广义变分原理及其应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2000.3,*,1.广义变分原理及其应用,1.1 虚力原理与余能原理,1.2,泛函的变换格式,1.3,含可选参数的广义变分原理,1.4,基于Reissner,原理的混合元,1.5,放松约束的变分原理及杂交元,1,1.1 虚力原理与余能原理,1.1.1,虚位移原理和势能原理（复习）,1）,虚位移原理的虚功方程矩阵表达,W,e,=,V,F,b,T,u,d,V,+ ,S,F,s,T,u,d,S,=W,i,=,V,T,d,V,体积力虚功,表面力虚功,虚变形功,W,e,=,V,F,b,i,u,i,d,V,+ ,S,F,s,i,u,i,d,S,=W,i,=,V,ij,ij,d,V,虚功方程张量表达,2,2）,势能原理的数学表达,V,e,=,V,+,V,P,=1/2,V,ij,ij,d,V,-,V,F,b,i,u,i,d,V,-,S,F,s,i,u,i,d,S =,min,总势能,应变能,外力势能,1.1.2,虚力原理,1）,虚力原理的表述,给定位移状态协调的充分必要条件为：对一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成立（矩阵）,V,T,d,V,=,Su,(,L,),T,u,0,d,S,虚反力功,表面给定位移,虚余变形功,3,虚功方程张量表达,V,ij,ij,d,V,=,Su,ij,n,j,u,i,0,d,S,2),必要性证明,ij,=1/2(,u,i,j,+u,j,i,),=D,-1,ijkl,kl,V,：,ij,j,=0,S,：,ij,n,j,=0,已知条件 ：,=,A,T,u,=,D,-1,V,：,=0,S,：,L,=0,需证明的是：,V,ij,ij,d,V,=,Su,ij,n,j,u,i,0,d,S,或张量表达形式已知条件：,4,V,(,A,u,),T,d,V,=,S,(,L,),T,u,d,S,-,V,(,A,),T,u,d,V,1/2,V,(,u,i,j,+u,j,i,),ij,d,V,=,S,ij,n,j,u,i,d,S,-,V,ij,j,u,i,d,V,证明：利用格林公式,或张量形式格林公式,考虑到虚应力的已知自平衡条件，立即可得,V,ij,ij,d,V,=,Su,ij,n,j,u,i,0,d,S,必要性证毕,。,5,2),充分性证明,V,：,ij,j,=0,S,：,ij,n,j,=0,已知条件,：,= ,D,-1,需证明的是：应变,ij,是协调的。,或张量表达形式,ij,=,D,-1,ijkl,kl,V,ij,ij,d,V,=,Su,ij,n,j,u,i,0,d,S,V,T,d,V,=,Su,(,L,),T,u,0,d,S,V,：,A,=0,S,：,L,=0,证明 ：因为,V,：,A,=0,，所以,对任意 ,V,(,A,),T,d,V,=0,利用格林公式和已知条件可得,6,设体内三个虚剪应力任意、独立，另三个正应力满足,A,=0。,又因为,完全任意，因此可设,V,(,D,-1,-,A,T,),T,d,V,+,Su,(,L,),T,(,-,u,0,)d,S,=0,(,a,),在此条件下，式(,a,)由于虚应力的任意、独立性可得,V,:,D,-1,-,A,T,=0,S,u,：,-,u,0,=0,充分性证毕。,7,1.1.3,余能原理,和由虚位移原理导出势能原理一样，由虚力原理,V,T,d,V,=,Su,(,L,),T,u,0,d,S,可得,(1/2,V,T,d,V-,Su,(,L,),T,u,0,d,S,)=0,记,V,C,如下所示，并称为,变形体的总余能,V,C,=,1/2,V,T,d,V-,Su,(,L,),T,u,0,d,S,则由,V,C,=0可得,在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态为真实应力的充要条件是，变形体的总余能取驻值。