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单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,探索之旅,奥数专题6：容斥问题,容斥问题,问题1：,问题2：,注意点：,1、什么是容斥问题,2、容斥原理,容斥原理的进阶练习,基础 详解：什么是容斥问题,探索之旅,容斥问题,容,包括,斥,排除,6,6,1=11,（人）,答：共有,11,人。,排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第,6,，这一排共有几个人？,洗好的,8,块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？,82,7=9,（个）,答：一共要,9,个夹子。,容斥问题,即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。,容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类，那么具有性质,1,或性质,2,的事物个数等于性质,1,性质,2,减去它们的共同性质。,例：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有,24,人，会弹电子琴的有,17,人，其中两种乐器都会演奏的有,8,人。这个文艺组一共有多少人？,拉手风琴的人数：,24,人,弹电子琴的人数：,17,人,两种都会弹的人数：,8,人,？人,24,17,8=33,（人）,答：一共有,33,人。,容斥原理：,1,、找分的类：,2,类,找,1,、,2,类共有的,2,、,2,类的总个数等于,2,类的和减去它们的共有的。,五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有,65,人，数学优秀的有,87,人。语文、数学都优秀的有,30,人，问五年级一共有多少人？,语文优秀的人数：,65,人,数学优秀的人数：,87,人,两科都优秀的人数：,30,？人,65,87,30=122,（人）,答：五年级一共有,122,人。,四（一）班学生参加数学小组和科技小组，每个学生至少参加一个小组，有,25,人参加数学小组，,23,人参加科技小组，有,19,人两个小组都参加了。那么四（一）班一共有多少人？,25,23,19=29,（人）,答：一共有,29,人。,例：一班有,48,人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手”有,37,人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手”有,42,人举人，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？,做完语文的人数：,37,人,做完数学的人数：,42,人,两科做完的人数：？,48,人,37,42,48=31,（人）,答：这个班语文、数学作业都做完的人数是,31,人。,想：,五年级有,122,名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有,65,人，数学优秀的有,87,人。语文、数学都优秀的有多少人？,语文优秀的人数：,65,人,数学优秀的人数：,87,人,两科做完的人数：？,122,人,65,87,122=30,（人）,答：语文、数学都优秀的有,30,人。,在,1,到,100,的全部自然数中，既不是,5,的倍数，也不是,6,的倍数有多少个？,5,的倍数的个数数：,6,的倍数的个数：,30,的倍数的个数：,？个,1005=20,（个）,答：有,67,个。,不是,5,的倍数；不是,6,的倍数；不是,30,的倍数,5,的倍数的个数；,6,的倍数的个数；,30,的倍数的个数,1006=16,（个）,4,10030=3,（个）,10,20,16,3=33,（个）,100,33=67,（个）,例：,全班学生,40,人，爱好音乐的有,18,人，爱好舞蹈的有,21,，爱好美术的有,9,人，既爱好音乐又爱好舞蹈的有,3,人，既爱好音乐又爱好美术的有,1,人，但没有人这三种都爱好，也没有人都不爱好的。问有多少既爱好舞蹈又爱好美术？,18,21,9,3,1,40,=44,40,=4,（人）,答：有,4,人既爱好舞蹈又爱好美术。,某班有学生,50,人，其中,35,人会游泳，,38,人会骑自行车，,40,人会溜冰，,46,人会打乒乓。问四项活动都会的至少有多少人？,一项不会的就不符合,一项不会的尽可能的多，即考虑重复的,不会游泳的：,50,35=15,（人）,不会骑自行车的：,50,38=12,（人）,不会溜冰的：,50,40=10,（人）,不会打乒乓的：,50,46=4,（人）,四项都会的至少有：,50,（,15,12,10,4,）,=9,（人）,课后过关：,一个旅行社有,36,人，其中会英语的有,24,人，会法语的,18,人，两样都不会的有,4,人。两样都会的有多少人？,练习时间：容斥原理,探索之旅,五年级,96,名学生都订了刊物，有,64,人订了少年报，有,48,人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？,64,人,48,人,？