平面任意力系00

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,平面任意力系,9/21/2024,1,平面任意力系,主要内容,平面任意力系向作用面内一点简化,平面任意力系的平衡条件与平衡方程,物体系的平衡 静定与静不定问题,平面简单桁架的内力计算,9/21/2024,2,平面任意力系,作用于物体上的力都处于（或近似处于）同一平面内，作用线呈任意分布的力系。,当物体所受的力对称于某一平面时，可以简化为对称平面内的平面力系。,3-1 平面任意力系向一点简化,9/21/2024,3,1.力的平移定理,可以将作用于刚体上,A,点的力,F,平行移动到任一点,O,，但是必须同时附加一个力偶，附加力偶的矩等于原来的力,F,对新作用点,O,的矩，即,M,O,(,F,),=,Fd,一个力,分解,一个力和一个力偶,合成,3-1 平面任意力系向一点简化,9/21/2024,4,O,F,O,F,M,O,利用该定理解释一些工程中的力学现象,9/21/2024,5,2.平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩,简化结果,平面汇交力系和平面力偶系,一个力（,主矢,）和一个力偶（,主矩,）,9/21/2024,6,简化结果,主矢和主矩,主矢力系中各力的矢量和,主矩力系中各力对简化中心之矩的代数和。,主矩与简化中心位置有关。,主矢与简化中心位置无关。,O,F,1,F,2,F,n,x,y,O,j,i,M,1,M,2,M,n,F,n,F,2,F,1,F,R,M,O,x,y,O,j,i,9/21/2024,7,其中：,x,i,、,y,i,是力,F,i,作用点的坐标,主矢和主矩的解析表达式,9/21/2024,8,合力矩定理平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和，即,9/21/2024,9,固定端约束,A,M,A,F,A,A,M,A,F,Ax,F,Ay,A,9/21/2024,10,(1) 平面任意力系简化为一个力偶, 主矢不为零，主矩为零，即,(2) 平面任意力系简化为一个合力,此时主矩与简化中心位置无关。,主矢为零，主矩不为零，即,合力的作用线通过简化中心。,3、平面任意力系的简化结果分析,9/21/2024,11,(2) 平面任意力系简化为一个合力, 主矢与主矩均不为零，即,合力作用线与简化中心的距离,d,为：,F,R,M,O,O,O,F,R,d,O,O,F,R,F,R,d,O,O,F,R,9/21/2024,12,（3）平面任意力系平衡,主矢与主矩均为零，即,平面任意力系平衡的必要和充分条件：,力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。,9/21/2024,13,3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,平面任意力系平衡的解析条件各力在两个任选坐标轴上的的投影的代数和分别为零；各力对于任一点之矩的代数和也等于零。,平面任意力系平衡的必要和充分条件,力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。,9/21/2024,14,平面任意力系的平衡方程,平面任意力系平衡的解析条件各力在两个任选坐标轴上的的投影的代数和分别为零；各力对于任一点之矩的代数和也等于零。,9/21/2024,15,平面任意力系平衡方程的其它两种形式,（1）二矩式平衡方程,x,轴不得垂直于,A、B,两点的连线,F,R,A,B,x,9/21/2024,16,平面任意力系平衡方程的其它两种形式,（2）三矩式平衡方程,A、B、C,三点不得共线,F,R,A,B,C,9/21/2024,17,【例1】水平梁,AB,长,l,，受三角形分布的载荷作用，载荷的最大值为,q,。