4.3 圆 周 运 动

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,考点,1,描述圆周运动的几个概念,学案,3,圆 周 运 动,1.,向心力是根据力的效果来命名的，在分析做圆周运动物体的受力情况时，切不可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力。,向心力既可以由一个实际力来承担，也可以由几个力的合力来承担，还可以由一个力的某一个分力来承担，在后面的题目中要灵活处理。,在力学中常见的重力、弹力、摩擦力等都可能是向心力的来源。,2.,向心力的确定,(1),确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。,(2),分析物体的受力情况，找出所有的力，沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。,1.,线速度、角速度、周期和转速都可以描述圆周运动的快慢，但意义不同，线速度描述做圆周运动的物体沿圆周运动的快慢，若比较两物体沿圆周运动的快慢，只看线速度大小即可；而角速度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。由,=2,/,T,=2,f,可知，,越大，,T,越小，,f,越大，则物体转动得越快，反之越慢。三个物理量知其中一个，另两个也就成为已知量。,2.,在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量和相等量的关系。,同轴转动的各点角速度,和转速,n,相等，而线速度,v,=,r,与半径,r,成正比。在不考虑皮带打滑的情况下，传动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度,=,v,/,r,与半径,r,成反比。,典例一,线速度,v,、角速度,及向心力速度,a,的大小关系,【,例,1】,图为一皮带传动装置，右轮的半径为,r,，,a,是它边缘上的一点，,左侧是一轮轴，大轮的半径为,4,r,，小轮的半径为,2,r,，,b,点在小轮上，,到小轮中心的距离为,r,，,c,点和,d,点分别位于小轮和大轮的边缘上，若,在传动过程中，皮带不打滑，则,( ),A.,a,点与,b,点的线速度大小相等,B.,a,点与,b,点的角速度大小相等,C.,a,点与,c,点的线速度大小相等,D.,a,点与,d,点的向心加速度大小相等,(1),两个隐含条件：两轮上与皮带接触的各点线速度大小相等；同一转轮上的各点的角速度大小相同，这是解决问题的突破口。,(2),熟练应用关系,v,=,r,，,a,=,v,2,/,r,=,2,r,=,v,是解决此类问题的关键。,C D,【,解析,】,a,、,c,两点为同皮带上的两点，速率一样，它们的线速度大小相等，选项,C,正确；,c,和,b,为同一轮轴上两点，它们的角速度相同，由线速度公式,v,=,r,可知，,c,点与,b,点线速度大小不同，故,a,点与,b,点线速度不同，选项,A,不正确；由,v,a,=,v,c,得,a,=2,c,，,b,=,c,，选项,B,不正确；由于,d,=,c,，,d,点向心加速度为,a,d,=,d,2,4,r,，,a,点的向心加速度为,a,a,=,a,2,r,=4,d,2,r,，选项,D,正确。,1,如图所示，甲、乙、丙三个轮子依,靠摩擦传动，相互之间不打滑，,其半径分别为,r,1,、,r,2,、,r,3,。若甲轮的,角速度为,1,，则丙轮的角速度为,( ),A.,r,1,1,/,r,3,B.,r,3,1,/,r,1,C.,r,3,1,/,r,2,D.,r,1,1,/,r,2,A,【,例,2】,如图所示，半径为,R,的圆板做匀速转动，当半径,OB,转到某一方向时，,在圆板中心正上方高,h,处，以平行于,OB,方向水平抛出一小球。要使小球与圆板,只碰撞一次，且落点为,B,，求小球水平抛出时的速度,v,0,及圆板转动的角速度,分别是多少？,圆周运动具有周期性，因此与圆周运动有关的部分题目的解可能具有周期性。分析该部分题目时要注意考虑周期性，把要求的解回答全面，避免出现漏解。,【,解析,】(,1),设小球做平抛运动落到,B,点的时间为,t,，则,R,=,v,0,t,h,=(1/2),gt,2,由解得：,恰好落在,B,点，则平抛运动时间,t,与周期,T,的关系是：,t,=,nT,(,n,=1,2,) ,又因为,T,=2,/,由以上各式解得：,(,n,=1,2),。,【,答案,】 (,n,=1,2.),典例二,圆周运动的周期性问题,【,答案,】,如图所示，直径为,d,的纸筒，以角速度,绕,O,轴转动，一颗子弹沿直径水平穿过圆纸筒，先后留下,a,、,b,两个弹孔，且,Oa,、,Ob,间的夹角为,，则子弹的速度为多少？