对线弹性体，此驻值为最小值。,余能原理,8,余能原理等价于协调，表达为,V,C,=,1/2,V,ij,ij,d,V,-,Su,F,s,i,u,0,i,d,S =,min,利用格林公式，立即可证明,V,e,+,V,C,=0,1.2 泛函的变换格式（龙驭球提出）,简单来说，势能原理等价平衡，表达为,V,e,=,V,+,V,P,=1/2,V,ij,ij,d,V,-,V,F,b,i,u,i,d,V,-,S,F,s,i,u,i,d,S =,min,1.2.1 一些预备知识,1) 变量的分类,9,除泛函变量外，泛函中的其他变量称为泛函的,增广变量,。,在余能泛函,V,C,=,1/2,V,ij,ij,d,V,-,Su,F,s,i,u,0,i,d,S,中,ij,是泛函变量，其他是增广变量。,泛函中所显含的自变函数称为泛函的,泛函变量,。,在势能泛函,V,e,=,V,+,V,P,=1/2,V,ij,ij,d,V,-,V,F,b,i,u,i,d,V,-,S,F,s,i,u,i,d,S,中,u,i,是泛函变量，其他是增广变量。,10,泛函中泛函变量事先所需满足的条件，称为泛函的,强制条件,。,在余能泛函,中,ij,所需满足的平衡条件（内部和边界）即为强制条件。,V,C,=,1/2,V,ij,ij,d,V,-,Su,F,s,i,u,0,i,d,S,2) 泛函所满足的条件,在势能泛函,中,u,i,所满足的协调条件即为强制条件。,V,e,=,V,+,V,P,=1/2,V,ij,ij,d,V,-,V,F,b,i,u,i,d,V,-,S,F,s,i,u,i,d,S,11,在余能泛函,中,ij,所对应的应变应满足的协调条件为自然条件。,由返函的变分等于零所导出的条件，称为泛函的,自然条件,。,在势能泛函,中,u,i,所满足的平衡条件即为自然条件。,在泛函,中，泛函变量与增广变量间，或增广变量之间所应满足的条件称为,增广条件,。,在势能泛函,中几何方程和物理方程即为增广条件。,3) 泛函间关系的分类,12,如果广义等价的两泛函，其变量和条件均对应相同，称此两泛函为,等价,的。,两泛函所包含的全部变量、全部条件均相同，但是变量的区分不同，或变量的条件不同等，称此两泛函为,广义等价,。,如果两泛函等价，且只相差一比例系数，则称这两泛函,互等,。,1.2.2 泛函的三种变换格式,1) 泛函的放松格式拉氏乘子法（传统）,基本思路是，将强制条件用拉氏乘子引入泛函，从泛函变分判断拉氏乘子含义，并得到放松了强制条件的多自变量泛函的变换格式。,13,2) 增广格式高阶拉氏乘子法（钱伟长）,教材上介绍了从余能原理得到海林格-赖斯纳二变量广义余能原理的基本步骤，请大家按思路自行推证。只有自己动手，才能真真掌握。,基本思路是，对无条件泛函，将增广条件构造一正定二次型，再乘一待定乘子，从而得到新的增广变量变为泛函变量的无条件泛函。,请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建立的泛函是三变量的无条件泛函。,3) 等价格式龙驭球格式,基本思路是，用自然条件构造正定二次型，按增广格式建立与原泛函等价的新泛函。,14,请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建立的另一泛函也是三变量的无条件泛函。并证明当参数等于1时，将“退化”成两变量的海林格-赖斯纳泛函（差一符号）。