简版误差理论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,竞赛物理实验绪论,雅礼中学,2012年2月,1,1. 测量、误差和不确定度估计,1.1 测量与有效数字,1.2 测量误差和不确定度估算的基础知识,1.3 直接测量和间接测量的数据处理,2,测量与有效数字,测量,有效数字的读取,有效数字的运算,有效数字尾数的舍取规则,3,测 量,物理实验以测量为基础，所谓,测量,，就是用合适的工具或仪器，通过科学的方法，将反映被测对象某些特征的物理量（被测物理量）与选作标准单位的同类物理量进行比较的过程，其比值即为被测物理量的测量值。,4,直接测量：,直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值（即从仪器上直接读数获得）。,如：用米尺测量长、宽、高；,用秒表测时间；,用温度计测温度；,用秤称物体的质量；,用电压表测电压；,用电流表测电流；,1.42m,150,100,50,(cm),5,间接测量,：,利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系，求得该被测物理量。,h,d,M,6,按测量条件，分为,等精度测量,和,不等精度测量,。,等精度测量,：当同一个人、用同样的方法、使用同样的仪器并在相同的条件下对同一物理量进行的多次重复测量，每次测量结果有相同的可信赖程度，这样的测量叫做等精度测量。,我们仅限于研究等精度测量,7,测量的表示,测量值=读数值(,有效数字,)+单位,有效数字可靠数字可疑数字,8,有效数字的读取,15.,2,mm,15.,0,mm,15.0mm=1.50cm=0.0150m,9,有效数字,的性质和说明,1、,有效数字的位数与小数点的位置无关；,L=12.71cm=0.1271m=0.0001271km,2、,“0”在有效数字中的特殊地位。,1206cm 2.0000mm 0.000125cm 0.001206mm,四位 五位 三位 四位,3、,参与计算的常数，如 4，e等，其有效数字的位数可以认为是无限的；（取与测得值位数最多的相同）,4、,如遇到测量结果是用科学计数法表示时，指数部分不计入有效数字的位数。,电子的电荷,q,=1.60210,-19,库仑 四位有效数字,10,有效数字的运算规则,准确数+准确数=准确数,准确数+存疑数=存疑数,存疑数+存疑数=存疑数,进位视为准确数,计算结果保留一位存疑数,11,有效数字的运算,加、减法,：,诸量相加（相减）时，其,和（差）数在小数点后所应保留的位,数与诸数中小数点后位数最少的一个,（存疑数字数量级最大的一位）相同。,4.17,8,+ 21.,3,25.,478,=,25.,5,12,乘、除法：,诸量相乘（除）后其积（商）,所保留的有效数字，只须与诸因子中有效,数字最少的一个相同。,4.17,8, 10.,1,4178,417,8,42,1978,=42.,2,13,乘方开方:,有效数字与其底数的有效数,字相同。,对数函数,:,首数不计，对数小数部分的数字位数与真数的有效数字位数相同。,例：lg1.93,8,= 0.297,3,lg1938 = 3 + lg1.938 = 3.297,3,指数函数:,用科学计数法表示，小数点前保留1位，小数点后保留的位数与指数在小数点后的位数相同，包括紧接小数点后的“0”。,例：,14,三角函数:,取位随角度有效数字而定。即以仪器的准确度来确定，如能读到,1,一般取4位有效数字。,例：Sin3000= 0.5000,Cos2016= 0.9381,函数运算不能搬用四则运算规则。 严格讲，函数运算结果的有效数字位数应根据误差计算来确定。以上三类函数的做法只是为了简便所作的规定。,15,有效数字尾数的舍入规则,若舍去部分的数值小于所保留的末位数单位的1/2，末位数不变。,若舍去部分的数值大于保留的末位数单位的1/2，末位数加1。,若舍去部分的数值恰好等于保留的末位数单位的1/2，当末位数为偶数时，保持不变；为奇数时，末位数加1。