,2,圆周运动的临界问题，往往发生在物体在竖直平面内的变速圆周运动问题中，中学阶段只分析物体通过最高点和最低点的情况。,(1),如图所示，是没有物体支撑的小球，在竖,直平面内做圆周运动经过最高点的情况。,注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力。,临界条件：当小球恰好能沿圆周通过最高点时，,绳子或轨道对小球没有力的作用。,mg,=,mv,2,/,R,v,临界,=,。,注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、 电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度,v,临界, 。,能过最高点的条件：,v,，当,v,时，向心力,F,向,=,mv,2,/,R,mg,，则绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。,不能过最高点的条件：,v,v,临界,= (,实际上球还没到最高点时，就脱离了轨道,),。,考点,2,圆周运动及向心力,1.,竖直平面内圆周运动的临界问题,(2),图,(a),是有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运,动经过最高点的情况。,注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生,支持力。,临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到,最高点的临界速度,v,临界,=0,。,图,(a),所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：,a.,当,v,=0,时，轻杆对小球有竖直向上的支持力,F,N,，其大小等于小球的重力，即,F,N,=,mg,。,b.,当,0,v, 时，向心力,F,向,=,mv,2,/,R,mg,，则有：,mg,-,F,N,=,mv,2,/,R,，杆对小球,的支持力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小，其取值范围是：,mg,F,N,0,。,c.,当,v,=,时，,F,向,=,mv,2,/,R,=,mg,，,F,N,=0,。,d.,当,v, 时，向心力,F,=,mv,2,/,R,mg,，杆对小球有指向圆心的拉力，有,mg,+,F,=,mv,2,/,R,，其大小随速度的增大而增大。,图,(b),中小球经过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况：,a.,当,v,=0,时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力,F,N,，其大小等于小球重力，即,F,N,=,mg,。,b.,当,0,v, 时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力,F,N,，大小随速度的增大而减小，其取值范围是,mg,F,N,0,。,c.,当,v,=,时，,F,N,=0,。,d.,当,v, 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大。,1.,解答竖直面内的圆周运动问题时，首先要搞清是绳模型还是杆模型，在最高点绳模型小球的最小速度是 ；而杆模型小球在最高点的最小速度为零，要注意根据速度的大小判断是拉力还是支持力。,2.,向心力公式,F,=,mv,2,/,R,=,m,2,R,，既适用于匀速圆周运动，又适用于变速圆周运动，对于变速圆周运动来说，式中的,v,和,是做圆周运动的物体在那一时刻的瞬时线速度和瞬时角速度。对于任何圆周运动的物体来说，将物体所受到的所有外力沿半径方向和垂直于半径方向分解后，所有在半径方向上的合力就是向心力。,(1),火车转弯问题,在平直轨道上匀速行驶的火车，所受合外力为零，在火车转弯时，什么力提,供向心力呢？在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向心力由,重力和弹力的合力提供。若轨道水平，转弯时所需向心力应由外轨对车轮的挤压,力提供，而这样对车轨会造成损坏。车速大时，容易出事故。,设车轨间距为,L,，两轨高度差为,h,，车转弯半径为,R,，质量为,M,的火车运行时,应当有多大的速度？,根据三角形边角关系知,sin,=,h,/,L,，对火车的受力情况分析得,tan,=,F,/(,Mg,),。,因为,角很小，所以,sin,tan,，故,h,/,L,=,F,/(,Mg,),，所以向心力,F,=,h,/,LMg,，又因,为,F,=,Mv,2,/,R,，所以车速 。