等差数列的前n项求和公式

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles-,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,等差数列的前n项求和公式,复习,1、等差数列的通项公式,2、等差数列的性质,数列a中m+n=p+q，则a,m,+a,n,=a,p,+a,q,若a,1,为首项，d为公差，则a,n,=a,1,+(n-1)d,当p=q时，m+n=2p，则a,m,+a,n,=2a,p,，称a,p,为等差中项,分析：高斯是如何很快的解出其结果的呢？,问题：,123100？,引入,首项与末项的和：1+100=101，,第2项与倒数第2项的和：2+99=101，,第3项与倒数第3项的和：3+98=101，,第50项与倒数第50项的和：50+51=101，,于是所求的和是：,高斯算法,高斯的问题，可以看成是求等差数列,1,，,2,，,3,，,，,n,，,的前,100,项的和，求,:1+2+3+4+,+n=?,如果令 S,n,=1 + 2 + 3 + . +（n-2）+（n-1）+ n,颠倒顺序得 S,n,=n+(n-1)+(n-2)+ . + 3 + 2 + 1,则,倒序相加法,将两式相加 2S,n,=（1+n）+（2+n-1）+.+（n+1）,推导,下面对等差数列前n项公式进行推导,设等差数列,a,1,a,2,a,3,它的前,n,项和是,S,n,=a,1,+a,2,+a,n-1,+,a,n (1),若把次序颠倒是,S,n,=a,n,+a,n-1,+a,2,+,a,1 (2),由,(1)+(2),得,2,S,n,=(a,1,+a,n,）,+(a,2,+a,n-1,）,+(a,3,+a,n-2,)+.,由等差数列的性质,a,1,+a,n,=a,2,+a,n-1,=a,3,+a,n-2,=,由,(1)+(2),得,2,S,n,=(a,1,+a,n,）,+(a,1,+a,n,）,+(a,1,+a,n,)+.,即,S,n,=n(a,1,+a,n,)/2,如果代入等差数列的通项公式,a,n,=a,1,+(n-1)d,，S,n,也可以用首项a,1,和公差d表示，即,S,n,=na,1,+n(n-1)d/2,所以，等差数列的前n项求和公式是,或,例题,例1,等差数列,-10,，,-6,，,-2,，,2,，,前多少项的和是,54,？,例2,已知一个等差数列a,n,的前10项的和是310，前20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式,例3,求集合,M=m|m=7n, n,是正整数,且,m100,的元素个数,并求这些元素的和,.,解,：,将题中的等差数列记为,an，,S,n,代表该数列的前,n,项和，则有,a1=10, d,=,6,(,10),=4,设数列的前n项和为54，即S,n,=54,根据等差数列的前n项求和公式,代入S,n,=54，a,1,=10，d=4整理得，n,2,6n27=0,解得,n,1,=9, n,2,=3(,舍去),因此，等差数列10,6,2,2，前9项的和是54.,解:,由题，等差数列的前10项和S,10,=310，前20项和S,20,=1220,根据等差数列的前n项求和公式,得,解得,a,1,=4，d=6,因此，等差数列的前n项和的公式是,将此结果代入上面的求和公式，得S,n,=4n+n(n-1),3=3n,2,+n,解:,根据题意，,由,7n100,得,n0, d0,d0,S,11,0,则求使a,n,0的n的最小值,总结,1.,推导等差数列前,n,项和公式的方法,-,倒序相加法,2.,公式的应用中的数学思想,.,-,方程、函数思想,3.,公式中五个量,a1, d, an, n, sn,已知,其中三个量，可以求其余两个,-,知三求二,作业,A组2、4、5,谢谢观赏,