矩阵论第二章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 内积空间,内积空间的定义与基本性质,主要内容：,标准正交基,欧氏空间,酉空间简介,第一节 内积空间的概念,Hermite,矩阵、酉矩阵,定义,2,：对于复矩阵 定义其共轭矩阵为 。,其中 是 的共轭复数。,当 为实数矩阵时， 。,共轭矩阵具有如下性质：,1,；,2,；,3,；,4,；,5,；,6,当 为方阵时， ；,7,当 为可逆时， 亦可逆，并且 。,的共轭转置矩阵记为 ，即,性质：,定义,3,：,如果方阵 满足 ，则称 为一个厄米特,Hermite,矩阵，简称,H,矩阵。, 阶矩阵 为,H,矩阵的充要条件是,；, 亦即 ；, 实,H,矩阵即实对称矩阵。,H,矩阵具有如下性质：,1,若 为,H,矩阵，则 为实数；,2,若 为,H,矩阵， 为任意实数，则 仍为,H,矩阵；,3,若 为,H,矩阵，则 ， ， ，,(,的伴随矩,阵,),都是,H,矩阵，当 可逆时， 也是,H,矩,阵；,4,若,均为 阶,H,矩阵，则 也是,H,矩,阵。,定义,5,：如果 阶复矩阵 ，若 ，,正规矩阵。 ，则,记为,U,矩阵。,U,矩阵都是可逆矩阵，实数域上的,U,矩阵就,是正交矩阵。,对于 阶复矩阵 ，下述四个条件等价：,1),为,U,矩阵 ；,2),；,3),；,4),。,则称,是,若,是酉矩阵。,此时称,为一个,内积空间,。,对于,中任意,都有,中唯一的数,与之对应，,如果在,上还定义了一种叫内积的运算：,设,是数域,上的线性空间，,定义,1,：,向量,记为,并且这种内积运算还具有如下性质：,，,对于任意的,及任意的,有：,则,构成一个内积空间。,对于,中元素,例,2,：,设,是,例,1,：,对于复数域上的线性空间,若规定向量,的内积为：,则,是一个复数域上的内积空间。,区间上全体实连续函数对于函,数加法与数乘所构成的实数域上的线性空间，,定义内积,则,构成一个内积空间。,例,3,：,设,是,阶正定,H-,矩阵，,对于复线性空间,中的任意向量,若规定内积为：,内积的四条规定可推出如下性质：,1,2,3,4,对于内积空间,中的向量,5,6,7,定义,2,：,定义它的长度为：,关于向量长度，,有下面性质：,8,则,是,经单位化得到的单位向量。,长度为,1,的向量称为,单位向量,，,任何非零向量,都可以单位化，,即令,定理,1,：,cauchy,schwarz,不等式,对于内积,空间中任意向量,有,并且，,等号成立的,线性相关。,9,（三角不等式）对,向量,，有,证明：,定义,3,：,在内积空间中如果两向量,的内积,为零，,则称,正交或垂直，,记作,向量与任何向量都是正交的）。,（规定零,10,（勾股定理）对于内积空间中的向量,若,则有,定义,4,：,内积空间中两向量,的距离定义为：,标准正交基,定义,5,：,在内积空间中，,由两两正交的一些非,零向量组成的向量组称为一个正交向量组，,简称,正交组,。,（正交向量组是线性无关的）。,定义,6,：,每个向量都是单位向量的正交组称为,一个标准正交组或单位正交组。,定义,7,：,在内积空间中，,基称为正交基；,由正交向量组组成的,标准正交基,。,由标准正交组组成的基称为,维内积空间的,个向量,标准正交基,注：,构成,利用施密特,schmidt,标准正交化过程可以从,出发，,一个已知线性无关向量组,得到一,个与之等价的标准正交组。,正交化：,令,设,因,，,定理,2,：,维内积空间必有标准正交基。,易知,与,等价，,，,有,与,等价。,单位化：,令,则,为与,等价的标准正交向量组。,对于,中两个向量：,是,的一组基，,设,是,维欧氏空间，,第二节 欧氏空间,定义,8,：,实数域上的内积空间称为欧几里得,Euclid,空间，,简称欧氏空间。,由于欧氏空间是,实数域上的内积空间，,因而内积的共轭对称性,就成了对称性。,显然,于是,由性质，知：,令：,为一个实对称矩阵，,向量,内积可表示为,这里,分别是,的坐标，,称,为在基,下的,度量矩阵,。,从而知,为正定矩阵。,则,是,中非零向量，,为任一非零实,元数组，,是,的一,设,是,维欧氏空间，,定理,3,：,欧氏空间在一组基下的度量矩阵都,是正定矩阵。,证明：,的一组基，,是该基下的度量矩阵。,称矩阵,正定，,为证明实对,只须证明实二次型,正定，,设,令,于是,可见,为正定二次型，,维欧氏空间,的一组基为标准正交,基,定理,4,：,的充要条件是在该基下的度量矩阵为单位矩阵。,定理,5,：,欧氏空间两组标准正交基间的变换矩,阵（过渡矩阵）必是正交矩阵。