第三讲位姿描述与齐次变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,*,位姿描述和齐次变换,一、位置和姿态的表示,二、坐标变换,三、齐次坐标变换,四、物体的变换及逆变换,1,一、位置和姿态的表示,1.位置描述,在直角坐标系A中，空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示：,位置表示,2,一、位置和姿态的表示,2.方位描述,空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系B的三个单位主矢量x,B,y,B,z,B,相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述,上述矩阵称为,旋转矩阵,3,一、位置和姿态的表示,（1）旋转矩阵的特点,由于旋转矩阵中每一列为单位向量，所以有,由于旋转矩阵中三列向量两两相互垂直，所以有,因此旋转矩阵是单位正交矩阵，具有如下特性：,4,9/21/2024,机器人位姿的表示,姿态可以用坐标系,三个坐标轴两两夹角的,余弦值组成33的姿态,矩阵来描述。,(,),B,B,B,B,5,一、位置和姿态的表示,（2）三个典型旋转矩阵,x,A,x,B,y,A,y,B,z,z,A,z,B,y,A,y,B,x,A,x,B,z,A,z,B,x,y,6,一、位置和姿态的表示,(3)旋转矩阵的几何意义：,可以表示固定于刚体上的坐标系B对参考坐标系的姿态矩阵。,可作为坐标变换矩阵，它使得坐标系B中的点的坐标 变换成A中点的坐标 。,可作为算子，将B中的矢量或物体变换到A中。,7,一、位置和姿态的表示,3.位姿描述,刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的,方位参考坐标的原点位置矢量和旋转矩阵,表示，即,表示位置时，,表示姿态时，,8,一、位置和姿态的表示,4.机器人手爪坐标系,n:,法向矢量,(normal),o:方,向矢量,(orientation),a:接近,矢量,(approach),P:位置,矢量,(position),9,二、坐标变换,1.坐标平移,坐标系A和B具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式:,10,二、坐标变换,2.坐标旋转,坐标系A和B有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系：,11,二、坐标变换,3.复合变换,y,A,z,A,x,A,O,A,y,C,z,C,x,C,O,B,y,B,z,B,x,B,P,A,P,A,P,BO,B,P,坐标系A和C之间是平移变换关系,坐标系 B和C之间是旋转变换关系,坐标系 B和C的原点重合,坐标系 A和C的方位一样,12,二、坐标变换,例1,已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于A的Z,A,轴转30，再沿A的X,A,轴移动12单位，并沿A的Y,A,轴移动6单位。求位置矢量,A,P,B0,和旋转矩阵,B,A,R。设点p在B坐标系中的位置为,B,P=3,7,0，求它在坐标系A中的位置。,13,三、齐次坐标变换,1.齐次变换,可以改写为：,P点在A和B中的位置矢量分别增广为:,而,齐次变换公式和变换矩阵,变为:,齐次坐标,14,三、齐次坐标变换,2.平移齐次坐标变换,A,分别沿B的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平移齐次变换矩阵写为：,用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。,15,三、齐次坐标变换,例2：,求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量。,16,三、齐次坐标变换,3.