1 布洛赫（BLOCH）定理一．布洛赫定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 电子能带理论,掌握布洛赫波函数、平均速度、有效质量、区分导体、半导体和绝缘体；了解布拉格反射、各种近似方法。,教学目的：,1 布洛赫（Bloch）定理,一布洛赫定理,如果将固体抽象为理想晶体，Kohn-Sham方程,中的势 ，具有理想晶体同样的平移对称性，即,如果 表示将位矢 变到 的平移操作算符，就有,这就表示，所有的 与本征函数 具有同样的本征能量,如果,是非简并的，即只有一个,属于,那么除了一个相因子外,的本征值方程。,可以写成,应与,相同：,且,的形式。再由,有,和,可得,是 度简并的，即有 个相互正交的本征函数,如果,属于,那么 作用于 后得到的函数应为 的线形组合，即,平移群的每个算符 通过上式用一个矩阵 表示。显然，这种矩阵是满足与 相同的乘法规则的，即：,也构成一个群，是平移群在以 基的 维表示形成的矩阵群。,可用它们的线形组合产生一个新的等价的基。用新的基表示，上述 矩阵成为对角形式：,于是可得到,相应地有,也是一个描写本征函数的量子数。而 同时也是哈密顿算符的本征函数，因此本征值 也依赖于 ，即：,上述定理用数学形式表示即为,称为布洛赫函数，用它描写的晶格电子也称为布洛赫电子。,重要推论,1.,晶格电子可用通过晶格周期性调幅的平面波表示。,2.,只需将,k,值限制在一个包括所有不等价,k,的区域求解薛定谔方程，这个区域称为布里渊区。,简正模式的色散关系有一个重要的性质：一维时 则 当把k换成时对应的频率完全一样，不仅频率相等，而且与这两个波矢相应的原子的位移情况也一样，进一步说这两个简正模式是同一个简正模式，是代表同一个格波。,二第一布里渊区,因为 则 当波矢k平移倒易点阵矢量后所给出的简正模式是同一个模式，频率及每个原子的位移都是相同的，这两个格波是同一个格波。,当,如上图,k与k是同一列格波,是同一个简正模式,在满足周期性边界条件下，凡是波矢相差一个倒易点阵矢量 的简正模式是同一个简正模式，这样我们就可把格波的波矢限制在第一布里渊区之中，第一布里渊区以外的k总可以平移一个 后用第一布里渊区中的k来等价描述，第一布里渊区以外k只不过是第一布里渊区中的的重复和再现而已。,每一个简正模式代表一个一定频率与波矢的平面波，那么运动方程就有N个独立的简正模式解，但这些解都不代表原子的真实位移。 在点阵振动中，我们不研究原子的真实位移，因为这是毫无实际意义的。它对晶体的物理性质（如热学性质等）并没有什么贡献，而有贡献的只是存在有那些简正模式。,简单立方晶格的第一布里渊区,体心立方晶格的第一布里渊区,面心立方晶格的第一布里渊区,简单六角结构的第一布里渊区,5 布里渊区,2维方格子的布里渊区,二维正方晶格的布里渊区,二维长方晶格的布里渊区,二维六方晶格的十个布里渊区,面心立方晶格的第一布里渊区,面心立方晶格的第一布里渊区,主要对称轴：,：X轴，四度旋转轴，,波矢取值， 01；,：L轴，三度旋转轴，,波矢取值， 0,1/2；,：K轴，二度旋转轴，,波矢取值， 0,3/4。,体心立方晶格的第一布里渊区,体心立方晶格的倒格子是面心立方格子。本图中用实心圆点标出了倒格点。在倒空间中画出它的第一布里渊区。如果正格子体心立方体的边长是a，则倒格子为边长等于4/a的面心立方。,主要的对称点：,： ；H： ；,P： ；N：,6 紧束缚方法,紧束缚方法 (tight-binding，TB) 第一次由 Bloch在1929年提出，其中心思想就是用原子轨道的线性组合 (LCAO) 来作为一组基函数，由此而求解固体的薛定谔方程。这个方法是基于这样的物理图像，即认为固体中的电子态与其组成的自由原子差别不大。紧束缚方法在绝缘体的能带结构研究中是很成功的。由于原子轨道处于不同的格点上，由它们组成的基函数一般是非正交的。因此必然会遇到多中心积分的计算问题，而且本征方程形式也不简便。,考虑固体中单电子的薛定谔方程：,式中哈密顿量的第一项是电子的动能，第二项是晶体势场；,是第,n,个能带且具有动量,k,的能级；,晶体势场可以表述为原子势场,这里,是晶格矢量，,是第,l,个原胞中第,a,个原子的位矢。,的线性叠加，即,描述固体中电子的波函数。,波函数,可用LCAO的基矢,来展开,第,l,个原胞中第a个原子的第,j,个轨道，N是单位体积的晶格数目。,由原子轨道线性组合：,这里的布洛赫函数,式中,一般是非正交的。,是线性组合参数，由解本征问题而得到。,定义,上式则可简化成,这里,为哈密顿量的矩阵元，,为原子轨道交叠积分。,7 正交化平面波 赝势,和芯态,的波函数，满足：,和,如果用,和,分别表示晶体哈密顿算符H的精确的价态,是真正的晶体芯态波函数。正交化平面波中的平面波现被,取代。,用类似正交化平面波方法构造晶体价态波函数,作,，可得系数,现将,作用于,上，有,就有,将哈密顿算符写成,就是赝势，上式就是赝波函数满足的方程。,如果令,则形式上就给出,赝势是核的库仑吸引势,V,加上一个短程的、非厄米的排斥势 ，两项之和使总的势减弱，变得比较平坦。对这样的赝系统，用平面波展开赝波函数可以很快收敛。