,学习的关键在真真掌握原理、方法等的基本思路，从而以便能灵活运用它。上述各种格式的思路就是如此简单，但不亲自做一做，经验证明真真掌握它是不可能的。,4) 换元乘子法（龙驭球）,将增广变量通过增广条件引入泛函，从而增广条件成为强制条件，再用拉氏乘子法放松强制条件，将增广变量引入无条件泛函的方法。,15,1.3 含可选参数的广义变分原理,1.3.1,含可选参数的广义变分原理,1）,变分泛函的建立,从三变量无条件胡海昌-鹫津久一郎广义泛函出发，用等价格式龙驭球建立了教材上前12个正定二次型，我补充了后两个二次型，乘14个参数构成和胡-鹫广义泛函等价的新泛函。龙驭球认为参数是可以任意选取的，因此称为含任意参数的广义变分原理。,我提出并得到龙先生认同，参数不能完全任意选取，必须满足教材图示的通路关系。,2) 参数选取问题,16,从而建立了含可选参数的广义变分原理。,最基本的是结构力学中介绍的虚功原理，它是一个必要性命题，要求力状态平衡，要求位移状态协调，满足此条件恒有虚功方程成立。,虚功原理中力状态是给定的一个，虚位移是任意的，条件的改变导致结论的改变，由此得到虚位移原理。在无限分割情况下，等价于平衡条件。它是一个充分必要性命题。,1.3.2,变分原理间的相互关系,17,虚力原理也是虚功原理条件改变的结果，位移给定虚应力任意，无限分割时等价于协调条件。它也是充要条件。,由虚位移原理可导得势能原理，由虚力原理可导得余能原理（当然它们也可由定义来推导）。它们是一对对偶的原理。,从势能原理出发，用,放松格式,可得到无条件的势能原理，用,换元乘子法,可得到二变量广义余能原理、三变量的广义势能原理。,从余能原理出发，用,放松格式,可得无条件的广义余能原理，用,换元乘子法,可得到三变量的广义势能原理。,18,从二变量的广义余能原理和三变量的广义势能原理出发，用,格林公式,可分别得到二变量的广义势能原理和三变量广义余能原理。,从二变量的广义余能原理或二变量的广义势能原理出发，用,等价格式,可得到二变量含可选参数的广义变分原理，当满足特定退化条件时，将退化为无条件的势能原理。参数为零时恢复成二变量广义变分原理。,19,从三量的广义余能原理或三变量的广义势能原理出发，用,等价格式,可得到三变量含可选参数的广义变分原理，当满足特定退化条件时，将退化为二变量的含可选参数广义变分原理。参数为零时恢复成三变量广义变分原理。,上述原理间的关系，可用教材上P. 196 图6-2来表示。,如果真的掌握了有限元所学习的内容，象从势能原理出发通过构造位移场那样，合适地建立变分原理对应的场变量，即可用变分原理得到对应的有限元列式。下面简单介绍基于赖斯纳原理的混合元分析。,20,1.4 基于Reissner,原理的混合元,1.4.1 原理的使用选择,前面介绍了从余能原理获得了二变量广义余能原理如下：,用于单元时，考虑结点力作用后改为,21,由此原理出发，如有限元所述，进行有限元分析时要求构造的应力场跨单元协调、在单元应力边界上要求平衡，构造这样的变量场是困难的。为此，用格林公式作变换，得到二变量广义势能泛函如下：,用于单元时，考虑结点力作用可同样修改。当用此泛函作有限元分析时，要求位移场跨单元(C,0,级)协调，由有限元可知，这是不难做到的。因此，一般用它分析。,22,1.4.2 单元列式及说明,用上述原理作单元列式时，要建立两类变量场：位移场(,u,)和应力场(,)，位移场只要满足跨单元协调，,并不要,像位移元组装后需作约束条件处理，,使满足位移边界条件,。,设 (,u,)=(,N,)(,),e,(,)=(,)(,P,),e,代入赖斯纳原理并经数学推导后，可得教材,上(6.4-7)所示混合元性质方程。,23,式(6.4-7)中的一些矩阵分别为,有了(6.4-7)混合元性质方程，作整体组装即可获得整体性质方程。