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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2016/4/25,#,必修,1,第一章 集合与函数概念,一、集合有关概念,1,、集合的含义：某些指定的对象集在一起就,成为,一个集合，其中每一个对象叫元素,。,2,、,集合中,元素的三个特性：,1,.,元素的确定性,；,2.,元素的互异性；,3.,元素的无序性,列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。,描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。,语言描述法：例：,不是直角三角形的三角形,数学式子描述法：例：不等式,x-32,的解集是,x,R| x-32,或,x| x-32,4,、集合的分类：,（,1,）有限,集,含有有限个元素的集合,（,2,）无限,集,含有无限个元素的集合,（,3,）空集,不含任何元素的集合,例：,二、集合间的基本,关系,三、集合的,运算,1,交集的定义：一般地，由所有属于,A,且属于,B,的元素所组成的集合,叫做,A,B,的交集,记,作,A,B(,读作”,A,交,B,”,),，即,A,B=x|x,A,，且,x,B,2,、并集的定义：一般地，由所有属于集合,A,或属于集合,B,的元素所组成的集合，叫做,A,B,的并集。记作：,A,B(,读作”,A,并,B,”,),，即,A,B=x|x,A,，或,x,B,3,、交集与并集的性质：,A,A = A, A,=, A,B = B,A,，,A,A =,A,A,= A ,A,B = B,A.,4,、全集与补集,（,1,）补集：设,S,是一个集合，,A,是,S,的一个,子集，,由,S,中所有不属于,A,的元素组成的集合，叫做,S,中子集,A,的补集（或余集,）,。,（,2,）全集：如果集合,S,含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用,U,来表示。,四、函数的有关概念,1,函数的概念：设,A,、,B,是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系,f,，使对于集合,A,中的任意一个数,x,，在集合,B,中都有唯一确定的数,f(x),和它对应，那么就称,f,：,A,B,为从集合,A,到集合,B,的一个函数记作：,y=f(x),，,x,A,其中，,x,叫做自变量，,x,的取值范围,A,叫做函数的定义域；与,x,的值相对应的,y,值叫做函数值，函数值的集合,f(x)| x,A ,叫做函数的值域,注意：如果只给出解析式,y=f(x),，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式,定义域补充,能使函数式有意义的实数,x,的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：,(1),分式的分母不等于零；,(2),偶次方根的被开方数不小于零；,(3),对数式的真数必须大于零；,(4),指数、对数式的底必须大于零且不等于,1. (5),如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,.,那么，它的定义域是使各部分都有意义的,x,的值组成的集合,.,（,6,）指数为零底不可以等于零,(6),实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义,.,2.,构成,函数的三要素：定义域、对应关系和值域,注意：（,1,）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（,2,）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致,(,两点必须同时具备,) (,见课本,21,页相关例,2),值域,补充,(1),、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域,.,(2).,应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。,3.,函数图象知识归纳,(1),定义：在平面直角坐标系中，以函数,y=f(x) , (x,A),中的,x,为横坐标，函数值,y,为纵坐标的点,P(x,，,y),的集合,C,，叫做函数,y=f(x),(x,A),的图象,集合,C,上每一点的坐标,(x,，,y),均满足函数关系,y=f(x),，反过来，以满足,y=f(x),的每一组有序实数对,x,、,y,为坐标的点,(x,，,y),，均在,C,上,.,即记为,C= P(x,y) | y= f(x) , x,A ,图象,C,一般的是一条光滑的连续曲线,(,或直线,),也可能是由与任意平行与,Y,轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。,(2),画法,A,、描点法：根据函数解析式和定义域，求出,x,y,的一些对应值并列表，以,(x,y),为坐标在坐标系内描出相应的点,P(x, y),，最后用平滑的曲线将这些点连接起来,.,B,、图象变换法（请参考必修,4,三角函数）,常用,变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换,(3),作用：,1,、直观的看出函数的性质；,2,、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。