I,in,为各支路输入电流；,Z,i1,Z,in,为各支路输,入阻抗,；,e,0,为输出电压；,I,f,为反馈电流；,e,为虚地电压；,为运,算放大倍数。,5-1,运算放大器电路图,5-1,式中的负号表示运算放大器的输出电压与输入电压极性相反。该式是利用运算放大器构成模拟计算机各种运算部件的基本关系式。根据该式，只要采用不同形式的输入阻抗和反馈阻抗，就可对输入电压进行各种数学运算。,比例加法器,简称加法器，用来完成对输入变量乘以某一常数后进行相加运算的部件。它的输入阻抗和反馈阻抗均为电阻。其工作原理图及符号如下。根据式（,5-1,）可以写出加法器的运算关系式为,5-2,原理图 符号,比例积分器,将加法器的反馈电阻,R,f,换成电容,C,f,，,就构成了比例积分器，简称积分器。积分器可以同时完成加法和积分运算，是模拟器中最主要的运算部件。其工作原理图及符号如下。,原理图 符号,同理，当有多个信号输入时，积分器的运算关系为,常系数器是用来给某一变量乘以一个小于,1,的系数的专用部件，他实际上是一个可调电位计。其原理图及符号如图所示。,常系数器,常系数器空载时的运算关系为：,式中,若考虑负载电阻,R,L,的影响，则运算关系为：,由上式可知 。,因此，常系数器只能实现小于,1,的系数。通常，将比例器或积分器的传递系数与常系数器配合使用，就可以设置不同的传递系数。例如，与设置比例器的传递系数为,K=5.5，,我们可以取常系数器的系数,a=0.55,及比例器的固定传递系数为,10,，就能实现,K=0.55*10=5.5,的传递系数。,非整数系数的实现,3,、模拟仿真原理和方法,模拟仿真原理,自然界的物理变化表面各不相同，但是却有相似的规律。具体表现为用来描述这些物理过程的数学模型有相同的形式，这些相似性的存在，构成了采用模拟仿真技术的基础。,为此，在研究中，相似系统是可以相互比拟和取代的。例如：如下图所示的典型二阶系统，它无论是电气系统、机电系统、机械系统或是流体动力学系统，都可以用与之相似的电子模型代替。,典型二阶系统结构图,典型二阶系统电子模型图,模型仿真结构图, 模拟仿真方法,逐次降阶积分法简称,降阶法,，若系统的数学模型为线性常系数微分方程，可采用降阶法进行模拟仿真。此法的基本原理是：对系统微分方程中变量的最高阶导数进行逐次积分，最后得到系统变量的零阶导数，即要求解的变量值。,在模拟仿真中，根据系统数学模型的不同，通常采用,逐次降阶积分法,和,结构模拟法,。,当系统的数学模型以传递函数以及由它组成的结构图表示时，宜采用,结构模拟法,进行模拟仿真研究。结构模拟法是用运算器组成模拟单元模拟系统的各个典型环节，再将模拟单元按系统的结构图关系连接起来，构成整个系统的仿真模型，即,模拟结构图,。这种方法的最大优点是可以直接观察到各个典型环节某个参数的变化对系统性能的影响，从而容易实现系统的参数优化。,4,、线性微分方程的模拟仿真,模拟计算机的主要特长是求解微分方程。当线性系统的微分方程已经获得时，即可以用,降阶法求解,。,微分方程模拟结构图的建立,下面举例说明如何利用降阶法,求得线性常微分方程的模拟结构图。若系统由下列三阶常系数线性,微分方程描述,首先，将上式的最高阶导数留在等式的左边，其余项放在等式的右边，得到,上式右端各项用一加法器实现，其和便是 。但由于运算放大,器本身的反号特性，故加法器输出端得到的是 。,最后，将各个积分器输出信号乘以相应的系数之后，把结构图闭合起来。构成满足上式的闭合回路。为了符合信号的极性要求，可以在反馈回路中适当增加反号器。,根据初始条件的要求以及模拟结构图中积分器输出信号的极性，在积分器上机上初始电压。至此，构成了求解本例题微分方程式的模拟结构图（如下）。,模拟结构图,为了提高解题的精度，在模拟结构图中应尽量减少运算部件。在上图中的,1,号,加法器和,2,号,积分器可以合起来用一个积分加法器代替。