导数的实际应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导数的实际应用,例,1,：,在边长为,a,cm,的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起,(,如图,),，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？,解：设小正方形边长为,x cm,，则箱子容积,所以,令,解得,x,1,=,a,，,x,2,=,a,（舍去），,在区间,(0,，,a,),内，且当,0,x,0,，当,a,x,a,时，,V, (,x,)0),，,所以,f,(,x,)=,kx,(,d,2,x,2,),，,0,x,d,，,在开区间,(0,，,d,),内，,令,f,(,x,)=,k,(,d,2,3,x,2,)=0,，,解得,x,=,d,，,其中负根没有意义，舍去,.,当,0,x,0,，当,d,x,d,时，,f, (,x,)0,，,因此在区间,(0,，,d,),内只有一个极大值点,x,=,d,，所以,f,(,x,),在,x,=,d,取得最大值，,这就是横梁强度的最大值，,这时,即当宽为,d,，高为 时，横梁的强度最大。,练习,2,如图，已知电源的电动势为,，内电阻为,r,，问当外电阻取什么值时，输出的功率最大？,解：由欧姆定律得电流强度,在负载电路上的输出功率是,P,=,P,(,R,)=,I,2,R,=,实验表明，当,，,r,一定时，输出功率由负载电阻,R,的大小决定，,当,R,很小时，电源的功率大都消耗在内阻,r,上，输出的功率可以变的很小；,R,很大时，电路中的电流强度很小，输出的功率也会变的很小，因此,R,一定有一个适当的数值，使输出的功率最大。,令,即 ，解得,R,=,r,，,因此，当,R,=,r,时，输出的功率最大。,练习,3,圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？,解：设圆柱的高为,h,，底半径为,R,，则表面积,S,=2,Rh,+2,R,2,由,V,=,R,2,h,，得,则,S,(,R,)=2,R,+2,R,2,= +2,R,2,令,解得,R,=,从而,h,=,即,h,=2,R,， 因为,S,(,R,),只有一个极值，所以它是最小值,答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省,已知某商品生产成本,C,与产量,q,的函数关系式为,C,=100+4,q,，价格,p,与产量,q,的函数关系式为求产量,q,为何值时，利润,L,最大？,解：收入,利润,(0,q,100),令,L,=0 ,即,求得唯一的极值点,q,=84.,答：产量为,q,=84,时，利润,L,最大,1,、实际问题中的应用,.,在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的,最大,(,小,),值的问题,.,建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路,.,在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域,.,在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情形,如果函数在这个点有极大,(,小,),值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大,(,小,),值,.,这里所说的也适用于开区间或无穷区间,.,满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”,.,3,、求最大（最小）值应用题的一般方法,(1),分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。,(2),确定函数定义域，并求出极值点。,(3),比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点。,2,、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来。,首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。,其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题,再解。,