但必须注意，整体性质矩阵是奇异的，求解时必须作必要的处理。,只和(,)有关,和(,)、(,u,)有关,只和 (,u,)有关,只和(,)有关,混合元分析可直接求得应力，因此一般来说应力的精度比位移元要高。,24,混合元依据的是驻值原理，因此结果没有一致的趋向性。,赖斯纳原理包含两类场变量，这就存在必须解决它们之间合理地配合的问题。,当应力参数矩阵(,P,)相邻单元无关时，可对单元性质方程进行缩聚处理，最终可得到单元“刚度方程”，只要修改“刚度矩阵”和“等效结点荷载矩阵”，就可用位移元的计算程序来解算。,对平面和空间问题来说，位移元建立位移场并无多大困难，混合元对板壳计算更有用。,25,1.4.3 薄板弯曲的混合元,薄板弯曲理论中的广义势能泛函为,式中有关符号的说明见教材P.200。从,的表达式可见，用它进行混合元分析需要,w,具有,C,1,级连续。这将与位移元一样产生困难。,为此，需对上述泛函进行改造。,26,Herrmann,提出用分部积分和奥-高公式,对上述泛函进行改造，获得如下的Herrmann泛函（教材上有这种纯数学的具体推导）,有了广义变分泛函，和平面问题一样，设出挠度场,w,和弯矩场,M,后，代入泛函即可建立薄板弯曲的混合元性质方程。,教材上结合常弯矩三角形、线性弯矩三角形混合元介绍了一些具体列式，可供大家应用时参考。,27,1.5 放松约束的变分原理及杂交元,1.5.1 修正余能原理,前面已得到余能原理，作有限元分析时,V,C,=,1/2,V,ij,ij,d,V,-,Su,F,s,i,u,0,i,d,S,e,=,min,该泛函的强制条件为,V,e,:,ij,j,+,F,bi,=0,S,e,上,:,F,Si,-,ij,n,j,=,0,S,BL,上,: (,ij,n,j,),+,-(,ij,n,j,),-,=0,相邻界面,前面已经提到，要事先满足上述条件是困难的。为此，可利用放松格式来得到放松了边界处约束条件的修正余能原理（具体推导见教材）。,28,V,*,C,=,1/2,V,ij,ij,d,V,+,S,F,s,i,u,i,d,S,-,S,ij,n,j,u,i,d,S,e,=,min,该泛函的强制条件改为了,V,e,:,ij,j,+,F,bi,=0,S,ue,上,:,u,i,-,u,i,0,=,0,有兴趣的同学，可自学教材上修正势能原理的推证.但教材中已经指出，基于修正势能原理的杂交位移元应用较少。,必须注意的是，修正余能原理是多变量泛函，但是和赖斯纳原理不同，它在域内是单变量的，在边界上才是多变量的。,29,修正余能原理在域内是有强制条件的，放松的只是边界上的约束条件。,1.5.2 基于修正余能原理的杂交应力元,设,V,e,:,0,ij,j,+,F,bi,=0 是单元内的一个特解，又设,V,e,: ,ij,=,H,ik,P,kj,+,0,ij,，,应力参数,P,kj,和其他单元无关。,再设,S,e,:,u,i,=,N,i,i,，,将应力和位移代入修正余能原理，经单元列式推导（具体推导见教材），考虑到应力参数,P,kj,和其他单元无关，最后可得象位移元一样的“刚度”方程,k,ij,j,=,F,E,i,30,因此只要修改单元刚度、等效荷载的子程序，即可用位移元程序计算杂交应力元分析问题。,当结点受有荷载作用时，综合等效结点荷载中尚需组装直接结点荷载。,杂交应力元构造场变量时，也必须注意适当的匹配。,象位移元分析一样，对已知位移边界条件，需要进行边界条件处理。,对薄板弯曲问题，可仿此思路建立修正的变分原理，从而建立板弯曲杂交元。有兴趣的可自行参阅有关文献。,31,再次强调，本章内容,理论性很强，必须亲自,动手，才能真真掌握！,32,