其结果为：,简化模拟结构图,模拟电子图,比例尺的选择,当,M,t,=1，,称为实时仿真（模拟）；,当,M,t,1，,称为减速仿真（模拟）。,模拟仿真中，被仿真的物理量及其各阶导数均有运算放大器的输出电压表示，且模拟机的运算部分只能在一定的输出幅度和频率范围内才有良好的运算性能。而被仿真系统中的各物理量有不同的量纲及变化范围。故解题之前，需要进行比例变换，它通过确定比例尺实现。,a、,时间比例尺,用以确定模拟机的解题速度，为了提高解题精度以及观察和记录方便，需要对系统方程进行时间比例变换。时间比例尺的关系式为,b、,幅度比例尺,模拟计算机各运算放大器的最大输出电压都不能超过机器的基准电压。此外，如果输出信号过小，则有用信号容易被噪声信号淹没，造成精度下降。因此，需要通过选择合适的幅度比例尺，使模拟机中各运算部件充分发挥其效应。,比例尺,定义为：,5,、利用结构模拟法进行实际系统的模拟仿真,（,实例,）,例,4.2,对,图,a,所示的小功率随动系统进行模拟仿真设计，图中各参数为：,且已知图中各变量最大值为：,图,a,小功率随动系统,解：,步骤一、对原系统结构图进行适当的等效转换,为计算传递系数方便，将,图,a,等效变换为,图,b,。,图b,步骤二、确定比例尺,若事先对各个环节输入、输出的最大值很难估计。可先取所有的幅度比例尺在数值上均相等。本例已给出了个环节输入、输出的最大值，则相应变量的幅度比例尺可确定为：,由于小功率随动系统响应速度较快，我们取,步骤三、选择模拟单元并计算传递函数,（,1,）,综合点的模拟单元可用加法器实现，如,图,C,所示。,图,C,综合点的结构模拟单元,综合点,模拟结构图,图,C,所示模拟结构图中各传递系数可直接获得：,（,2,）,传递函数 为两个惯性环节串联，其模拟结,构图亦为两个惯性环节的模拟单元串联，如,图,D,所示。,图中，各传递函数,分别计算如下：,图,D,模拟结构图,（,3,）,传递函数 的模拟单元如,图,E,所示，其传递函数为：,图,E,1/s,模拟结构图,步骤四、绘制模拟结构图,将各模拟单元连接构成总模拟结构图，图中系统位置负反馈在回路中设置一反号器，其传递系数,K,51,=1。,总模拟结构图,二、混合仿真,混合仿真综合了数字仿真和模拟仿真的优点，克服了它们各自的缺点。因而被广泛应用于工程系统仿真、随机过程研究、统计计算、参数寻优、函数寻优、求解偏微分方程等方面。,但由于混合仿真设计的器件多于模拟机和数字机，所以价格比较昂贵。因此，就其仿真领域的应用而言，仅限于几个方面，如飞行仿真、卫星仿真、核反应堆仿真、导弹仿真等方面。,混合计算机是将模拟计算机及数字计算机结合起来构成的混合仿真系统。它由两种形式，一种是在普通模拟计算机的基础上，增加一些数字逻辑功能和存储元件，使之成为,混合模拟计算机,。另一种则是通过一个中间界面将一台数字机与一台模拟机连接起来，组成一个新的计算系统，称之为,数字,模拟混合计算机,。,4.3,机电系统的数学建模,机电系统主要是由机械系统和电气系统构成的。通常数学建模可分为电气和机械两部分进行。在数学建模中要分别考虑各自系统的特点及其建模方法，再综合建立系统模型。,本节的知识将通过实例讨论数学建模问题。,例,4.3,建立如图所示的电枢控制式直流电动机运动模型。,解,（,1,）系统工作原理分析：该系统由一个电动机和一套由转动惯量,I,及旋转阻尼,组成。电动机电枢电阻和电感不可忽略，考虑串联在电回路中。机械系统中转动惯量与阻尼具有相同的运动速度，按并联处理。,（,2,）系统输入变量为 ，输出变量为 。设中间变量,（,3,）根据各部分工作原理列出运动方程,例,4.4,建立机械传动（齿轮传动）系统数学模型,如,图所示,系统，由电动机通过齿轮传动驱动负载。忽略齿轮轴柔性、齿轮侧隙、齿侧弹性变形。每个齿轮的齿数与齿轮半径成比例，求关于输入轴的等效惯量和等效阻尼以及关于输出轴的等效惯量和等效阻尼。