平均数标准差

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,计量资料的统计描述,statistical description,1,本次课内容,一、计量资料的频数分布,二、集中趋势指标,三、离散趋势指标,四、正态分布,2,计量资料,（复习）,统计描述,（,statistical description,)：,对资料的属性、特点进行的有关叙述、显示、计算等，是统计推断的基础。,描述必须基于资料的,分布,(,distribution,)类型，主要是资料的分布特征。分布类型不同，统计指标不同。,3,分布,：数值在所研究样本（或总体）中的存在状态，通常用频数(frequency)来表示。,频数,：某变量值出现的次数（某现象发生的次数）。,4,某市1995年110名7岁男童的身高(cm）频数表,5,身高(cm),某市1995年110名7岁男童的身高分布直方图,6,频数表揭示频数的两个重要特征：,集中趋势,（central tendency):数值高低不等，但中等水平的人数最多。,离散趋势,（tendency of dispersion):数值之间参差不齐；逐渐变大（或变小）的人数渐少。向两端分散。,两方面含义：,数值大小,和,位置,。,7,集中趋势central tendency,平均数（average)：用于描述数值变量资料的集中趋势（平均水平）。,特点：简明概括，便于比较。,包括：算术平均数，几何平均数，中位数，百分位数,8,1、算术平均数（arithmetic mean),一组变量值之和除以变量值个数所得的商,简称均数。,总体均数,，样本均数 表示。,适用条件：资料成正态分布（或近似正态，或对称分布）。,计算方法：直接法，加权法,9,直接法：当样本的观察值个数不多时，将各观察值X1，X2，Xn相加再除以观察值的个数n（样本含量）即得均数。,公式：,10,加权法,weighted method,当观察值个数较多时，可先将各观察值分组归纳成,频数表,，用加权法求均数。,利用频数表，计算组中值（为本组段的下限与相邻较大组段的下限的均值），各组段频数与组中值的乘积，近似等于该组变量值之和，各乘积之和除以总频数，所得的商，就是均数。,11,加权法计算算数均数的公式,12,例题：计算算术均数,直接法：略,13,加权法,14,均数的两个重要属性：,（1）各离均差（各观察值与均数之差）的总和等于零。,（2）离均差的平方和小于各个观察值X与任何数a( )之差的平方和。,均数是一组观察值理想的代表值。,15,均数的应用：,（1）只能在合理分布的基础上，对同质事物求均数才有意义，才能反映事物的特性。,（2）均数最适用于对称分布，尤其是正态分布资料。此时，均数位于分布的中央，能反映观察值的集中趋势。,16,2、几何均数geometric mean G,将n个观察值的乘积再开n次方的方根（或各观察值对数值均值的反对数）。,适用条件：,（1）观察值为非对称分布，差距较大，用算术均数表示其平均水平会受少数特大或特小值影响；,17,（2）数值按大小顺序排列后，各观察值呈倍数关系或近似倍数关系。,如：抗体滴度，药物效价等,几何均数是算数均数的近似值。,18,直接法:当观察例数不多时采用。,加权法：观察例数多时采用。,19,为什么滴度资料的几何均数需校正？,假设有13人接种疫苗后抗体滴度为：1/20，1/20，1/40， 1/40 ， 1/40 ，1/80， 1/80， 1/80， 1/80， 1/80， 1/80， 1/160，1/320,可以证明，这种取下限值的计算，会使得到的几何均数偏小，即：几何均数在取反对数之前偏小半个组距（在作d倍稀释时就是1/2lgd）。,20,几何均数的应用,：,（1）常用于等比级数资料，滴度，效价，卫生事业平均发展速度，人口几何增长，对数正态分布资料；,（2）观察值不能有0；,（3）观察值不能同时有正值和负值。,（4）同一组资料求得的几何均数小于算术均数。