求合力的大小以及作用线的位置。,【解】（1）求合力,则合力为,距,A,端,x,处取微段,dx,，,其上的作用力为,其中,A,B,x,q,F,R,h,x,dx,l,q,（2）求合力作用线位置,由合力矩定理，有,设,F,R,离,A,端的距离为,h,，微段,dx,上的作用力对,A,点的力矩为,9/21/2024,18,【例3】图示外伸梁,AB,的尺寸,a,已知，所受载荷有集度为,q,的均布力、力偶矩为M2,qa,2,的集中力偶和集中力F,P,3,qa,。试求,A,、,B,处的约束力。,F,P,A,B,M,q,a,a,a,【解】,考察外伸梁的平衡，受力如图所示。,F,Ax,F,Ay,F,B,力偶对任一点之矩都等于其力偶矩,M,9/21/2024,19,【例4】梁,AD,受力如图所示。,F,500,N,，,F,A,1000,N,，,q,1000,N/m,，,2000,N m,，,a,2,m,，求支座,B,、,C,的约束力。,a,a,a,F,A,A,B,M,q,F,C,D,F,Bx,F,By,F,C,【解,】以梁,AD,为研究对象，分析受力如图。,建立坐标系，列平衡方程,解得,y,x,O,9/21/2024,20,【例5】直角刚架,ABC,承受插入端约束。已知尺寸,a、b，,力,F,，力偶,M,。试求插入端约束的全部约束力。,a,b,A,B,C,F,M,【解】以直角刚架,ABC,为研究对象，受力如图。列平衡方程,F,C,y,M,C,F,C,x,约束反力偶,M,C,的方向与已知力和力偶的差有关,9/21/2024,21,【解后总结】,直角刚架实际上是在三个力偶作用下平衡。当,M,=,Fa,时，有,此时刚架在两个力偶作用下平衡。从理论上来说，插入端若换成铰链约束，刚架仍然平衡，但是这种平衡是不稳定的。当刚架受微小扰动后将绕,C,点转动。,a,b,A,B,C,F,M,F,C,y,9/21/2024,22,【例6】体重为,W,的体操运动员在吊环上做十字支撑。已知,l,、,、,d,(两肩关节间距离)、,W,1,(两臂总重)。假设手臂为匀质杆，试求肩关节受力。,9/21/2024,23,【解】首先考察人体整体平衡,再考察手臂,AB,的平衡，视关节,A,为固定端约束。,9/21/2024,24,用平衡方程定性判断受力分析的正确性,力系的平衡方程不仅用于对受力图进行未知力,(,量,),的定量计算，而且还可用于定性判断受力图的正确性。,力系的平衡方程集中体现了力系的平衡概念,。,用平衡方程定性判断受力分析正确性的过程，也是掌握或加深理解平衡概念的过程。,【解后总结】,力学模型的正确简化是力学分析至关重要的一步。,本题若是将关节,A,处简化为铰链约束，则会得到错误结果。,9/21/2024,25,1,2,3,作业,第一次,3-4，3-5b,（二选一）,3-7，3-8（二选一）,9/21/2024,26,平面任意力系平衡条件的工程应用-杠杆的平衡,图示踏板的平衡条件：,当杠杆受（任意）力系作用时，其平衡条件为：作用在杠杆上的主动力系对支点的力矩代数和等于零，即,9/21/2024,27,【,例9,】,图示铁路式起重机。当杆,OC,倾角为45时，最大起重量,P,60,kN,。杆,OC,重P,1,20,kN,。a=6,m,，b=1,m,。求起重机工作时不致翻倒的机身与平衡锤的总重量P,2,。,【解】取起重机系统为研究对象，受力如图。,A,C,B,D,P,1,P,2,45,P,15 ,b,a/2,a,O,F,NA,F,NB,此即起重机不致翻倒的最小平衡配重,当平衡重小于某一临界值时，将绕,A,点转动，此时,B,点约束反力为零。因此起重机就像以,A,为支点的杠杆。,9/21/2024,28,【讨论】（1）翻倒问题是工程中一类典型的应用问题，其实质是绕支点的杠杆平衡问题。