第四节_二次型及其矩阵表示

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第六章 二次型,第四节 二次型及其矩阵表示,第五节 标准型,第七节 正定二次型,第八节 正交替换化二次型为标准形,2,观察如下多项式：,共同点：多项式中每一项都是二次的。,我们把这样的多项式称为二次型。,一二次型的概念,3,n,个变量,x,1,x,2,x,n,的二次齐,次多项式,(,其中所有系数,a,ij,是数域,P,中的数,),称为数域,P,上的一个,n,元二次型,，简称为,二次型,.,定义：,4,若,系数,a,ij,是复数，则称,f,(,x,1,x,2,x,n,),为,复二次型,.,若,系数,a,ij,是实数，则称,f,(,x,1,x,2,x,n,),为,实二次型,.,如：,是三元复二次型,说明,:,是二元实二次型,不是二次型,5,式也可以写成,令,二,.,二次型的矩阵形表示,6,称式为二次型的矩阵形式,则二次型可以写成：,也称为对称矩阵,A,的,二次型,.,对称矩阵,A,的秩,称为,二次型,f,(,x,1,x,2,x,n,),的秩,.,关系，称,A,为二次型,f,(,x,1,x,2,x,n,),的矩阵,f,A,为,对称矩阵,且,与,二次型,f,有一一对应,说明,:,注,:,二次型的矩阵是唯一的：它的主对角元是,平方项的系数,系数的一半。,7,如,则,8,例,1,：,写出二次型,的矩阵,.,解：,二次型的矩阵为,9,例,2,： 设实对称阵,求,A,对应的,二次型,.,解：,因为,A,是,3,阶方阵，所以,二次型有,3,个变量，,10,三可逆线性替换与二次型,的线性替换为,定义,:,设,11,则,即, 若,C,可逆，则称线性替换,为可逆线性替换, 若矩阵,C,是正交矩阵，则称,为,正交线性替,换，简称为,正交替换,.,(,或非退化线性替换,),简称为,可逆替换,.,12,设二次型,为可逆替换，则有,A,是对称矩阵，,也是对称矩阵,.,关 变,可逆,线性替换将二次型变成二次型,.,证：,定理,:,B,是它的矩阵。且,13,例,3,设二次型,及可逆替换,二次型,f,的矩阵为,可逆替换的矩阵为,解：,14,为所求新二次型,.,设,15,四矩阵的合同,设,A,B,是两个,n,阶方阵，如果存在可逆,矩阵,C,，使得,则称,A,与,B,是合同的,易知,若存在可逆替换把二次型,X,T,AX,化成,二次型,Y,T,BY,则,A,与,B,合同。,定义,：,合同是矩阵间的一种等价关系，满足,说明,:,反身性,对称性,传递性。,16,数域,P,上,n,元二次型能不能经过可逆替换,化成只含平方项的二次型？,而二次型只含平方,本问题也就是：,数域,P,上的,n,阶对称矩阵能不,项当且仅当它的矩阵是对角阵，因此研究的基,能合同于一个对角阵？,对于实数域上的,n,阶对称阵,A,我们已经知,道,:,存在正交矩阵,T,使得,为对角阵,本章研究的基本问题是：,即,A,合同于对角阵。,从而对于实数域,上的,n,元二,次型,存在正交替换,X=TY,把它化成只含平,方项的二次型，即,17,为,A,的全部特征值。,问题,:,对于任意数域,P,上二次型及对称矩阵,A,是否也有类似的结论？,即对于实数域上的二,替换化成只含平方项的二次型？,次型，能不能不作正交替换，而作一般的可逆,18,小结,1. 二次型,2. 二次型的矩阵：二次型与对称矩阵一一对应,3.可逆线性替换与二次型：矩阵的合同,19,21,试证：若,A,是,n,阶方阵，,n,是奇数，且满足,则,证：,n,是奇数，故有,20,23,设,A,为,n,阶方阵，,数,解：,21,45.,取何值时，方程组,无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷,多解时求方程组的一般解。,解：,方程组的系数行列式为,22,当,即,时，,方程组有唯一解,.,时，,则方程组无解,.,23,时，,方程组有无穷多解，,其一般解为,(,x,3,为自由未知量,),