旋转齐次坐标变换,将上式增广为齐次式：,17,2.5 旋转变换,（Rotation transformation）,如图2.4所示，绕 x, y, z 轴旋转一个,角,的相应变换是,1 0 0 0,0 cos - sin 0,Rot ( x, ) = 0 sin cos 0 （2.12）,0 0 0 1,cos 0 sin 0,0 1 0 0,Rot ( y, ) = - sin 0 cos 0 (2.13),0 0 0 1,cos - sin 0 0,sin cos 0 0,Rot ( z, ) = 0 0 1 0 (2.14),0 0 0 1,注意：,角旋转的正方向遵循右手螺旋法则（如图2.4所示）,图2.4 旋转变换,0,z,y,x,18,三、齐次坐标变换,例3 ：U=7i+3j+2k,绕Z轴转90度后，再绕Y轴转90度。,例4：在上述基础上再平移（4，-3，7）。,19,【例2.2】点 u = 7,i,+ 3,j,+ 2,k,，它绕z轴旋转90,为v，,经式（2.14）变换得到（ sin=1，cos=0）,0,-,1 0 0 7,-,3,1 0 0 0 3 7,v = Rot ( z, 90,) = 0 0 1 0 2 2,0 0 0 1 1 1,起始点u和终点v如图2.5所示。如将v点再绕y轴,旋转90得到w。用式（2.13）变换得到,0 0 1 0,-,3 2,0 1 0 0 7 7,w = Rot ( y, 90,) =,-,1 0 0 0 2 3,0 0 0 1 1 1,结果如图2.6所示。如果将上述两次旋转结合起来，,写成一个表达式得到,w = Rot ( y, 90,) v Rot ( y, 90,) Rot ( z, 90,) u,用两个变换矩阵 Rot ( y, 90,) 、 Rot ( z, 90,) 和起始,点u代入上式计算的结果与前面分两次计算的结果相同。,2,u,z,y,x,v,0,图2.5 Rot ( z, 90),y,u,v,0,z,x,w,图2.6 Rot ( y, 90) Rot ( z, 90),2,7,20,如对经过两次旋转变换得到的点向量w再进行一次平移（平移向量为 h 4 -3 7 1,T,），,则可得到如图2.8所示的点向量n。变换过程如下,1 0 0 4 2 6,0 1 0,-,3 7 4,n = Trans (4, 3, 7) w = 0 0 1 7 3 = 10,0 0 0 1 1 1,z,u,v,0,y,x,w,图2.8 Trans(4, -3, 7)Rot(y, 90) Rot(z, 90),n,7,2,w,0,z,y,x,u,图2.7 Rot ( z, 90) Rot ( y, 90),2,-7,v,21,三、齐次坐标变换,引入齐次变换后，连续的变换可以变成矩阵的连乘形式使计算简化。,22,为此，先将点u绕z轴旋转90,，然后再绕y轴旋转90,，我们得到,0 0 1 0 0 -1 0 0 7 2,0 1 0 0 1 0 0 0 3 7,w Rot ( y, 90,) Rot ( z, 90,) u = -1 0 0 0 0 0 1 0 2 3,0 0 0 1 0 0 0 1 1 1,如果按着,逆序旋转,，首先绕y轴旋转90,，然后再绕z轴旋转90,，其结果为,0 -1 0 0 0 0 1 0 7 -3,1 0 0 0 0 1 0 0 3 2,w = Rot ( z, 90,) Rot ( y, 90,) u = 0 1 0 0 -1 0 0 0 2 = -7,0 0 0 1 0 0 0 1 1 1,逆序旋转的结果如图2.7所示。,显然，,变换的顺序不同，其结果也不同,。这从,矩阵相乘是不可交换的（ABBA）也可以得到证明。,23,三、齐次坐标变换,由于矩阵乘法没有交换性，可知变换次序对结果影响很大。,24,三、齐次坐标变换,4.综合齐次坐标变换,若变换是相对“固定坐标系”（参考坐标系）运动的，则每次单一变换矩阵按次序“左连乘”。,若变换是相对“运动坐标系”运动的，则每次单一变换矩阵按次序“右连乘”。,25,三、齐次坐标变换,例5 设坐标系B与参考坐标系初始重合，绕参考系Z轴转90度，然后绕参考系Y轴转90度，最后相对参考系平移（4，-3，7），试求综合齐次变换矩阵T。,例6 设坐标系B与参考坐标系初始重合，绕B 的Z轴转90度，然后绕B的Y轴转90度，最后相对B平移（4，-3，7），试求综合齐次变换矩阵T。