,A,C,B,D,P,1,P,2,45,P,15 ,b,a/2,a,O,F,NA,F,NB,（2）起重机工作时不翻倒的条件：,9/21/2024,29,3-3,物体系的平衡 静定和静不定问题,1.物体系及其平衡特点,静不定问题,物体系未知量不能完全由独立平衡方程求,出的问题。未知量个数,独立平衡方程数,静定问题,物体系未知量可以完全由独立平衡方程求,出的问题。未知量个数,=,独立平衡方程数,系统整体平衡，每个物体也平衡。因此，既可以 取整体,为对象，也可以取部分或单个物体为对象。,受力图上不考虑内（约束）力。,2.静定与静不定问题,9/21/2024,30,A,B,F,P,F,B,F,A,A,B,q,l,A,B,q,l,A,B,F,P,F,B,F,A,C,F,C,静不定问题,物体系未知量不能完全由独立平衡方程求,出的问题。未知量个数,独立平衡方程数,静定问题,物体系未知量可以完全由独立平衡方程求出,的问题。未知量个数,=,独立平衡方程数。,9/21/2024,31,【解,】先以杆,AB,为研究对象，受力如图,。,F,A,F,B,将均布载荷跨梁布置，结果如何？,【例8】图示组合梁由,AB,和,BC,在B处铰接，,C,为固定端。若,M,20,kNm，q,15,kN/m,。试求,A、B、C,三处的约束力。,C,B,q,2,m,2,m,1,m,A,M,q,A,B,9/21/2024,32,C,B,M,q,A,B,F,A,F,B,再以杆,BC,为研究对象，受力如图,。,列平衡方程,F,B,M,C,F,Cx,F,Cy,C,B,M,C,B,q,2,m,2,m,1,m,A,M,9/21/2024,33,F,C,【例10】图示构架,重物重,P,10,kN,AD,DB,2,m,，,CD,DE,1.5,m,，不计摩擦及杆、滑轮的重量。求杆,BC,所受的力和杆,AB,作用于销钉,D,的力。,A,C,E,D,P,B,D,C,E,P,B,F,F,Dx,F,Dy,【解,】以杆,CE,连同滑轮、绳索和重物组成的物系为研究对象，分析受力如图。,9/21/2024,34,设滑轮半径为,R，,列平衡方程,D,C,E,P,B,F,F,Dx,F,Dy,F,C,【解后小结】（1）本题用三力矩方程求解，避免了解联立方程。（2）滑轮半径并不影响计算结果，只要其强度足够即可。,9/21/2024,35,B,P,C,E,D,K,【例11】图示构架。已知重力为,P,，,DC=CE=AC=CB=2l,；滑轮半径分别为,R，r,，且,R=2r=l，,45。试求,A,、,E,支座的约束力及,BD,杆所受的力。,R,r,F,A,F,Ex,F,Ey,【解】,先以系统整体为研究对象，分析受力如图。列平衡方程,解得,A,9/21/2024,36,B,P,C,E,D,K,C,E,D,K,R,r,F,A,F,Ex,F,Ey,再以,DE,杆为研究对象，受力如图。列平衡方程,式中,（如图）,解得,F,K,F,Ex,F,Ey,F,DB,F,Cx,F,Cy,B,P,R,F,Bx,F,By,F,K,A,9/21/2024,37,【例12】图示平衡系统，不计杆件自重以及摩擦。 已知,F、q、,M、L,。试求：（1）系统独立方程数；（2）系统未知约束力数；（3）固定端,A,处的约束力。,l,l,A,B,l,l,C,F,M,D,q,【解】,（,1）,系统独立方程数,9个；,（2）,系统独立未知约束力数,9个；,得,（,3,）首先取,DC,杆为研究对象，,受力如图，列平衡方程,C,F,M,D,F,D,F,Cx,F,Cy,9/21/2024,38,再,取,BCD,为研究对象，受力如图，列平衡方程,其中,解得,l,A,B,l,l,C,F,M,D,q,F,D,F,Bx,F,By,C,F,M,D,q,B,9/21/2024,39,最后取系统整体,为研究对象，受力如图，列平衡方程,解得,l,A,B,l,l,C,F,M,D,q,F,D,F,Ax,F,Ay,F,D,M,A,9/21/2024,40,灵活选择平衡对象，实际上是正确进行受力分析，也涉及正确判断所选平衡对象的独立平衡方程数与未知约束力个数的问题。