,21,几何均数的计算,3，4，5，6，17，,算数均数：,几何均数：,22,3 、中位数（median, M) ：,位于中间位置上的数值。,把一组观察值，按大小顺序排列，位置居中的变量值（奇数个）或位置居中的两个变量值的均值（偶数个）。是位置指标，以中位数为界，将观察值分为两半，有一半比它大，一般比它小。,23,中位数适用于：,（1）资料偏态分布；,（2）两端无确定数值；,（3）资料分布不清楚；,潜伏期，毒物测定值等用中位数表示其集中趋势。,24,中位数的算法：未分组资料，依变量个数定。,25,分组资料，用下公式。,L:中位数所在组的下限,W:中位数所在组的宽度,f:中位数所在组的频数（例数）,n:总频数,C:中位数所在组的前一组的累计频数,26,中位数常用于描述,偏态分布资料的集中趋势,，它反映居中位置的变量值的大小。,不受特大，特小值的影响，只受位置居中的观察值的影响，因而不够敏感。,而均数，几何均数是由全部观察值综合计算出的，敏感性好。,理论上，中位数等于算术均数。,27,例题：中位数的计算 P24,28,4、百分位数(percentile, P)：,位于某个百分位置上的数值,。,把一组数据从小到大排列，分成100等份，各等份含1%的观察值，处在分割界线上的数值，就是百分位数，P,r,表示。,29,百分位数将总体或样本的全部观察值分为两部分，理论上有r%的观察值比它小，有（100-r）%的观察值比它大。,如含量为n的样本，P,5,即表示：理论上有n5%个观察值比P,5,小，有n95%个观察值比P,5,大。,常用的百分位数：5，25，75，95 分位数。,30,百分位数频数表法计算：,Pr:百分位数；,L:该百分位数所在组段的下限；,W: 组距；,f:该百分位数所在组段的频数；,C: 小于L的各组段的累积频数；,n:样本数,中位数是特殊的百分位数。,31,图解法计算百分位数,也可用图解法:横轴:变量值;纵轴:累计百分数 p25,32,百分位数常用于描述一组资料在某百分位置上的水平和分布特征。多个百分位数结合使用，可更全面地描述总体或样本的分布特征，包括位置大小和变异度。,33,例题：百分位数的计算，P25,34,百分位数常用于确定医学正常值范围（normal range)。,医学正常值范围，不用样本观察值的极差，习惯上用包括95%正常人的界值，百分位数是数列的百分界值。,如：白细胞数的确定，过高，过低都属异常，故计算P,2.5,，P,97.5,为双侧的正常值范围。,35,如：肺活量95%正常值范围，只有过低算异常，故计算P,5,.,如：尿铅,过高为异常，故计算P,95,.,36,一般地说，分布中部的百分位数相当稳定，具有较好代表性，靠近两端的百分位数，只在样本含量足够大时，才稳定，故样本量不够大时，不应取太近两端的百分位数。,以上是集中趋势指标。,37,脑筋急转弯：请看下面数据，有问题吗？,A: 8 9 10 11 12,B: 3 7 10 13 17,两组均数都为10，但离散程度不同，B组较大。,均数只反映平均水平，不能反映离散度。,38,离散趋势tendency of dispersion,全距，四分位数间距，方差，标准差，变异系数。,全距（Range)：极大与极小值之差。全距大，资料离散程度大，但易受极端值大小的影响。样本量越大，抽到极端值的可能性越大，全距可能会越大。,故：全距不宜单独使用。,39,四分位数间距（quartile interval Q)：,将一组资料分为四等份，上四分位数P,75,和下四分位数P,25,之差，叫四分位数间距。,意义：Q越大，离散程度越大，通常用于描述偏态分布资料的离散程度。,40,优点：比全距稳定；若资料一端或两端无确切数值，只能选择Q作为离散指标。缺点：未考虑全部观察值，不能全面反映资料离散趋势。,41,方差（variance)和标准差(standard deviation SD),对总体而言，为了克服极差和四分位数间距的缺点，要描述资料的离散趋势，必须考虑到各个观察值，,离均差的平方和,是最好的指标，,42,总体方差： 样本方差：,为了消除例数的影响，其取均值，就是方差。,43,标准差：方差的平方根的正值。