,26,坐标系,(Coordinate frames),齐次变换矩阵H由四个列向量组成，它的前三个列向量称为方向向量，由式,（2.12）到式（2.14）的旋转变换（分别绕 x、y、z 轴旋转,角,）确定，第四个列向,量称为平移向量，它的平移分量（沿 x、y、z 轴的平移量）由式（2.10）第四列的前,三个元素确定。如,0 0 1 4,1 0 0 -3,HTrans ( 4, -3, 7 ) Rot ( y, 90) Rot ( z, 90) = 0 1 0 7 （2.15）,0 0 0 1,坐标系的原点，即零向量 0 0 0 1 ,T,的,H 变换是 4 -3 7 1 ,T,，相当于将原点按平移,向量的各个分量进行平移的结果（ 如图 2.9 所,示）。如果对 x、y、z 轴的单位向量进行 H变,换，分别得到 4 -2 7 1 ,T,、 4 -3 8 1 ,T,和, 5 -3 7 1 ,T,。这四个向量在图2.9中标出，并,形成了一个新坐标系。,0,z,y,x,z,y,x,0,Trans ( 4, -3, 7 ),Rot ( z, 90,),Rot ( y, 90,),图2.9 坐标原点与单位向量的H 变换,27,这个新坐标系的 x、y、z 轴的方向分别是 0，1，0，0 ,T,、 0，0，1，0 ,T,和 1，0，0，0 ,T,，它是由单位向量的H变换减去这个坐标原点的向量得到的。这些方向向量相应于变换矩阵的前三列（见式（2.15）。可见，,H变换矩阵描述了一个坐标系绕原参考坐标系旋转和对参考坐标系平移的三个轴的方向和原点的位置,（见图2.9）。如图2.10所示，当对一个向量 n 进行式（2.15）给出的 H 变换时，原向量 n 可以被认为是在新坐标系描述的那个向量 u ，即被变换了的向量 u 就是相对于参考坐标系描述的同一个向量 n 。,0,0,z,z,y,y,x,x,u ( 7, 3, 2, 1 ),n ( 6, 4, 10, 1 ),图2.10 向量的 H 变换,28,2.7 相对变换,（Relative transformation）,我们刚刚描述的旋转和平移都是相对于一个固定的坐标系而进行的。这样，在,已给的例子里,0 0 1 4,1 0 0 -3,Trans ( 4, -3, 7 ) Rot ( y, 90,) Rot ( z, 90,) = 0 1 0 7 （2.16）,0 0 0 1,坐标系首先绕参考坐标系 z 轴旋转90,，然后绕 y 轴旋转 90,，最后平移 4,i,3,j,+7,k,，,如图2.9所示。如果以相反次序从左到右来进行这些操作：首先对坐标平移4,i,3,j,+7,k,，然,后将它绕当前坐标系的 y 轴旋转 90,，此时当前坐标系的 y 轴与参考坐标系的 y 轴是相同,的。然后再绕着新坐标系（当前的）坐标系的 z 轴旋转90,，所得结果与前面的方法相同,（见图2.11）。,29,0,0,z,z,z,z,y,y,y,y,x,x,x,x,Rot ( y, 90,),Rot ( z, 90,),Trans ( 4, -3, 7 ),坐标原点,图2.11 相对变换,30,一般的情况下，,如果我们用一个旋转和/或平移变换矩阵右乘一个坐标系的变换，那么产生的平移和/或旋转是相对于前一个变换的坐标系（当前坐标系）的轴来说的。如果我们用一个描述平移和/或旋转的变换矩阵左乘一个坐标系的变换，那么产生的平移和/或旋转是相对于基坐标系来说的。,【例2.3】给一个坐标系C和一个变换T，T为绕 z 轴旋转90,，并在 x 轴方向上平移10个单位，当变换是相对于基坐标系产生时，我们用 T,左乘,C 得到新的位置 x 为,0 -1 0 10 1 0 0 20 0 0 1 0,1 0 0 0 0 0 -1 10 1 0 0 20,x = T C = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 （2.17）,0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1,当变换是相对于当前坐标系 C 轴产生时，我们用 T,右乘,C 得到新的位置 y 为,1 0 0 20 0 -1 0 10 0 -1 0 30,0 0 -1 10 1 0 0 0 0 0 -1 10,y = C T = 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 （2.18）,0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1,结果如图2.12所示。