微积分计算体积

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,旋转体,就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做,旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,体 积,一、旋转体的体积,旋转体的体积为,x,y,o,所围成的曲边梯形绕,y,轴旋转一周所成的立体的体积为,例1,求椭圆,所围成的平面图形分别绕,x,轴和,y,轴旋转一周所成的旋转体（旋转椭球体）的体积,类似地，由连续曲线,这个旋转体可以看成是由半个椭圆,及,x,轴所围成的平面图形绕,x,轴旋转而成的立体,与上同理,椭球体也可以看成由半个椭圆,及,y,轴围成的平面图形绕,y,轴旋转而成的立体,解,特别当,a,=,b,时,旋转体成为球体,解,解,例4,证明由平面图形,（,f,(,x,),连续）,绕,y,轴旋转而成的立体的体积为,对应的部分量,可近似看成内径为,x,，,外径为,x,+,dx,高为,f,(,x,),的薄壁圆筒,故,证,或展开后近似于长为 宽为,dx,高为,f,(,x,),的薄长方体,利用这个公式，可知上例中,解,体积元素为,求圆心在 (,b,0,),半径为,a,( 0,a,b,),的圆绕,y,轴旋转一周所成的环状体的体积,解,圆的方程,例6,绕,x,轴旋转,dV,=,薄片圆柱的体积（底半径为,f,(,x,) ，,高为,dx,）,柱片法,绕,y,轴旋转,dV,=,薄壁圆筒的体积（内径为,x,，,外径为,x,+,dx,高为,f,(,x,),柱壳法,旋转体的侧面积,绕,x,轴旋转,所得的旋转面的侧面积为,一 般地,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,二、平行截面面积为已知的立体的体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,已知点,A（1,0,1), B(0,1,0) ，,线段,AB,绕,z,轴旋转一周所成的旋转曲面为,S，,求由,S,和两平面,z,= 0,z,= 1,所围立体的体积,解,AB,的方程为,在,z,轴上截距为,z,的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与,z,轴交于点,Q (0,0,z,) ，,与,AB,交于点,M (,z,1-,z,z,) ，,截面面积,立体体积,故截面的半径为,例8,旋转体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,平行截面面积为已知的立体的体积,思考题,三、小结,交点,立体体积,思考题解答,练 习 题,练习题答案,