,总体的标准差： 样本的标准差：,自由度=n-1,44,自由度：,一组数据中可以自由取值的数据的个数。,当样本数据的个数为,n,时，若样本均值,x,确定后，只有,n,-1,个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值。,45,样本方差除以自由度，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差,2,时，它是,2,的无偏估计量.,46,样本的标准差：,47,48,x,x,2,118,13924,122,14884,98,9604,104,10816,122,14884,122,14884,686（合计）,78996（合计）,血红蛋白数据标准差的计算：,49,分组资料的标准差计算,50,方差，标准差意义：,方差，标准差越大，变异程度越大。其值越小，观察值的离散度越小，用均数反映平均水平的代表性越好。,51,了解一下：离均差平方和,是表示某变量总变异的一种形式，即：,52,关于离均差平方和的三条规则,1、原始数据加（减）一个数，离均差平方和或积和不变。,2、原始数据除以一个数，则简化计算出的离均差平方和要乘上该数的平方。,3、如将两变量之一除以一个数，则离均差积和要乘以该数；如同时另一变量也除以一个数，则离均差积和要同时乘上该两数。,53,标准差应用,（1）反映一组观察值的离散程度：,直接比较标准差：数值单位相同;,计算变异系数：数值单位不同;,54,变异系数（coefficient of variation, CV) 也称离散系数（coefficient of dispersion),标准差与均数之比用百分数表示。,公式：,55,常用于比较,度量单位不同或均数相差悬殊,的资料的变异。同时考虑了均数和标准差，更客观。,比如：身高，体重的变异比较；,56,（2）估计变量值的频数分布,正态曲线，正态分布,normal distribution,正态分布,标准正态分布,面积,(或概率), -1 +1 ,-1 +1,68.27%, 1.96 +1.96,-1.96 +1.96,95.00%, 2.58 +2.58,-2.58 +2.58,99.00%,57,（3）计算标准误,（4）估计医学正常值范围：,双侧：均数,1.96倍标准差,单侧：均数,1.645倍标准差,58,概念： 又称高斯分布。,频数分布以均数为中心，左右两侧基本对称，靠近均数两侧频数较多，离均数愈远，频数愈少，形成一个中间多，两侧逐渐减少，基本对称的分布。是一种连续型分布。,正态分布,(,normal distribution,),59,当样本量扩大，组段分细，频数分布图中的直条变窄，表现出中间高，两侧逐渐降低，并完全对称的特点；如果将各直条顶端的中点连线，就接近于一条光滑的曲线，称为正态曲线。,用N(, ),表示，其位置与均数有关，形状与标准差有关。,60,医学现象许多呈正态分布，或近似正态分布。,如：正常人的生理，生化指标变量，等。,61,高斯(Johann Carl Friedrich Gauss）,生于1777年4月30日于不伦瑞克，卒于1855年2月23日于哥廷根，德国著名数学家、天文学家、大地测量学家、物理学家。被认为是最重要的数学家，并有数学王子的美誉。,62,63,对称分布,正（右）偏分布,负（左）偏分布,几种常见的频数分布,64,正态分布之所以重要, 原因很多, 三个主要的原因:,1. 正态分布在分析上较易处理。,2. 正态分布之,p.d.f,.的图形为钟形曲线(bell-shaped curve), 再加上对称性, 使得很适合当做不少事件之机率模式。,3. 正态分布可当做不少大样本的近似分布。,概率密度函数（,p.d.f.,，,probability density function,）描述了随机变量的机率分布，为累积分布函数的导函数。