,31,Y,X,Trans (10, 0, 0 ),Rot ( z, 90,),0,z,y,x,x,x,x,x,y,y,y,y,z,z,z,z,Rot ( z, 90,),Trans (10, 0, 0 ),图2.12 相对于基坐标系和当前坐标系的变换,32,四、物体的变换及逆变换,1.齐次坐标的复合变换,B相对于A：,A,B,T；,C相对于B：,B,C,T；,则C相对于A：,注意次序,33,四、物体的变换及逆变换,2.齐次坐标的逆变换,B相对于A：,A,B,T；,A相对于B：,B,A,T；,两者互为,逆矩阵,，求逆的办法：,（1）直接求（,A,B,T）,-1,（2）简化方法,34,四、物体的变换及逆变换,（3）一般求法,若,则,35,逆变换,（Inverse transformation),所谓逆变换就是将被变换的坐标系返回到原来的坐标系，在数学上就是求变换矩阵的逆。,下面我们写出变换矩阵的一般表达形式,n,x,o,x,a,x,p,x,n,y,o,y,a,y,p,y,T = n,z,o,z,a,z,p,z,（2.19）,0 0 0 1,式中 n, o, a 是旋转变换列向量，p 是平移向量，其逆是,n,x,n,y,n,z,- p.n,o,x,o,y,o,z,- p.o,T,-,1,= a,x,a,y,a,z,- p.a （2.20）,0 0 0 1,式中的 “ . ” 表示向量的点积。这个结果很容易用式2.19右乘式2.20是单位矩阵来证明。,36,3.变换方程初步,B:基坐标系,T:工具坐标系,S:工作台坐标系,G:目标坐标系,或工件坐标系,满足方程,37,变换方程,（Transform equations）,研究一下图,2.18,描述的,一个物体与机械手,情,况，机械手用变换,Z,相对于基坐标系被定位。,机械手的端点用变换,Z,T,6,来描述，而末端执行器,用变换,T6,E,来描述。物体用变换,B,相对于基坐,标系被定位。最后，机械手末端抓手用变换,B,G,相对于物体被定位。末端抓手位置的描述有两种,方式，一种是相对于物体的描述，一种是相对于,机械手的描述。由于两种方式描述的是同一个,点，我们可以把这个描述等同起来，得到,Z,Z,T,6,T6,E,= B,B,G （2.61）,这个方程可以用有向变换图来表示（见图,2.19,）。图的每一段弧表示一个变换。从它的定,义的坐标系向外指向。,用 Z,-,1,左乘和用E,-,1,右乘方程（2.61），得到,T,6,= Z,-,1,B G E,-,1,（2.62）,0,E,G,B,Z,T,6,z,y,x,图2.18 一个物体与机械手,图2.19 有向变换图,G,B,E,T,6,Z,0,38,从有向变换图上我们可以直接得到上述结果，从T,6,弧线的尾部开始，沿着图形顺时针依次列出各个变换，直到T,6,弧的箭头为止。在逆变换时，我们从T,6,弧的箭头开始，按逆时针方向依次列出各个变换，直到T,6,弧的起始点为止，则可得到T,6,的逆,T,6,-,1,= E G,-,1,B,-,1,Z （2.63）,对上式求逆得到与式（2.62）完全相同的结果。,作为进一步的例子，假设一个物体 B 的位置不知道，但机械手移动，使得末端抓手正好定位在物体上面。然后用 G,-,1,右乘式（2.61）求出 B 。或者在有向变换图中从 B 的尾部沿着逆时针方向到达弧 B 的箭头，直接得到同样结果。,B = Z T,6,E G,-,1,（2.64）,同样，我们可以用有向变换图求出变换的连接组。例如,Z T,6,= B G E,-,1,（2.65）,用有向变换图简化了变换方程的求解，可以直接写出变换结果。为了避免画圆，我们用图2.20所示的形式表示这个变换图，其中虚线表示那两个节点是被连在一起的，中间各垂线段表示相对坐标系。,B,G,E,T,6,Z,图2.20 有向变换图的另一种形式,39,2.7 旋转变换通式,（,General rotation transformation）,前面我们介绍的旋转变换都是绕 x，y，z 轴旋转的旋转变换，这些变换都有一个简单的几何解释。例如：在绕 z 轴旋转的情况下，表示 z 轴保持恒定，x 轴和 y 轴将如图2.15所示那样变化。