四：Matlab符号运算

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,Matlab,1,Matlab,符号运算介绍,Matlab,符号运算是通过,符号数学工具箱,（,Symbolic Math Toolbox）,来实现的。,Matlab,符号数学工具箱是建立在功能强大的,Maple,软件的基础上的，当,Matlab,进行符号运算时，它就请求,Maple,软件去计算并将结果返回给,Matlab,。,Matlab,的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算功能。主要包括：,符号表达式的运算,，,符号表达式的复合,、,化简,，,符号矩阵的运算,，,符号微积分,、,符号作图,，,符号代数方程求解,，,符号微分方程求解,等。此外，该工具箱还支持,可变精度运算,，即支持以指定的精度返回结果。,2,Matlab,符号运算特点,计算以,推理方式,进行，因此不受计算误差累积所带来的困扰。,符号计算指令的调用比较简单，与数学教科书上的公式相近。,符号计算可以给出完全正确的封闭解，或任意精度的数值解（封闭解不存在时）。,符号计算所需的运行时间相对较长。,3,Matlab,符号运算举例,求一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,= 0,的根,solve,(,a*x2+b*x+c,),求的根,f,(,x,) = (,cos,x,),2,的一次导数,x=sym,(,x,);,diff,(cos(x)2),计算,f,(,x,) =,x,2,在区间,a,b,上的定积分,syms,a b x;,int,(x2,a,b),4,在进行符号运算时，必须先定义基本的,符号对象,，可以是符号常量、符号变量、符号表达式等。符号对象是一种数据结构。,符号对象与符号表达式,含有符号对象的表达式称为,符号表达式,，,Matlab,在内部把符号表达式表示成字符串，以与数字变量或运算相区别。,符号矩阵,/,数组：元素为符号表达式的矩阵,/,数组。,5,sym,函数用来建立,单个,符号变量，一般调用格式为：,符号对象的建立：,sym,和,syms,符号对象,的建立,例：,a=sym,(a),符号变量,=,sym,(A,),参数,A,可以是一个数或数值矩阵，也可以是字符串,a,是符号变量,b,是符号常量,b=sym,(1/3),c,是符号矩阵,c=sym,(1 ab; c d),6,符号对象的建立：,sym,和,syms,符号对象,的建立,syms,命令,用来建立,多个,符号变量，一般调用格式为：,syms,符号变量,1,符号变量,2 .,符号变量,n,例：,syms,a b c,a=sym,(a,);,b=sym,(b),;,c=sym,(c),;,7,符号表达式的建立：,例：,建立符号表达式通常有以下2种方法：,(1),用,sym,函数直接建立符号表达式。,(2),使用已经定义的符号变量组成符号表达式。,y=sym,(sin(x)+cos(x),x=,sym(x);,y=,sin(x)+cos(x),符号,表达式,的建立,8,Matlab,符号运算采用的运算符和基本函数，在形状、名称和使用上，都与数值计算中的运算符和基本函数完全相同,符号对象,的,基本,运算,基本运算符,普通运算：,+,、,-,、,*,、,、,/,、,数组运算：,.*,、,.,、,./,、,.,矩阵转置：,、,.,例：,X=,sym(x11,x12;x21,x22;x31,x32);,Y=,sym(y11,y12,y13;y21,y22,y23);,Z1=X*Y,;,Z2=X,.*Y;,9,符号对象,的,基本,运算,sin、cos、tan、cot、sec、csc、,asin、acos、atan、acot、asec、acsc、,exp、,log,、log2、log10、sqrt,abs、conj、real、imag,rank、det、inv、eig,diag,、,triu,、,tril,三角函数与反三角函数、,指数函数、对数函数等,基本函数,10,符号表达式的替换,subs(f,x,a),用,a,替换字符函数,f,中的字符变量,x,a,是可以是,数,/,数值变量,/,表达式,或,字符变量,/,表达式,若,x,是一个由多个字符变量组成的,数组或矩阵,，,则,a,应该具有与,x,相同的形状的,数组或矩阵,。