,【解后总结】,利用力偶系的平衡概念进行平面力系的受力分析往往比较简便,刚体系统由多个刚体组成。平衡对象选择的好坏，将决定能否求出、或能否方便地求出所需结果。对刚体系统，平衡对象可以选择整体系统、单个刚体，或部分刚体的组合体。,9/21/2024,41,第二次,3-11，3-13（二选一）,3-14，3-15 （二选一）,3-7，3-8，3-9a，3-14,作业,9/21/2024,42,【例13】图示结构，已知,F,1,、,F,2,、,q，m，,求固定端,A,处的约束反力。,a,2a,3a,a,45,9/21/2024,43,【例14】图示结构由丁字梁与直梁铰接而成，自重不计。已知,P,1,2kN，,q,0.5,kN/m,，,M,5kNm,，,L,2,m,。试求：支座,C,及固定端,A,处的约束反力。,9/21/2024,44,3-4 平面简单桁架的内力计算,桁架杆件两端彼此用铰链连接而成的结构，受力后几何形状不变。理想桁架,9/21/2024,45,节点,平面桁架,平面简单桁架杆件内力的计算方法,（2）截面法,用截面假想将桁架截开，取其一部分为研究对象，求取被截杆件的内力。截面可以是平面或曲面,。,（1）节点法,逐个取节点为对象求取杆件内力。一般每个节点的未知力不超过两个。对于杆件数目较多的桁架，节点法计算量大，一般可用计算机求解。,9/21/2024,46,C,2m,2m,F,P,B,A,1,D,30,4,3,2,5,【例14】图示平面桁架。在节点,D,处受集中载荷,F,P,10,kN,的作用，求桁架各杆件所受的内力。,【解,】（1）,求支座反力,以桁架整体为研究对象，受力如图。列平衡方程,能否快速简便地求得上述约束反力？,C,2m,2m,F,P,B,A,1,D,30,4,3,2,5,F,Ay,F,By,F,Bx,9/21/2024,47,（2）依次取一个节点为对象，求各杆内力,对节点,A,列平衡方程,同理，对节点,C、D,列方程可得：,（3）判断各杆受拉还是受压，并校核计算结果,（如将力,P,作用于节点,C,，则可知,CD,杆受力为零，称为零力杆）,C,2m,2m,F,P,B,A,1,D,30,4,3,2,5,F,2,F,1,F,Ay,A,F,Ay,F,By,F,Bx,9/21/2024,48,【例15】图示平面桁架，各杆长度等于1,m,。在节点,E,上作用载荷,P,1,10kN，在节点,G,上作用载荷,P,2,7kN。试计算杆1、2 和 3 的内力。,【解,】（1）,求支座反力,以桁架整体为研究对象，受力如图。列平衡方程,F,Ay,F,By,F,Ax,C,E,F,P,1,1,D,G,3,2,P,2,A,B,9/21/2024,49,列平衡方程,（2）用假想截面将1、2、3杆截开，取桁架左半部分为研究对象。假定各杆受拉。,解得,x,C,E,F,1,P,1,A,F,2,D,F,Ax,F,Ay,F,3,y,9/21/2024,50,【例16】广告牌,CD,的支撑结构如图所示,自重不计。风载为,q,(N/m),几何尺寸如图。求1,2,3,4号杆件受力。,9/21/2024,51,【解】,选假想截面,-,将1,#,，2,#,，3,#,杆截开。取上部为研究对象，受力分析如图。,列平衡方程,解得,9/21/2024,52,再用假想截面II-II将,EK,杆、4,#,杆及,HC,杆截开。取上部为研究对象，受力如图。,由,H,节点平衡可知,解得,列平衡方程,9/21/2024,53,【例17】,K,形桁架的尺寸如图所示，已知载荷,F,P,，试求杆1，2的受力。,9/21/2024,54,【解法一】考察系统整体的平衡。,考察节点,C,的平衡,得,9/21/2024,55,用假想截面将桁架截成左、右二部分。