,例：4.32,7,49,4.327 4.32,7,51,4.328,4.32,7,50,4.328 4.32,8,50,4.328,通俗地说：四舍六入，五凑偶。,16,测量误差和不确定度估算的基础知识,误差,随机误差的处理,测量结果的不确定度表示,间接测量不确定度的合成,17,有测量就会有误差。,误差,：测量结果（,x,）与真值(,x,0,)之间总有一定的差异，这种差异称为测量误差。表示为：,真值,：,物理量在一定实验条件下,的客观存在值,误 差,18,测量误差存在于一切测量过程中，可以控制得越来越小，不可能为零。,误 差,19,误差的表示,绝对误差：,相对误差：,有数值大小、符号和单位；是一个理想的概念，一般不能准确得到；反映了测量值与真值接近的程度，能够评价,某一,测量结果的优劣。,评价,不同,测量结果的优劣，,相对误差越小,测量越精确。,以百分数形式出现。,真值x,0,常用约定真值，如公认值、算术平均值等。,20,举 例,例如：用米尺测量两个物体的长度，得到一个是10m，一个是1m，绝对误差都是1cm。,两个测量的准确程度是不一样的！,21,举 例,22,误差的分类,根据,性质,和,来源,，误差可分为三类,：,1.系统误差,2.偶然误差,3.过失误差,23,定义,：,在相同条件下，多次测量同一物理量时，其误差的绝对值和符号保持不变；或者随着测量条件的改变按一定规律变化。,来源,：,仪器误差,：,由于仪器本身的缺陷或没按规定条件调整、使用所造成的误差。如仪器零点校正不准，天平两臂不等长等。,系统误差,24,方法误差,：由于实验方法或实验理论不完善所造成的系统误差。如伏安法测电阻时未计入电表内阻的影响。,个人误差,：由于观察者生理或心理特点造成的误差。通常与观测人员的反映速度和固有习惯等有关（如有的人对准目标时总是偏左或偏右，致使读数偏大或偏小）。,环境误差,：由于外界环境（如温度、光照、电磁等）的,恒定偏离,规定条件时而产生的误差。,系统误差,25,特点,：,具有,确定性,和,规律性,。它的大小和符号保持不变或按一定规律变化，增加测量次数误差不能减小。,在实验中可以通过校准仪器、改进实验设备、选择更好的实验方法来,消除,或尽量使之,减小,，或在测量结果中进行,修正,。,对于那些既不能修正，又不能消除的系统误差应根据具体情况在测量误差（或测量不确定度）中反映出来。,系统误差,26,定义,：,在对同一物理量进行多次重复测量时，各次测量值分散在一定范围内，其误差时正时负，绝对值时大时小，呈现无规则的涨落，这类误差称为偶然误差。,测量过程中一些偶然的、不确定的因素引起的。,温度忽高忽低,气流飘忽不定,电压漂移起伏,偶然（随机）误差,27,偶然误差具有,单个偶然性，总体服从统计规律,的特点。,在相同条件下，对同一物理量作多次重复测量，其测量值将有时偏大，有时偏小，每次测量结果的误差（大小和正负）具有偶然性。但就总体而言，测量所得到的一系列数据的偶然误差服从统计规律分布,(,正态分布规律、,t,分布、均匀分布,),测量次数足够多时，服从正态分布规律,偶然（随机）误差特点,28,标准误差,x,0,为真值,x,为测量值,p(x),为,x,的概率密度,标准正态分布,29,s,小,s,较大,s,大,当,x,=,x,0,时,的大小可以描述曲线的形状。,越小，分布曲线就越陡，数据越集中，重复性好，,偶然误差分布范围窄。,标准差表示测量值的离散程度,30,x,0,-,x,0,x,0,+,测量值落入区间,x,0,-,x,0,+,的概率为,这个概率叫,置信概率（或置信度），,对应的区间叫置信区间。,扩大置信区间，可增加置信概率,x,0,-2,x,0,+2,内,x,0,-3,x,0,+3,内,标准正态分布,31,x,0,-,x,0,x,0,+,对称性,：大小相等、符号相反的正负误差出现的几率相等,单峰性,：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的几率大,有界性,： 绝对值很大的误差出现的几率近似等于零,抵偿性,：随着测量数量的增加，随机误差的代数和趋于零。