,4,了解区间的概念,（,1,）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间,；,（,2,）无穷区间,；,（,3,）区间的数轴表示,5,什么叫做映射,一般地，设,A,、,B,是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则,f,，使对于集合,A,中的任意一个元素,x,，在集合,B,中都有唯一确定的元素,y,与之对应， 那么就称对应,f,：,A,B,为从集合,A,到集合,B,的一个映射。记作“,f,：,A,B,”,给定一个集合,A,到,B,的映射，如果,a,A,b,B.,且元素,a,和元素,b,对应，那么，我们把元素,b,叫做元素,a,的象，元素,a,叫做元素,b,的原象,7,函数单调性,（,1,）增函数,设函数,y=f(x),的定义域为,I,，如果对于定义域,I,内的某个区间,D,内的任意两个自变量,a,，,b,，当,ab,时，都有,f(a)f(b),，那么就说,f(x),在区间,D,上是增函数。区间,D,称为,y=f(x),的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念,）,（,2,）减函数,设函数,y=f(x),的定义域为,I,，如果,对于区间,D,上的任意两个自变量的值,a,，,b,，当,ab,时，都有,f(a),f(b),，那么就说,f(x),在这个区间上是减函数,.,区间,D,称为,y=f(x),的单调减区间,.,注意：,1,函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；,2,必须是对于区间,D,内的任意两个自变量,a,，,b,。,（,3,）,图象的特点,如果函数,y=f(x),在某个区间是增函数或减函数，那么说函数,y=f(x),在这一区间上具有,(,严格的,),单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减 函数的图象从左到右是下降的,.,(3).,函数单调区间与单调性的判定方法,(A),定义法,：,1,任,取,a,，,b,D,，且,ab,；,2,作差,f(a),f(b),；,3,变形（通常是因式分解和配方）；,4,定号（即判断差,f(a),f(b),的正负）；,5,下结论（指出函数,f(x),在给定的区间,D,上的单调性）,(B),图象法,(,从图象上看升降,)_ (C),复合函数的单调性,复合函数,fg(x),的单调性与构成它的函数,u=g(x),，,y=f(u),的单调性密切相关,注意：,1,、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集,. 2,、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗,？,8,函数的奇偶性,（,1,）偶函数,一般,地，对于函数,f(x),的定义域内的任意一个,x,，都有,f(,x)=f(x),，那么,f(x),就叫做偶函数,（,2,）奇函数,一般,地，对于函数,f(x),的定义域内的任意一个,x,，都有,f(,x)=,f(x),，那么,f(x),就叫做奇函数,注意,：,1,、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。,2,、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个,x,，则,x,也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）,3,、具有奇偶性的函数的图象的特征,偶函数的图象关于,y,轴对称；奇函数的图象关于原点对称,总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：,1,首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；,2,确定,f(,x),与,f(x),的关系；,3,作出相应结论：若,f(,x) = f(x),或,f(,x),f(x) = 0,，则,f(x),是偶函数；若,f(,x) =,f(x),或,f(,x),f(x) = 0,，则,f(x),是奇函数,注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数,.,若对称，,(1),再根据定义判定,; (2),有时判定,f(-x)=,f(x),比较困难，可考虑根据是否有,f(-x),f(x)=0,或,f(x)/f(-x)=,1,来判定,; (3),利用定理，或借助函数的图象判定,.,9,、函数的解析表达式,（,1,）函数,的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域,.,（,2,）求,函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数,fg(x),的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出,f(x),10,函数最大（小）值（定义见课本）,（,1,）利用,二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值,.,（,2,）利用,图象求函数的最大（小）值,（,3,）利用,函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数,y=f(x),在区间,a,，,b,上单调递增，在区间,b,，,c,上单调递减则函数,y=f(x),在,x=b,处有最大值,f(b),；如果函数,y=f(x),在区间,a,，,b,上单调递减，在区间,b,，,c,上单调递增则函数,y=f(x),在,x=b,处有最小值,f(b),；,
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