,由于铁轨建成后,h,、,L,、,R,各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如：,(2),圆锥摆,圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动，此类模型的特点是：运动特点：物体做匀速圆周运动，物体做圆周运动的圆心在水平面内；受力特点：物体所受的重力与弹力,(,拉力或支持力,),的合力充当向心力，合力的方向是水平指向圆心的。,解此类题的关键是准确找出圆心，求出圆周运动的半径，利用合成分解法或正交分解法列牛顿定律方程求解。,情况,v,车,v,车,合力,F,与,F,向,的关系,F,F,向,不利影响,火车挤压外轨,火车挤压内轨,结果,外轨对车轮的弹力补充向心力,内轨对车轮的弹力抵消合力,2.,水平面内的圆周运动,【,例,3】,如图所示，,LMPQ,是光滑轨道，,LM,水平，长为,5.0 m,，,MPQ,是一半径为,R,=1.6 m,的,半圆，,QOM,在同一竖直线上，在恒力,F,作用下，质量,m,=1 kg,的物,体,A,由静止开始运动，当达到,M,时立即停止用力。欲使,A,刚好能通,过,Q,点，则力,F,大小为多少？,(1),正确理解,A,物体“刚好能通过,Q,点”的含义是解决本题的关键。常用来表达临界状态的词语还有“恰好”“恰能”“至少”“至多”等，同学们在审题时必须高度注意。小球沿圆弧,M,P,Q,通过最高点,Q,时，应从圆周运动的规律，即应从向心力与线速度的关系求解小球经过,Q,点的临界速度。,(2),圆周运动常与机械能守恒定律、动能定理、电荷在磁场中的偏转等知识相联系，构成综合性较强的题目。,【,解析,】,物体,A,经过,Q,点时，其受力情况如图所示。,由牛顿第二定律得,mg,+,F,N,=,mv,2,/,R,物体,A,刚好过,Q,点时有,F,N,=0,解得,v,= =4,m/s,对物体从,L,到,Q,的全过程，由动能定理得,Fx,LM,-2,mgR,=(1/2),mv,2,解得,F,=8 N,【,答案,】8 N,典例三,竖直平面内的圆周运动,【,答案,】(3/5),L,一质量为,m,的金属小球拴在长为,L,的细线下端，细线上端固定在,O,点处，在悬点,O,的正下方,P,处钉有一光滑钉子，如图所示。现将小球拉至悬线水平，然后释放。为使悬线碰到钉子后，小球能绕钉子在竖直平面内做完整的圆周运动，则,OP,的最小距离是多少？,3,【,例,4】,如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴,OO,转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为,R,和,H,，筒,内壁,A,点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为,m,的,小物块。求：,(1),当筒不转动时，物块静止在筒壁,A,点受到的摩擦力和,支持力的大小；,(2),当物块在,A,点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。,典例四,水平面内的圆周运动,【,答案,】,(1),mgH,/,mgR,/ (2) /,R,【,解析,】,(1),当筒不转动时，物块静止在筒壁,A,点时受到重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡条件得,摩擦力的大小,f,=,mg,sin,=,mgH,/,支持力的大小,F,N,=,mg,cos,=,mgR,/,(2),当物块在,A,点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁,A,点时受到重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为,，有,mg,tan,=,m,2,R,/2,由几何关系得,tan,=,H,/,R,联立以上各式解得,= /R,。,【,答案,】 (1)3.65,rad/s,(2)4,rad/s,(3),A,随圆盘一起匀速转动,，,B,离心运动,如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置着两个用细线相连的小物体,A,、,B,，它们的质量均为,m,，它们到转轴距离分别为,r,A,=20 cm,，,r,B,=30 cm,，,A,、,B,与盘面间的最大静摩擦力均为重力的,0.4,倍，试求：,(,g,取,10 m/s,2,),(1),当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度,0,；,(2),当,A,开始滑动时，圆盘的角速度,；,(3),当,A,物体即将滑动时，烧断细线，,A,、,B,状态如何？,4,