,增加测量次数可以减小偶然误差，不能完全消除,标准正态分布,32,误差与测量结果的关系：,准确度、精密度,33,偶然（随机）误差的统计处理,m次：,N1，N2，Ni，Nm,一、,真值的最佳近似值算术平均值,任一次的测量误差：,（近真值）,（偏差）,（m, ）,34,偶然（随机）误差的统计处理,二、,误差的估计标准误差,真值实际上得不到，但是，当n足够大时，,算术平均值,趋于真值,，此时标准误差的计算式应该为：,当测量次数n有限时，我们只能得到偏差，但由误差理论,可以证明，此时可以用下式作为标准误差的最佳估计：,35,偶然（随机）误差的统计处理,三、,误差的估计算术平均值的标准误差,称为,测量列的标准误差,，测量次数n,一般取510次。,算术平均值比任何一次测量值x,i,都可靠，但,毕竟不是真值，其可靠性如何呢？,根据误差理论，算术平均值的标准误差可以,写成以下形式：,称为,测量列的标准误差,，测量次数n,一般取510次。,36,偶然（随机）误差的统计处理,如果直接测量中系统误差已经减到最小，,被测量量是稳定的，并且对其作了多次测量，,那么就应该用,算术平均值,作为测量值的最佳,估计，用,算术平均值的标准误差,作为标准误,差的最佳估计。,37,用标准米尺测某一物体的长度共10次，其数据如下：,试计算算术平均值,某次测量值的标准误差,算术平均值的标准误差,例:,某次测量值的标准误差,38,解：,39,概念,：,我们测量某物理量时，总是想要找到物理量的真值,而真值又无法确切知道，所以实际测量中，我们只能提供一个真值存在的范围：,(,x,-,x,，,x,+,x,),同时要给出真值出现在这一范围内的几率，即置信概率。然后我们说：真值落在该范围内的概率是多少，这个,x,就叫做,测量的不确定度。,测量不确定度,40,例如：用千分尺测量某圆柱直径,D,，测量结果为：,D=(8.3480.005)mm, P=0.683,这个表达式说明测量结果在置信概率为68.3%时，不确定的范围为0.005mm，即真值出现在8.3438.353mm范围内的概率为68.3%。测量的不确定度为0.005mm。,测量不确定度,41,意义,：,表征了由于误差的存在使得被测量量不能确定的程度，反映了可能存在的误差分布范围，其实质是对误差的一种评价,。,不确定度与误差的区别,：,1、不确定度的来源是误差，由于测量误差 的存在使得被测量的量值是不确定的，不确定度是对这一不确定程度的,定量描述,。,测量不确定度,（,也可以说不确定度是,一定置信概率,下的,误差限值, 反映了可能存在的误差分布范围。,）,42,2、不确定度是以测量结果为中心的一个量值范围，真值则以一定的概率处于其中；而误差是测量结果跟真值之差，以真值为中心。,3、不确定度总是不为零的正数，而误差则既可以是正数，也可以是负数。不确定度原则上总是可以具体评定的，而误差一般由于真值的未知性而不能计算。,测量不确定度,43,A,类分量,:,可以用统计学方法估算,的分量，一般指随机误差。,不确定度组成及简化评定,44,B 类分量,:,不能用统计学方法估算的分,量，一般指系统误差。,若不特别说明,c,叫置信因子,满足,均匀分布,时,c,取 ，此时置信概率为,0.683.,不确定度组成,45,(1) 互相独立,(2) 应取相同的置信概率,不确定度组成,不确定度合成：,46,由于测量次数有限，测量值的分布将偏离正态分布，此时服从,t,分布,。测量次数少,时，t 分布偏离正态分布较多。测量次数多时趋于正态分布。,平均值的标准偏差 需修正为,不确定度组成,47,前面提到有限测量时，算术平均值不等于真值，它的标准误差为：,的意义可以理解为：,待测物理量的真值处于区间 内的概率为,0.683,。,48,物理实验中，若置信度接近或大于,0.95,这时,t,分布相应的置信区间可写为,:,一般，我们测量次数,5,n10,次。,n,3,4,5,6,7,8,9,10,2.48,1.59,1.24,1.05,0.926,0.834,0.770,0.715,5.73,2.92,2.06,1.65,1.40,1.24,1.12,1.03,49,测量结果的合成不确定度,5,n,10,50,直接测量量,不确定度估算过程与表示,1.,求测量数据的平均测量值,判断有无应当剔除的,异常数据,，如有,剔除后重新计算,2.,用已知系统误差修正平均值,3.,计算标准误差,51,4.,A,=,S,x,5.,根据仪器允差确定,B,=,仪,6.,合成不确定度,7.,表示测量结果,52,注意,在物理实验中，常常遇到的,仪器误差,是指国家标准规定的或生产厂家给出的计量工具、计量仪表的准确等级或允许的误差范围，并且根据测试方法或使用条件的简化约定，我们通常用,仪,表示。