,证明：,设,都是标准正交基，,且有,若,P,按列分块为：,则,在基,之下的坐标，,于是,这说明,P,是正交矩阵。,则称,为,如果欧氏空间,的非空子集,定理,6,：,在欧氏空间中，,若,为标准正,交基，,P,为正交矩阵，,且,则,也是标准正交基。,证明：,沿用定理,5,证明中的记法，,则有：,这说明,为一组标准正交基。,定义,9,：,对于,的已有运算也构成一个欧氏空间，,的欧氏子空间。,则称,是,如果有,的子空间,使得,对于欧氏空间,的子空间,则称,与,是正交的子空间，,设,是欧氏空间,的两个子空间，,如果对于,中任意向量,及,中任意向量,，,定义,10,：,都有：,记为,定义,11,：,并且,的正交补空间，,简称正交补，,并记,互为正交补的两个子空间的和必是直和,再用施密特正交化过程求出,的一组正交基,将它扩充为,的基,为,设,为非平凡子空间。,如果,是平凡子空间，,对于,维欧式空间,的任一子空间,则,与,互为正交补。,是,维欧氏空间的正交基，,例,1,：,设,若令,定义,12,：,必有正交补,使,证明：,结论显然成立。,设,的一组基,），,（此时,如果对于,中任意向量,定义,13,：,则称,为一个,正交变换,。,设,是欧氏空间,上的线性变换，,显然,由例,2,即知,并且,都有：,正交变换是欧氏空间中保持内积的线性变换。,量,4,）,保持向量长度，即对,中任意一个向,总有,把标准正交基化为标准正交基，,即若,是,的一组标准正交基，,2,）,1,）,是正交变换；,定理,8,：,设,是 维欧氏空间,的线性变换，,则如下几个条件等价：,则,也必是,的一组标准正,交基；,3,）,在标准正交基下的矩阵是正交矩阵。,故,也是,的标准正交基。,因,为正交变换，,是,的一组标准正交基，,证明：,设,则,便知,设,是,的标准正交基，,并设,即,由,2,）知,也是,的标准正交基，,按定理,5,，,必是正交矩阵。,设,是,的一组标准正交基，,是,中向量，,它在基,下的坐标为,再设,在基,下的矩阵为,于是,在基,下的坐标为,又因,为正交矩阵，,便有,即知,对,向量,由于,保持长度，,便有,（,7,）式即,利用（,5,），（,6,）可得,可见,为正交变换。,定义,14,：,设,是欧氏空间,的一个线性变换，,如果对于,中任意向量,总有,则称,是一个对称变换。,定理,9,：,维欧氏空间,的线性变换,换的充要条件为：,是对称变,在标准正交基下的矩阵是对,称矩阵。,证明：,设,是,的一组标准正交基，,在该基下的矩阵为,必要性：,根据假设有：,于是,便有,所以,为对称矩阵。,由,为对称变换知,充分性：,若,为对称矩阵，,即,对于,中任意向量,设它们在基,下的坐标分别为,则,在基,下的坐标分别为,于是,因此,为对称变换。,定理,10,：,若,是,维欧氏空间,上的对称变换，,则必有,的标准正交基，,使,在该基下的矩阵为,对角矩阵。,证明：,任取,的一组标准正交基,设,在该基下的矩阵为,由定理,9,知,为实对称矩阵，,于是存在正交矩阵,使,令,由定理,6,知,是标准正交基，,在基,下的矩阵是对角矩阵,定义,15,：,复数域上的内积空间称为酉空间。,定义,16,：,设,是,维酉空间，,是,组基，,的一,令,则称,阶矩阵,为在基,矩阵。,下的度量,如果,中向量,的坐标分别为,则有,定理,11,：,维酉空间在任一基下的度量矩阵,都是正定的,H-,矩阵。,第,3,节,酉空间的定义及性质,定理,12,：,维酉空间,充要条件是在该基下的度量矩阵为单位矩阵。,的一组基为标准正交基的,定理,13,：,维酉空间中的两组标准正交基间的变,换矩阵（过渡矩阵）必是,U-,矩阵。,定理,14,：,若,为酉空间,的标准正交基，,为,U,-,矩阵，,且,则,也是,的标准正交基。,定理,15,：,对于,维酉空间,的任一子空间,必有正交补,使,定义,17,：,设,是酉空间,上的线性变换，,如果,中任意向量,对于,都有,则称,为一个,酉变换,。,定理,16,：,设,是,维酉空间的线性变换，,则如下,个条件等价：,是酉变换；,把标准正交基化为标准正交基；,在标准正交基下的矩阵是,U-,矩阵；,4,）对,定义,18,：,设,是酉空间,的线性变换，,且对,中任意向量,总有,则称,为,的一个,Hermite,变换，,简称,H-,变换或称酉对,称变换。,定理,17,：,维酉空间,的线性变换,的充要条件是,在标准正交基下的矩阵为,H-,矩阵。,为,H,-,变换,定理,18,：,设,是,维酉空间,的,H,-,变换，,则必有,的某组标准正交基，,使,角矩阵。,在该基下的矩阵为对,第,4,节 矩阵的相似对角化,