直线系方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,直线的位置关系（,5,）,-,直线系问题,直线系方程的分类,直线系方程的定义,直线系方程的应用,课堂结构,一、直线系方程的定义,直线系,：,具有某种共同性质的所有直线的集合,.,它的方程叫直线系方程,。,二、直线系方程的种类,1,:,1,:,与直线,L,：,Ax+By+C=0,平行的直线系方程为：,Ax+By+m=0,（,其中,mC,，,m,为待定系数）,；,y,o,x,直线系方程的种类,2,:,2,:,与直线,L,：,Ax+By+C=0,垂直的直线系方程为,:,Bx-Ay+m,=0,（,m,为待定系数）,.,y,x,o,直线系方程的种类,3,:,3,.,过定点,P,（,x,0,，,y,0,）,的直线系方程为：,A(x-x,0,)+B(y-y,0,),0,设直线的斜率为,A(x-x,0,)+B(y-y,0,),0 (1),y-y,0,k(x-x,0,) (2),说明,:(2),比,(1),少一条直线,即,:(2),应考虑,k,不存在的情况,y,x,o,问题：,若直线,L,1,：,A,1,x+B,1,y+C,1,=0,与直线,L,2,：,A,2,x+B,2,y+C,2,=0,相交，交点为,P,（,x,0,，,y,0,），,则,过两直线的交点的直线系方程为：,m(A,1,x+B,1,y+C,1,)+n( A,2,x+B,2,y+C,2,)=0,其中,m,、,n,为待定系数,.,证明：,所以,m(A,1,x,0,+B,1,y,0,+C,1,)+n(A,2,x,0,+B,2,y,0,+C,2,)=0,直线,m(,A,1,x,0,+B,1,y,0,+C,1,)+n(A,2,x,0,+B,2,y,0,+C,2,)=0,经过点（,x,0,，,y,0,）,直线系方程的种类,4,:,4.,若直线,L,1,：,A,1,x+B,1,y+C,1,=0,与直线,L,2,：,A,2,x+B,2,y+C,2,=0,相交，交点为,P,（,x,0,，,y,0,），,则过两直线的交点的,直线系方程为,:m(A,1,x+B,1,y+C,1,)+n( A,2,x+B,2,y+C,2,)=0(1),其中,m,、,n,为待定系数,.,A,1,x+B,1,y+C,1,+k( A,2,x+B,2,y+C,2,)=0(2),其中,k,为待定系数,.,方程,(2),比,(1),少一条直线。,y,o,x,例,.,求证：无论,m,取何实数时，直线,(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0,恒过定点，,并求出定点的坐标。,解法,2,：,令,m=1,，,m= -3,代入方程，得：,解得：,解得：,所以直线恒过定点,又因为,: 3.5,(m-1)-,2.5,(m+3)-(m-11)=0,三、直线系方程的应用,:,例,1.,求证：无论,m,取何实数时，直线,(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0,恒过定点，,并求出定点的坐标。,解法,1,：,将方程变为：,解得：,即：,故直线恒过,若证明一条直线恒过定点或求一条直线必,过定点，通常有两种方法：,方法小结：,法二：从特殊到一般，先由其中的两条特,殊直线求出交点，再证明其余直线均过此,交点。,法一,:,分离系数法，即将原方程改变成：,f(x, y)+mg(x,y)=0,的形式，此式的成立与,m,的取值无关，故从而解出定点。,例,2:,求过两直线,x-2y+4=0,和,x+y-2=0,的交点，,且满足下列条件的直线,L,的方程。,(1),过点,(2, 1),(2),和直线,3x-4y+5=0,垂直。,代（,2,，,1,）入方程，得：,所以直线的方程为：,x+2y-4=0,解（,1,）：设经二直线交点的直线方程为：,例,2:,求过两直线,x-2y+4=0,和,x+y-2=0,的交点，,且满足下列条件的直线,L,的方程。,(1),过点,(2, 1),(2),和直线,3x-4y+5=0,垂直。,解得：,由已知：,故所求得方程是：,4x+3y-6=0,解（,2,）：将（,1,）中所设的方程变为：,本题采用先用直线系方程表示所,利用待定系数法来求解,.,函数或曲线类型问题中,我们都可以,这种方法称之为待定系数法,在已知,待定常数,从而最终求得问题的解,.,求直线方程,然后再列式,求出方程的,方法小结：,练 习,1,一,.,已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：,y=x,2x+3y-2=0,4x-3y-6=0,x+2y-11=0,5,若直线方程为,(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0,求证：无论,m,为何值时，所给直线恒过定点。,得,:,解得,:,所以无论,m,为何值,直线均经过定点,(4,9/2),解,:,将方程化为,:,两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程,如,:L,1,:x+2y-1=0,L,2,:x-y=0,相乘后就得,:,x,2,+xy-2y,2,-x+y=0,那么,反过来,如果已知一个二元二次方程是由,两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这,两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们,.,请看下面的例子,:,四、一个二次方程表示,两条直线的问题,:,例,3:,问,k,为何值时，方程,3x,2,+2xy-y,2,+7x-5y+k=0,表示两条直线？,解（待定系数法）：将方程化作：,设：,则,所以：,解得：,即：,k= -6,时方程表示两条直线。,1,方程,x,2,-y,2,=0,表示的图形是：,2,直线系,6x-4y+m=0,中任一条直线与直线,系,2x+3y+n=0,中的任一条直线的位置关系是,_.,练习,2,垂直,3.,方程 表示两条直线，,求,m,的取值范围。,方程应有非负根,故设,:t =,所以,0m3,解,:,