它是仪器的最大可能误差，其置信概率为99.7%，属于,B类不确定度,。,53,常用仪器,仪,的约定值,钢卷尺、钢板尺,游标卡尺,螺旋测微器,1/10mm分度,1/20mm分度,1/50mm分度,0.5mm,0.1mm,0.05mm,0.02mm,0.004mm,分光计,（1,分度）,读数显微镜,迈克耳逊干涉仪,测微目镜,1,0.005mm,0.00005mm,0.005mm,1、除游标卡尺、分光计外,仪,取仪器最小分度的一半。,2、数字仪表，如秒表、电子平秤、数显温度计等，取末位的最小显示分值。,54,合成方法,:,相对不确定度:,结果表示:,55,注意,：,1.,平均值有效数字位数不要超过,测量值的有效数字,;,2,.,不确定度保留,1,位有效数字，,3.,测量结果（平均值）的最后一,位数字要和不确定度具有相同,的数量级（即,尾数对齐,）。,56,直接测量不确定度计算举例,例,1,：,用螺旋测微计测某一钢丝的直,径，原始数据见下表，请给出完,整的测量结果。,d,0,= +0.004 mm ,螺旋测微计的仪器允差为,仪,= 0.004mm,1,2,3,4,5,6,（mm）,0.249,0.250,0.247,0.251,0.253,0.250,原始数据表格,57,例解：,d,0,= +0.004 mm ,螺旋测微计的仪器允差为,仪,=0.004mm,1,2,3,4,5,6,(mm),0.249,0.250,0.247,0.251,0.253,0.250,(mm),0.245,0.246,0.243,0.247,0.249,0.246,(mm),0.246,(mm),0.001,0.000,0.003,-0.001,-0.003,0.000,没有异常数据,不用剔除,58,例解：,59,测量结果表示为,60,1.某长度测6次,分别为29.18 29.19 29.27 29.25 29.26 29.24(cm),m,=0.02cm,cm,取一位,cm,计算,例2：,61,不确定度保留1位,且与平均值的最后一位对齐.,取一位,取一位,最后结果：,62,单次测量,当无需、无法多次测量、或仪器精密度差，只测量一次时，,63,间接测量,不确定度的计算,设待测量与各直接测量之间有函数关系：,则：,待测量的,平均值,可直接用各量平均值计算,待测量的,不确定度,与各直接测量量的不确定 度的关系为：,（,1,）,计算和差形式方便,（,2,）,计算乘除指数形式方便,64,常用公式,同学们可以用偏微分知识自己推导这些公式,65,间接测量的不确定度合成过程,1.求出各直接测量量的平均值和不确定度;,2.根据公式求出间接测量量的合成不确定度或相对不确定度;,3.用各量的平均值求出间接测量量的平均值。利用平均值并求出合成不确定度;,4.表示测量结果。,66,间接测量量的不确定度合成举例,例2：,已测得金属环的外形尺寸如下，要求给出其体积的测量结果,解：,2.,由于间接测量与直接测量量之间没有简单关系，故先推导出,间接测量的,相对不确定度,1.,67,间接测量量的不确定度合成举例,3.,求绝对不确定度,4. 实验结果表示,68,2.数据处理方法,2,作图法处理实验数据,3,逐差法,4,最小二乘法直线拟合,1,列表法,69,列表的具体,要求,：,（1）表格设计合理，便于看出相关量之间的对应关系，便于分析数据之间的函数关系和数据处理。,（2）标题栏中写明代表各物理量的符号和单位。,注意：,单位不要重复记在各数值后面,！,（3）表中所列数据要正确反映测量结果的有效数字。,（4）实验室所给出的数据或查得的单项数据及,表名,应列在表格的上部。