人（两种都订的）,96,人,64+48-96=112-96=16,（人）,1,、一个班的,52,人都在做语文和数学作业，有,32,人做完了语文作业，有,35,人做完了数学作业，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？,2,、五年级有,112,人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有,65,人，数学得优的有,87,人，问语文、数学得优的有多少人？,3,、某班有,50,名学生，在一次测试中有,26,人满分，在第二次测试中有,21,人满分。如果两次测试都没有得过满分的学生有,17,人，那么，两次测试都获满分的有多少人？,某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中一种语言。已知有,35,人懂英语，有,34,人懂日语，两种语言都懂的有,21,人，这个地区有多少个外语教师？,1,、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有,900,人爱好体育活动，有,850,人爱好文娱活动，其中,260,人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？,2,、某班在一次测试中有,26,人语文获优，有,30,人数学获优，其中语文、数学双优的有,12,人，另外还有,8,人语文、数学都未获优，这个班共有多少个学生？,3,、第一小组的同学们都在两道数学思考题，做对第一题的有,15,人，做对第二题的有,10,人，两题都做对的有,7,人，两题都做错的有,2,人，第一小组一共有多少人？,612=,0.87-0.49=,1740=,1.68=,2.80.4=,14-7.4=,5.4400= 51.06= 4.30.5= 0.1450=,4=,0.1250.25= 2.56-0.37= 1.054=,1.5+0.254=,30.20.5=,0.841.60.840.6=,12.518.50.8=,口算下面各题：,在,100,个外语教师中，懂得英语的,75,人，懂日语的,45,人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师，问：只懂英语的教师有多少人？,75+45=120,（人）,120-100=20,（人）,75-20=55,（人）,答：只懂英语的教师有,55,人。,1,、,40,人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题，已知做对第一题的有,30,人，做对第二题的有,21,人，问：只做对第一题的有多少人？,巩固练习,2,、五年级,122,名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文,65,人得优，数学,78,人得优，求只有语文一门得优的人数。,3,、全班,46,名同学，仅会打乒乓球的有,28,人，会打乒乓球又会打羽毛球的有,10,人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有,6,人，仅会打羽毛球的有多少人？,例：学校开展课外活动，共有,250,人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的,83,人，参加乒乓球组的有,86,人，这两个小组都参加的有,25,人。问：这,250,名同学中，乒乓球组都不会参加的有多少人？,83+86-25=169-25=144,（人）,250-144=106,（人）,答：乒乓球组都不会参加的有,106,人。,1,、,100,位旅客中，有,70,人懂英语，有,65,人懂日语，既懂英语又懂日语的有,45,人，那么，既不懂英语又不懂日语的有多少人？,2,、五（,1,）班有学生,50,人，在一次测试中，语文,90,分以上的有,30,人，数学,90,分以上的,35,人，语文和数学都在,90,分以上的有,20,人，,90,分以下的有多少人？,3,、老师在统计考试成绩。数学得,90,分以上的有,25,人，语文得,90,分以上的有,21,人，两科中有一科有,90,分以上的有,38,人，问：两样都得,90,分以上的有多少人？,例：实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有,20,人获奖，在获奖者中有,16,人不是四年级的，有,12,人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？,1,、五一小学举行小学生田径运动会，其中,24,名运动员不是六年级的，,28,名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共,32,名，五、六年级和中低年级运动员各有几名？,2,、少年乐团学生中有,170,名不是五年级的，有,135,名不是六年级的，已知五六年级的共有,205,人，少年乐团中五六年级以外的学生共有多少人？,3,、六一儿童节同学们做小花，有,24,朵不是红色的，有,20,朵不是黄色的，已知红花和黄花一共有,18,朵，其他颜色的花一共做了多少朵？,小结：,1,2,3,容斥认识,容斥原理,进阶练习,
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