值得指出的是，虽然 是赝波函数，但由此得到的能量并非“赝能量”，而是相应于真实晶体波函数真实价态的本征能量 。,赝势是非局域的，可以表示成局域的,和非局域的,两项之和：,如果考虑原子球对称性，利用球谐函数，赝势的非局域部分为,一般,多取成径向为局域的，即,角部分为非局域的，这样非局域赝势的径向部分仅与轨道量子数,l,有关，,8 电子的平均速度 平均加速度和有效质量,一晶体中电子的平均速度,在量子力学中晶体中布洛赫电子的运动由波包来描述。所谓波包由空间分布在r,0,附近的,r范围内，波矢取值在 附近的,k范围内的布洛赫电子态组成，,r,k必须满足不确定关系。一般,k必须小于第一布里渊区的线度，这样,r必须远大于晶体原胞的线度，只能在这个线度内，布洛赫电子可以看作经典粒子。,在晶体中，用布洛赫波函数组成波包，以一维情况为例：,其中,积分可得：,相应的几率分布为：,由此可知波包的中心位置在,波包中心移动的速度为：,在三维情况下，波包的中心位置为：,波包运动的速度为：,二布洛赫电子的准动量,布洛赫电子能量,E,(,k,),的改变，应该等于外力所作的功。,代入布洛赫电子速度的表达式得：,在平行于布洛赫电子速度的方向上：,外力与速度垂直时，外力不作功，电子的能量不改变，电子在等能面上运动。,由布洛赫电子准经典运动的速度公式和作用力公式,三,电子的平均加速度和有效质量,对一维情况有：,定义有效质量为,对于三维情况，有效质量为一二阶张量：,讨论：,1. Bloch电子在外场力作用下，运动规律形式上遵守牛顿定律，只是把m用有效质量,代替；,2有效质量,此时，Bloch电子的加速度与外场力方向可以不一致。例如：设F外kxF外kyF外kz，但各 不等,则 不等。,为张量，一般情况下,3一维情况,为标量，但标量并不等于是常量，m*也与能带结构有关。,4仍以一维情况为例。设m为电子的惯性质量，F,L,为电子所受到的晶格场力；F外为电子所受到的晶体以外产生的场所施加的力。dv/dt1/mF1/m（F,外,F,L,）与dv/dt1/m*F外比较，显然F,L,的影响包含m*中去了。比较可得,11 导体 半导体和绝缘体,一满带,根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态,k,在,k,空间量子态的密度为 ，V为晶体体积。每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N。N为原胞数。考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2N个电子。简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。,由于布洛赫电子的能量在k空间具有反演对称性，即,因此布洛赫电子在k空间是对称分布的。在同一能带中k和 - k态具有相反的速度：,在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流 ，但是k和 - k态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。,即使有外加电场或磁场，也不改变k和-k态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k和-k态电子贡献的电流始终正好相互抵销。因此满带电子不导电。,二不满能带,部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k空间对称分布，k和-k态电子贡献的电流始终正好相互抵销。但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在k空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。,三导体 半导体和绝缘体,在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。由于满带不产生电流，尽管晶体中存在很多电子，无论有无外场力存在，晶体中都没有电流。,在导体中，部分填满能带（通常也称为导带）中的电子在外场中将产生电流。,本征半导体和绝缘体的能带填充情况是相同的，只有满带和空带，它们之间的差别只是价带和导带之间的能带隙（band gap）宽度不同，本征半导体的能隙较小，绝缘体的能隙较大。本征半导体由于热激发，少数价带顶的电子可能激发到导带底，在价带顶造成空穴，同时在导带底出现传导电子，产生所谓本征导电。,四空穴,在有外加电磁场时，近满带的电流变化，如同一个带正电荷q、具有正有效质量 粒子的电流。这个假想的粒子称为空穴。,和速度,假设满带中只有一个量子态k上缺少一个电子，设I(k) 表示近满带的总电流，假如放上一个电子使能带变成满带，这个电子贡献的电流为,而且,或,上式表明近满带的总电流如同一个速度为空状态k的电子速度,、带正电荷q的粒子引起的电流。,存在外加电磁场时，假如在空态k放上一个电子使能带变成满带，满带电流仍然保持为零。在任何时刻有：,大括号内恰好是一个正电荷q在电磁场中受的力。价带顶电子的有效质量,为负值。,