,1、列表法,70,伏安法测量电阻,伏特计：1.0级, 量程15V,内阻15K,毫安计：1.0级, 量程20mA, 内阻1.20,504,499,509,507,515,510,496,499,500,电阻R=U/I（）,17.86,16.02,13.75,11.83,9.70,7.85,6.05,4.01,2.00,电流I（mA）,9.00,8.00,7.00,6.00,5.00,4.00,3.00,2.,00,1.,00,电压U（V）,9,8,7,6,5,4,3,2,1,测量次数n,例 1,代表仪器的精度，必须写！,71,4.2030,5.4090,5.6032,66.9,223.4,271.3,（,）,0.00298,0.00337,0.00347,61.9,23.2,14.6,（）,8,.,2,1,热敏电阻温度特性研究数据记录,直接测量量,中间量,例2,72,（1）,常用的图线类型,函数曲线,校准曲线,2、作图法,优点,：简便、形象、直观,缺点,：受坐标纸及人为的影响比较大,73,在一定条件下，某一物理量与另一物理量,之间的相互关系；,图线是,光滑,曲线,U,I,热敏电阻的温度特性曲线,伏安特性曲线,函数曲线,74,相邻校准点以直线连接；,校准曲线与被校准仪器一起使用,校准曲线,I,x,I,x,I,max,电流表校准曲线,75,1）,作图一定要用,坐标纸,2）,图中要标明,图名,、,轴名、单位,，并适当选取x轴、y轴比例（且符合有效数字位数要求）及坐标的起点，使图形比较对称地充满整个图纸。,3）,描点和连线。描点可用“+、”符号表示数据点。 连线要纵观所有数据点的变化趋势，充分尊重实验事实，不要人为地往理论上靠。所连的线不一定要通过所有的数据点，而要在线的两测数据点均衡分布。,4）,表明图线特征（截距、斜率等，,标出被选计算点坐标,）,（2）作图法的要求与规则,作图法,76,如果横坐标x的原点为零，直线延长和坐标轴交点y的纵,坐标即为截距,（3）图解法求直线的斜率和截距,1）直线斜率的求法,该直线的斜率：,2)直线截距的求法,作图法,图线类型为直线方程 ，可在图线上任取两相距较远的点，其x坐标最好为整数，以减少误差（,注意:,不得用原始实验数据点，必须从图线上重新读取）。,77,解：,1,.,选择,合适,的坐标分度值，确定坐标纸的,大小,坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度。根据数据表,U,轴可选1mm对应于0.10 V，,I,轴可选1mm对应于0.20 mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围） 约为130 mm130m m。,伏安法测电阻实验数据,例3,作图法,78,2.标明坐标轴,：,用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。,I,(mA),U,(V),8.00,4.00,20.00,16.00,12.00,18.00,14.00,10.00,6.00,2.00,0,2.00,4.00,6.00,8.00,10.00,1.00,3.00,5.00,7.00,9.00,4. 连成图线：,用直尺等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，实验点基本上均匀分布在图线两侧。,3.标实验点,：,实验点可用“ ”、“ ”、“ ”等符号标出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号,）。,作图法,79,5,.标出图线特征：,在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻,R,大小：从所绘直线上读取两点,A,、,B,的坐标就可求出,R,值。,I,(mA),U,(V),8.00,4.00,20.00,16.00,12.00,18.00,14.00,10.00,6.00,2.00,0,2.00,4.00,6.00,8.00,10.00,1.00,3.00,5.00,7.00,9.00,6.,标出图名：,在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。