,65,概率密度函数（,p.d.f.,，,probability density function,）,对于一维实随机变量,X,，任何一个满足下列条件的函数,f,X,(,x,)都可以被定义为其概率密度函数：,随机变量,X,在区间上的概率可以由其概率密度函数的,定积分,表示：,而 是,X,的累积分布函数，显然概率密度函数是它的导函数。,66,从直方图到正态曲线的过渡,67,正态分布的两个参数： , 决定了曲线的形状和位置,68,69,正态分布的密度函数（概率密度函数 probability density function, p.d.f）：,式中为均数；为标准差；为圆周率；为自然对数的底，即2.71828。以上均为常数，仅x为变量。,70,标准正态分布:,为了应用方便，常将式进行变量变换，u变换,u变换后，=0，=1，使原来的正态分布变换为标准正态分布（SND, standard normal distribution）亦称u分布。,71,标准正态分布的概率密度函数：,正态分布曲线的模拟,72,正态分布的特征和分布规律：,（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交，当x=时，曲线位于最高点。,（2）曲线关于直线x=左右对称。,（3）正态分布有两个参数:均数,标准差;标准正态的参数分别为:0, 1,（4）正态曲线在 1 ,标准正态曲线在 1处各有一个拐点,（5）正态分布的面积分布有一定规律。,73,正态曲线下面积的分布规律,正态曲线下，,横轴上一定区间的面积,等于该区间的频数发生的概率,。面积可用积分求得。,F(x)为正态变量X 的累计分布函数，反映正态曲线下，,自- 到x的面积，即左侧累计面积,。,74,统计学家已经按（4）编成了附表，标准正态分布曲线下的面积。应用时注意：,（1）当总体 ， 已知时，先计算u值，再用u值查表，得出所求区间面积占总面积的比例。如果未知，常分别用样本均数和样本标准差来估计。,（2）曲线下对称于0的区间，面积相等。如：区间（ ，-2.58）与区间（2.58， ）的面积相等。,（3）曲线下横轴上的总面积为100% 或为1。,根据后两个特征，可计算右侧累计面积。,正态分布表的用法 P545,75,单侧，双侧的概念：以均数为对称轴，只考虑低于（或高于）某值，为单侧；若关心数值可高，可低，为双侧。,76,正态分布,标准正态分布,面积,(或概率), -1_ +1 ,-1_+1,68.27%,1.96_+1.96,-1.96_+1.96,95.00%, 2.58_+2.58,-2.58_+2.58,99.00%,正态分布和标准正态分布曲线下面积分布规律,77,标准正态曲线下任意区间的面积有规律,78,（-1，1），68.27%,（-1.96，1.96），95%,（-2.58，2.58），99%,双侧概率,79,单侧概率,80,正态曲线下面积的分布规律的应用：,一、确定医学参考值范围,意义:是正常人指标测定值的波动范围，可用于划分正常，或异常。,步骤：,1、抽样 2、控制测量误差,3、取单侧或双侧 4、选定合适的百分界限,5、资料正态性检验 6、进行参考值估计,81,确定医学参考值范围常用方法：,正态分布法,对数正态分布法,百分位数法,82,95%正常值范围的估计,83,正常值范围的上下限,单侧下限,单侧上限,84,双侧界限,85,例：用正态分布法求血糖值95%的参考值范围。,解：1、求样本的,均数4.653、标准差0.401,。,2、按照,双侧,95%范围，确定参考值范围为：,3、将样本的均数、标准差数值代入计算，得出范围。,86,二、确定概率分布：,例：某市2000年110名7岁男童身高，已知均数,=119.95厘米，标准差S=4.72厘米，估计：该地7岁男童身高在110厘米以下者占该地7岁男童总数的百分数。,按：求u值，,查表（p545)：找到-2.1，上方找到0.01，二者相交处为0.0174，概率为0.0174=1.74%，即该地7岁男童身高在110厘米以下者，估计占1.74%，不到2%。,87,三、质量控制：,实验中，常以 作为上下警戒值，,以 作为上下控制值。,正态分布是很多统计方法的理论基础,88,本次课程结束，谢谢！,89,