,用给定的,数据,替换符号表达式中的指定的,符号变量,11,subs,举例,f=sym(,2*u,);,subs(f,u,2,),f2=subs(f,u,u+2,),a=3;,subs(f2,u,a+2,),subs(f2,u,a+2,),syms,x y,f3=subs(f,u,x+y,),subs(f3,x,y,1,2,),ans=,4,f2=,2*(u+2),ans=,14,ans=,2*(a+2)+2),f3=,2*x+2*y,ans=,6,例：指出下面各条语句的输出结果,f=,2*u,12,六,类常见符号运算,因式分解、展开、合并、简化及通分等,计算极限,计算导数,计算积分,符号求和,代数方程和微分方程求解,13,因式分解,因式分解,factor,(f),sym,s,x;,f=,x6+1,;,factor,(,f,),factor,也可用于正整数的分解,s=factor,(,100,),factor,(,sym,(123456789),大整数的分解要转化成符号常量,14,函数展开,函数展开,expand,(f),sym,s,x;,f=,(x+1)6,;,expand,(,f,),多项式展开,三角函数展开,sym,s,x y;,f=,sin(x+y),;,expand,(,f,),15,合并同类项,合并同类项,collect,(f,v,):,按指定变量,v,进行,合并,collect,(f):,按,默认,变量,进行,合并,sym,s,x y;,f=,x2*y + y*x - x2 + 2*x,;,collect,(,f,),collect,(,f,y,),16,函数简化,函数简化,y=,simple,(f):,对,f,尝试多种不同的算法,进行简化,，返回其中最简短的形式,How,y=,simple,(f):,y,为,f,的,最简短形式,，,How,中记录的为简化过程中使用的方法。,f,R,HOW,2*,cos(x)2-sin(x)2,3*,cos(x)2-1,simplify,(,x+1)*x*(x-1),x3-x,combine(trig),x3+3*x2+3*x+1,(,x+1)3,factor,cos(3*acos(x),4*,x3-3*x,expand,17,函数简化,函数简化,y=,simplify,(f):,对,f,进行简化,sym,s,x;,f=,sin(x)2 + cos(x)2,;,simplify,(,f,),sym,s,c alpha beta;,f=,exp(c*log(sqrt(alpha+beta),;,simplify,(,f,),18,函数简化,举例,sym,s,c alpha beta;,f=,(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3),;,y1=simplify,(,f,),g1=simple,(,f,),g2=simple,(,g1,),多次使用,simple,可以达到最简表达。,例：简化,19,分式通分,函数简化,N,D=numden,(f):,N,为通分后的分子，,D,为通分后的分母,sym,s,x y;,f=,x/y+y/x,;,N,D=numden,(f),20,计算极限,limit(,f,x,a,),:,计算,limit(,f,a,),:,当,默认变量,趋向于,a,时的极限,limit(,f,),:,计算,a,=0,时的极限,limit(,f,x,a,right,),:,计算右极限,limit(,f,x,a,left,),:,计算左极限,例：计算 ，,sym,s,x h n;,L=limit,(,log,(x+h)-,log,(x)/h,h,0),M=limit,(1-x/n)n,n,inf),21,计算,导数,g=diff(f,v),：,求符号表达式,f,关于,v,的导数,g=diff(f),：,求符号表达式,f,关于,默认变量,的导数,g=diff(f,v,n),：,求,f,关于,v,的,n,阶导数,diff,syms,x;,f=,sin(x)+3*x2,;,g=diff,(f,x),22,计算,积分,int(,f,v,a,b,),:,计算定积分,int(,f,a,b,),:,计算关于,默认变量,的定积分,int(,f,v,),:,计算不定积分,int(,f,),:,计算关于,默认变量,的不定积分,sym,s,x;,f=,(x2+1)/(x2-2*x+2)2;,I=int,(f,x),K=int,(exp(-x2),x,0,inf),例：计算 和,23,符号求和,sym,s,n;,f=,1/n2;,S=symsum,(f,n,1,inf),S100=symsum,(f,n,1,100),symsum,(,f,v,a,b,),:,求和,symsum,(,f,a,b,),:,关于,默认变量,求和,例：计算级数 及其前,100,项的部分和,例：计算函数级数,sym,s,n x;,f=,x/n2;,S=symsum,(f,n,1,inf),24,代数方程和微分方程,求解,代数方程求解,solve(f,v),：,求方程关于指定自变量的解，,f,可以是,用字符串表示的方程,、,符号表达式,或,符号方程,；,solve,也可解方程组(包含非线性)；,得不到解析解时，给出数值解。,微分方程求解,25,其它运算,反函数,finverse(f,v),：,求,f,关于指定变量,v,的反函数,finverse(f),：,求,f,关于默认变量的反函数,sym,s,x t;,f=,x2+2*t;,g1=finverse,(f,x),g2=finverse,(f,t),例：计算函数 的反函数,26,