,A,(1.00,2.76),B,(7.00,18.58),由图上,A,、,B,两点可得被测电阻,R,为：,至此一张图才算完成!,电阻伏安特性曲线,作者：xx,作图法,80,n,(nm),1.6500,500.0,700.0,1.6700,1.6600,1.7000,1.6900,1.6800,600.0,400.0,玻璃材料色散曲线图,图 1,不当：曲线太粗，不均匀，不光滑,。,应该把实验点连成光滑、均匀的细实线。,不当图例展示：,作图法,81,n,(nm),1.6500,500.0,700.0,1.6700,1.6600,1.7000,1.6900,1.6800,600.0,400.0,玻璃材料色散曲线图,改正为：,作图法,82,图 2,I,(mA),U,(V),0,2.00,8.00,4.00,20.00,16.00,12.00,18.00,14.00,10.00,6.00,2.00,1.00,3.00,电学元件伏安特性曲线,不当：横轴坐标分度选取不当。,横轴以3 cm,代表1 V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1 mm 代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。,作图法,83,I,(mA),U,(V),o,1.00,2.00,3.00,4.00,8.00,4.00,20.00,16.00,12.00,18.00,14.00,10.00,6.00,2.00,电学元件伏安特性曲线,改正为：,作图法,84,定容气体压强温度曲线,1.2000,1.6000,0.8000,0.4000,图3,P,(10,5,Pa,),t,(,),60.00,140.00,100.00,o,120.00,80.00,40.00,20.00,图纸使用不当,。实际作图时，坐标,原点的读数,可以不从,零,开始,。,作图法,85,定容气体压强温度曲线,1.0000,1.1500,1.2000,1.1000,1.0500,P,(10,5,Pa,),50.00,90.00,70.00,20.00,80.00,60.00,40.00,30.00,t,(,),改正,为：,作图法,86,（4）曲线改直,（例半导体热敏电阻电阻温度特性）,R,T,T,lnR,1/T,作图法,87,函数成线性关系，,自变量为等间距变化时，,数据是偶数对。,用逐差法处理具有独特的,优点,。,逐差法适用条件,3、逐差法,逐差法,88,测量序号：1 2 3 4 5 6 7 8,测量值： x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,x,7,x,8,优点,：,逐差法可以充分利用数据，减小误差,逐差伸长量,x,1,x,2,x,3,x,4,逐差伸长量的定义（分两组）：,x,i,=x,i+4,-x,i,逐差法取平均：,逐差法,89,从一组实验数据中,客观地,找出一条最佳的拟合曲线,作图法直观、方便，但在曲线的绘制上带有一定的主观随意性。同一组数据可能会得到不同的拟合曲线。,Y,X,4. 最小二乘法,最小二乘,90,包括两类问题,函数关系已经确定，系数是未知的,函数关系未知，求经验方程式。,y =,a,+,b,x,我们讨论的是第一类问题,中的最简单的函数关系，,即一元线性方程的回归,(亦称直线拟合)问题。,91,y,n, y,i,y,2,y,1, x,i,x,n,x,2,x,1,设两个物理量之间满足线性关系:,测量值,与最佳值 的值之间的偏差为：,最小二乘法原理,: 所有偏差平方之和为最小值时，所拟合的直线为最佳。,精度高自变量,（1）线性方程的确定,彼此独立,92,最小二乘法直线拟合,93,最小二乘法直线拟合,解方程得:,94,最小二乘法直线拟合,最小二乘法处理数据除给出,a,、,b,外，还应给出相关系数,r,，,r,定义为,r,表示两变量之间的函数关系与线性的符合程度，,r,-1,，,1,。,|,r,|,1,，,x,、,y,间线性关系好，,|,r,|,0,，,x,、,y,间无线性关系，拟合无意义。,物理实验中一般要求,r,绝对值达到,0.999,以上,(3,个,9,以上,),。,其中,相关系数,r,95,谢谢大家！,96,