考察左部分的平衡。,得,（压）,得,（拉）,9/21/2024,56,【解法二】首先考察系统整体的平衡，得外约束反力。,然后用“曲截面”将桁架截成左，右二部分。考察左部分平衡。,9/21/2024,57,【解后总结】,解法一比较烦复，原因是应用截面法截取桁架，只会用“直截面”，而不会用“曲截面”。所谓“直截面”就是用一条直线（或平面）来截取桁架的部分，而“曲截面”则与之相反，用的是一条曲线（或平面）。,解法一综合应用了节点法与截面法。一般来说，节点法用于求桁架的全部（或大部）杆件内力；而截面法则用于求桁架中几根（或少数）杆件的受力。但这不是绝对的。本题只求两根杆件受力，也可以综合应用节点法与截面法。,解法二中出现了“三铰拱受力形式”,9/21/2024,58,本章小结,掌握力的平移定理以及平面任意力系向一点简化的合成结果及平衡条件。了解主矢和主矩的概念。,会判断静定与静不定问题。熟练应用平面任意力系平衡方程的三种形式求解平面任意力系的平衡问题。,会应用节点法、截面法求解平面桁架杆件的内力。,选取研究对象时，一般考虑取整个系统、 子系统或单个物体，分别画出每个研究对象的受力图。,根据具体情况灵活选择平衡方程的形式以及投影轴和矩心，尽量使一个方程式中只含一个未知量。,9/21/2024,59,作业,3-19，3-20（二选一）,3-24，3-29 （二选一）,9/21/2024,60,【例题,3-18,】试判断图示桁架中的所有零力杆。,9/21/2024,61,【解法一】考察节点,C,因此整个桁架有,4,根零力杆：,1，4，7，10。,考察节点,E,考察节点,D,9/21/2024,62,【解法二】利用节点法求得1，4，7，10为零力杆，同上,。,因此整个桁架有6根零力杆：1，4，7，10，11，13。,求得,F,R,B,，并知其沿铅垂方向,考察桁架整体平衡,求得,F,R,A,并知其也沿铅垂方向,考察节点,B,考察节点,A,9/21/2024,63,去掉零力杆后的桁架结构如图所示,9/21/2024,64,【解后总结】,桁架中的零力杆虽然不受力，但却是保持结构坚固性所必需的。因为桁架中的载荷往往是变化的。在一种载荷工况下的零力杆，在另种载荷工况下就有可能承载。如果缺少了它，就不能保证桁架的坚固性。分析桁架内力时，如首先确定其中的零力杆，对后续分析往往有利。,解法一漏掉了其它零力杆，原因是完全依靠考察节点的平衡来判断桁架的零力杆，这是不够的。,9/21/2024,65,【解后总结】,判断零力杆的方法：节点法。若在一个节点上有两根杆件，且无载荷或其它约束力作用，则此二杆均为零力杆（图,a,）；,若在一个节点上有三根杆件，且其中二杆共线，在此节点上同样无载荷或其它约束力作用，则不共线的杆必为零力杆（图,b,）。,9/21/2024,66,【例2】起重机重,P,1,= 10kN，可绕铅直轴,AB,转动，起吊的重物,P,2,= 40kN，起重机的重心,C,到转动轴的距离为1.5m，其它尺寸如图所示。求止推轴承,A,和轴承,B,处的约束力。,【解】,以起重机为研究对象，受力如图。由于对称性，主动力和约束反力在同一平面内，因此，,A,处约束力反有两个，,B,处有一个。,取图示坐标系，列平面任意力系的平衡方程：,解得,9/21/2024,67,三、平面平行力系的平衡方程,A、B,两点的连线不得与各力平行,或,y,O,x,F,1,F,2,F,3,F,n,9/21/2024,68,练习应用“曲截面”法求解平面桁架问题,【练习,1,】图示桁架的载荷,F,P,和尺寸,d,均为已知。试求杆件,FK,和,JO,的受力。,9/21/2024,69,练习应用“曲截面”法求解平面桁架问题,【练习,2,】图示桁架的截荷,F,P,和尺寸均已知。试求杆,AB,的受力。,9/21/2024,70,【练习】判断所有零力杆，画出去掉零力杆后的结构,9/21/2024,71,