,图2.15 绕 z 轴的旋转,z,0,z,y,y,x,x,Cos,Sin,Sin,Cos,40,如图2.16所示，,给出一个变换矩阵 C，它绕,任意向量 k 旋转，我们把 k当作 C坐标系的 z 轴单,位向量。,n,x,o,x,a,x,0,n,y,o,y,a,y,0,C = n,z,o,z,a,z,0,（2.21）,0 0 0 1,k = a,x,i,+ a,y,j,+ a,z,k,（2.22）,绕 k 旋转就相等于绕 C 坐标系的 z 轴旋转。,Rot（ k,，,）= Rot（,C,z，） （2.23）,如果我们给一个坐标系T，它在参考坐标,系里被描述，它在C坐标系里用X描述，这样,T = C X （2.24）,其中X描述T相对C的位姿，求X，我们得到,X = C,-,1,T （2.25）,k,T,z,z,y,y,x,x,x,0,0,图2.16 一般性旋转变换,C,41,T 绕 k 旋转就等于绕坐标系的 z 轴旋转,Rot（ k, ） C Rot（ z, ）X （2.26）,Rot（ k, ） C Ro,t（ z, ）C,-,1,T （2.27）,这样,Rot（ k, ） C Rot（ z, ）C,-,1,（2.28）,展开式（2.28），我们发现 C Rot（ z, ）C,-,1,仅是 k 的函数。,用C,-,1,右乘 Rot（ z, ） ，我们得到,cos -sin 0 0n,x,n,y,n,z,0,sin cos 0 0o,x,o,y,o,z,0,Rot（ z, ）C,-,1, 0 0 1 0a,x,a,y,a,z,0,0 0 0 1,0 0 0 1,n,x,coso,x,sin n,y,coso,y,sin n,z,coso,z,sin 0,n,x,cos + o,x,sin n,y,cos + o,y,sin n,z,cos+ o,z,sin 0,= a,x,a,y,a,z,0 （2.29）,0 0 0 1,再用C左乘,n,x,o,x,a,x,0,n,y,o,y,a,y,0,C = n,z,o,z,a,z,0 （2.30）,0 0 0 1,42,得到,C Rot（ z, ）C,-,1,=,n,x,n,x,cos n,x,o,x,sin+ n,x,o,x,sin+ o,x,o,x,cos+ a,x,a,x,n,y,n,x,cos n,y,o,x,sin+ n,x,o,y,sin+ o,y,o,x,cos+ a,y,a,x,n,z,n,x,cos n,z,o,x,sin+ n,x,o,z,sin+ o,z,o,x,cos+ a,z,a,x,0,n,x,n,y,cos n,x,o,y,sin+ n,y,o,x,sin+ o,y,o,x,cos+ a,x,a,y,n,y,n,y,cos n,y,o,y,sin+ n,y,o,y,sin+ o,y,o,y,cos+ a,y,a,y,n,z,n,y,cos n,z,o,y,sin+ n,y,o,z,sin+ o,y,o,z,cos+ a,z,a,y,0,n,x,n,z,cos n,x,o,z,sin+ n,z,o,x,sin+ o,z,o,x,cos+ a,x,a,z,0,n,y,n,z,cos n,y,o,z,sin+ n,z,o,y,sin+ o,z,o,y,cos+ a,y,a,z,0,n,z,n,z,cos n,z,o,z,sin+ n,z,o,z,sin+ o,z,o,z,cos+ a,z,a,z,0 （2.31）,0 1,43,应用下列关系进行简化：,C 坐标系任意的行或列与其他行或列的点积为零，因为这些向量是正交的；,C 坐标系任意的行或列与其自身的点积为I ，因为它们是单位量；,z 向量是 x 和 y 向量的叉积：a = n o，它有下列分量,a,x,= n,y,o,z, n,z,o,y,a,y,= n,z,o,x, n,x,o,z,a,z,= n,x,o,y, n,y,o,x,正矢 Vers=（1cos），简写成 Vers，且 kx = ax ，ky = ay ，kz = az 。由此可得到简化式为,Rot ( k,) =,k,x,k,x,Vers+ cos k,y,k,x,Versk,z,sin k,z,k,x,Vers + k,y,sin 0,k,x,k,y,Vers+ k,z,sin k,y,k,y,Vers+ cos k,z,k,y,Vers k,zx,sin 0,k,x,k,z,Versk,y,sin k,y,k,z,Vers + k,x,sin k,z,k,z,Vers+ cos 0 （2.32）,0 00 1,上式是一般性的旋转变换的重要结论。