齿轮,1,的齿数和齿轮,2,的齿数分别为,Z,1,和,Z,2,，,齿轮,1,和齿轮,2,的角速度分别是,1,和,2,。,齿轮,2,的转动惯量和粘性组尼系数分别用,J,1,、,C,1,和,J,2,、,C,2,表示。,通过牛顿定律，得以下方程,式中：,T,1,是,由齿轮传动引起的齿轮,1,上的负载转矩，,T,2,是,传递到齿轮,2,的转矩。,例,4.5,建立如图所示位置随动系统的数学模型,解 （,1,）系统工作原理分析：该系统是一个由综合检测元件（自整角机）、放大器、执行电动机、减速装置和负载等部分构成的负反馈闭环位置随动系统；,（,2,）输入变量为 ，输出变量为 ；,（,3,）根据各部分工作原理列出各机电元件的运动方程；,对上述各式进行拉氏变换，并消去中间变量，可得到系统的开环传递函数为,例,4.5,打印机皮带驱动器,常用低价位打印机通常配有皮带驱动器，用于打印头沿打印页面横向移动，下图给出一个装有直流电机的皮带驱动式打印机的实例。在该系统中，光传感器用来测定打印头的位置，皮带张力变化用于调节皮带的实际弹性状态。本例的目的是建立系统状态空间数学模型。,打印机皮带驱动器系统,下图给出了皮带轮驱动系统的基本模型。模型中皮带弹性系数为,k,，,滑轮半径为,r,，,电机轴转动角为,p,，打印头质量为,m,，,位移为,y,(,t,)。,光传感器用于测量位移,y,，,其输出电压为,v,1,且,v,1,=,k,1,y,。,控制器输出电压为,v,2,，,它是,v,1,的函数。假设,v,2,与,v,1,具有线性关系：,打印机皮带驱动器模型,电机和滑轮的转动惯量之和为,J,=,J,电机,+,J,滑轮,，电机的绕组磁场电感忽略不计,L,0，,绕组电阻为,R,，,电机系数为,K,m,。,下面我们来推导系统的运动方程。注意到,y,=,r,p,，,可知皮带张力,T,1,、,T,2,分别为：,于是，作用在质量上的静张力为：,(4.5.1),(4.5.2),接下来推导描述电机旋转运动的微分方程。当,L=0,时，电机绕组电流 ，而电机转矩为 ，于是有：,电机输出转矩包括驱动皮带所需的,有效转矩,T,和,克服扰动或无负载所需的转矩,T,d,，,因此又有：,有效转矩,T,驱动电机轴带动滑轮运动，因此应有：,(4.5.3),式（,4.5.1,）、 （,4.5.2,）、 （,4.5.3,）构成了描述系统运动的一阶微分方程组，其矩阵形式为：,例,4.6,磁盘驱动读取系统,磁盘驱动器作为重要的计算机外部设备被应用。考察下图的磁盘驱动器示意图可以发现，磁盘驱动读取装置的目标是将磁头准确定位，以便正确读取磁盘磁道的信息。,图,4.6.1,磁盘驱动器结构示意图,磁盘旋转速度在,1800,rpm,到7200,rpm,，,相当于磁头在磁盘上方不到,100,nm,的地方“飞行”，位置精度指标初步定为,1,m,，要求做到使磁头由一个磁道移到另一个磁道所花的时间小于,10,ms,。,至此，我们可以给出如下图所示的初步的系统结构，该闭环系统利用电机驱动磁头臂到达预期的位置。,由上图可以确定系统的执行机构、传感器和控制器，然后建立控制对象和传感器等元件的模型。,磁盘驱动器读取系统采用永磁直流电机驱动读取手臂的摆动。磁头安装在一个与手臂相连的簧片上，它读取磁盘上各点处不同的磁通量并将信号提供给放大器，簧片（弹性金属制成）保证磁头以,100,nm,的间隙悬浮于磁盘上方。,图,4.6.2,中的偏差信号是在磁头读取磁盘上预先录制的索引磁道时产生的。,建立图,4.6.3,所示框图模型。我们假定磁头足够精确，传感器环节的传递函数为,H,(,s,)=1；,同时，作为足够精确的近似，我们用例,4.3,给出的直流电机驱动模型来对激励电机和臂建模,（式,4.6.1,）,；图中也给出了线性放大器的模型。,（式,4.6.1,）,图,4.6.3,所示框图模型简化为图,4.6.4,所示闭环系统框图模型，将框图模型简化为如下模型：,