光学教案451

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,光学教案45,光学教案45光学教案454.5 衍射光场的分解与傅里叶变换4 光波衍射与变换主要内容1. 衍射光场的傅里叶分解 4. 菲涅耳衍射的再讨论 2. 二维傅里叶变换的基本性质 3. 夫琅禾费衍射的再讨论 5. 干涉与衍射的区别和联系,4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换,4 光波衍射与变换,主要内容,1. 衍射光场的傅里叶分解,4. 菲涅耳衍射的再讨论,2. 二维傅里叶变换的基本性质,3. 夫琅禾费衍射的再讨论,5. 干涉与衍射的区别和联系,将波前上所有源点发射的球面次波中具有相同传播方向的成分集合在一起，便构成一束平面波。各球面子波中不同传播方向的成分分别构成不同方向的平面波分量。,这些,不同方向的平面波分量，代表着波前上包含的不同空间频率成分,。因此，,任何一个复杂单色波场的波前，都可以看作是一系列具有不同振幅和传播方向的基元单色平面波的线性叠加,。,图4.5-1 光波场的傅里叶分解,E,(,x,y,),S,z,图4.5-1 光波场的傅里叶分解,基本思想：,4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换,4 光波衍射与变换,4.5.1 衍射光场的傅里叶分解,一个任意的解析函数，可以看作是,由,一系列具有不同周期或频率的基元简谐函数的线性叠加,。,一个二维的光波场复振幅,E,(,x,y,)，也可以分解成,一系列具有不同空间频率的基元简谐波场复振幅的线性叠加,，,即,(4.5-1),expi2,p,(,ux,+,v,y,),：,沿,x,和,y,方向空间频率分别为,u,和,v,的基元简谐波的相位因子，或方向余弦为,cos,a,=,l,u,，,cos,b,=,l,v,的单色平面波相位因子。,E,(,u,v,),：,该基元平面波占整个光波场,E,(,x,y,),的权重，反映了光波场,E,(,x,y,),的空间结构特征，即光波场的空间频谱复振幅分布：,(4.5-2),4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换,4 光波衍射与变换,4.5.1 衍射光场的傅里叶分解,数学描述：,E,(,u,v,),：,E,(,x,y,),的,傅里叶变换,(4.5-3a),透过衍射屏的光波场，实际上可看作是一系列具有不同传播方向或空间频率的单色平面波分量的线性叠加。,每个平面波分量的空间取向和相对相位由其空间频率,(,u,v,),决定，振幅由权重因子,E,(,u,v,),决定。,E,(,x,y,),：,E,(,u,v,),的,逆傅里叶变换,(4.5-3b),结论：,数学意义：,4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换,4 光波衍射与变换,4.5.1 衍射光场的傅里叶分解,光波场傅里叶变换的意义,E,(,x,y,),z,E,(,u,v,),f,f ,(4.5-4),设二维函数,g,(,x, y,)和,h,(,x, y,)均为解析函数，其各自的傅里叶变换分别为,G,(,u,v,)和,H,(,u,v,)，则对于任意常数,a,和,b,，有如下性质：,(1) 线性性质,意义：,两个函数线性叠加的傅里叶变换等于各个函数傅里叶变换的线性叠加。,(2) 比例性质（尺度缩放性质）,(4.5-5),意义：,空间域的坐标比例放大，导致频率域坐标比例缩小。,4.5.2,二维傅里叶变换的基本性质,4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换,4 光波衍射与变换,(3) 相移性质,(4.5-6a),(4.5-6b),意义：,空间域的坐标平移，引起频率域的相移；空间域的相移，引起频率域的平移。,(4.5-7a),(4),微积分性质,(4.5-7b),4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换,4 光波衍射与变换,4.5.2 二维傅里叶变换的性质,意义：,光波场在空间域的总能量等于其在频率域的总能量。,(5),能量守恒性质,(4.5-8),(6),卷积性质,卷积运算的定义：,(4.5-9),卷积性质：,(4.5-10a),(4.5-10b),意义：,两个函数卷（乘）积的傅里叶变换等于其各自傅里叶变换的乘（卷）积。,4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换,4 光波衍射与变换,4.5.2 二维傅里叶变换的性质,(7) 相关性质,互相关运算的定义：,(4.5-11a),自相关运算的定义：,(4.5-11b),相关性质：,意义：,两个函数相关的傅里叶变换等于第一个函数傅里叶变换共轭与第二个函数傅里叶变换的乘积。,(4.5-12b),(4.5-12a),4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换,4 光波衍射与变换,4.5.2 二维傅里叶变换的性质,(8),共轭性质,意义：,一个函数经两次傅里叶变换后又得到函数自身，但空间坐标反转；经四次变换后还原为函数本身。,(4.5-14b),(4.5-13a),(4.5-13b),意义：,一个函数共轭的傅里叶变换等于其傅里叶变换的共轭且频率坐标反转。,(9),循环性质,(4.5-14a),4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换,4 光波衍射与变换,4.5.2 二维傅里叶变换的性质,(4.5-15),考虑夫琅禾费近似下的衍射积分式，并假设衍射屏孔径的大小与波前函数的取值范围相同，即,取,k=,2,p,/,l,，,u=x,/,l,z,，,v,=y,/,l,z,，得,(4.5-16),(4.5-17),4.5.3,夫琅禾费衍射的再讨论,4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换,4 光波衍射与变换,夫琅禾费近似下，,观察平面上的衍射光场复振幅分布正比于衍射屏透射光场复振幅的傅里叶变换。由于常数因子,-,ie,i,kz,/,l,z,并不影响衍射光场的强度分布特征，因此也可以说，,夫琅禾费衍射过程，实际上是光学系统对透过衍射屏的光波的一次傅里叶变换过程。,若以单色平面波垂直照明衍射屏，,则其衍射图样的相对光强分布，实际上就是衍射屏的傅里叶变换谱,。,结论：,夫琅禾费衍射过程中，透过衍射屏的光波场中的不同平面波分量将被透镜会聚到像方焦平面上不同点。,观察平面上衍射图样的分布，反映了衍射屏透射光场中具有不同方向平面波衍射分量的分布。,不同方向的平面波代表不同的空间频率，因此，衍射图样就是衍射屏透射光波场的空间频率分布。,利用夫琅禾费衍射过程，可实现对二维图像的傅里叶变换操作,。,能够实现夫琅禾费衍射的装置就是一个光学傅里叶变换器。,4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换,4 光波衍射与变换,4.5.3 夫琅禾费衍射的再讨论,横向平移衍射屏，只引起衍射光波产生一个相对相移，并不会改变其衍射图样的强度分布。,这就是为什么由多缝或多孔产生的衍射图样等同于单缝或单孔衍射与多光束干涉的综合效应。利用这种平移不变性，可以测量大量随机分布的微小颗粒或细丝的平均直径，而无须知道其分布的确切状态。这一原理也可以解释在有沙尘或水汽悬浮的环境下，月亮周围的光晕现象。,4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换,4 光波衍射与变换,4.5.3 夫琅禾费衍射的再讨论,本节重点,4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换,4 光波衍射与变换,1. 衍射光场的分解与傅里叶变换的关系,4. 从傅里叶变换角度看菲涅耳衍射的特点,2. 二维傅里叶变换的基本性质及物理意义,3. 从傅里叶变换角度看夫琅禾费衍射的特点,5. 干涉与衍射的区别和联系,谢谢大家！,结 语,