从这个结论可以得出每一个基本旋转变换。例如：,Rot ( x, )就是Rot ( k, )当 k,x,= 1，k,y,= 0, k,z,= 0 的情况，将这些值代入式（2.32）得到,1 0 0 0,0 cos -sin 0,Rot ( x, ) = 0 sin cos 0 （2.33）,0 0 0 1,这个结果与以前一样。,44,等价旋转角与旋转轴,（Equivalent angle and axis of rotation）,任给一个旋转变换，从（2.32）方程得到一个轴，绕这个轴旋转的等价旋转角可由,如下方法得到。已知一个旋转变换 R,n,x,o,x,a,x,0,n,y,o,y,a,y,0,R = n,z,o,z,a,z,0 （2.34）,0 0 0 1,令 R 和式 （2.32）的 Rot ( k, ) 相等，并将对角线各项相加得到,n,x,+ o,y,+ a,z,+1 = k,2,x,Vers+ cos+ k,2,y,Vers+ cos + k,2,z,Vers+ cos+1 （2.35）,n,x,+ o,y,+ a,z,= ( k,2,x,+ k,2,y,+ k,2,z,) Vers+ 3cos = 1 + 2cos （2.36）,由此可得到旋转角的余弦是,cos = 1/2（n,x,+ o,y,+ a,z,1） （2.37）,对非对角线项相减，我们得到,o,z, a,y,= 2 k,x,sin （2.38）,a,x, n,z,= 2 k,y,sin （2.39）,n,y, o,x,= 2 k,z,sin （2.40）,把式（2.38）到式（2.40）两边平方并相加有,（o,z, a,y,）,2,+（ a,x, n,z,）,2,+（ n,y, o,x,）,2,= 4 sin,2, （2.41）,45,我们得到了sin的表达式,sin = 1/2（o,z,a,y,）,2,+（ a,x,n,z,）,2,+（ n,y,o,x,）,2,（2.42）,规定这个旋转是绕 k 正方向旋转，当 0180,时，在上式中取十号是合理的。,这个旋转角被唯一定义为,tan =（o,z,a,y,）,2,+（ a,x,n,z,）,2,+（ n,y,o,x,）,2,/（n,x,+ o,y,+ a,z,1 ） （2.43）,k的各分量为,k,x,=（o,z,a,y,）/ 2 sin （2.44）,k,y,=（a,x,n,z,）/ 2 sin （2.45）,k,z,=（n,y,o,x,）/ 2 sin （2.46）,注意,：,当旋转角,较小或接近 180,时，上述三个式子的分子和分母都很小，所计算的k值是不精确的。为此可继续根据式（2.32）和式（2.33）对应元素以及它们的代数和相等的关系来求出k的各个分量。,46,【,例2.1,】,对点向量 u = 2 3 2 1 ,T,进行平移，平移向量为 h = 4 -3 7 1 ,T,，则平移后的向量为 v = 6 0 9 1 ,T,，或,1 0 0 4 2 6,0 1 0 3 3 0,v = H,u = 0 0 1 7 2 = 9,0 0 0 1 1 1,点向量的平移过程如图2.3所示。,对平面的平移则用,H,1,进行变换，如对平面,p = 1 0 0 -2 ,进行 H 变换为平面q，则根据变,换原理有,1 0 0 -4,0 1 0 3,q p H,1, 1 0 0 -2 ,0 0 1 -7,0 0 0 1, 1 0 0 -6 ,平面 p 1 0 0 -2 是 yz 平面沿 x 正方向移动2个单位形成的平面（图2.3），点u = 2 3 2 1 ,T,是平面 p上的一个点，它们的点乘 p u = 0。经 H 变换后的平面 q 1 0 0 -6 是 yz 平面沿 x 正方向移动6个单位形成的平面，点v = 6 0 9 1,T,是平面 q上一个点，平面 q 与点 v 的点乘也应是零，即 q v 0，说明变换前后的结果不变，证明 H 变换是正确的。,u,0,z,y,x,3,P,2,2,图2.3 点向量的平移,v,6,9,q,p,47,