《金融工程》课件：Chapter 4 利率

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Options, Futures, and Other Derivatives 7th International Edition, Copyright John C. Hull 2008,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Options, Futures, and Other Derivatives 7th International Edition, Copyright John C. Hull 2008,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Options, Futures, and Other Derivatives 7th International Edition, Copyright John C. Hull 2008,*,第,4,章 利率,利率的种类：零息利率，平价利率,收益率曲线与债券定价,远期利率协议与利率期限结构理论简介,久期与凸性,利率曲线的曲率,4.1.,利率的种类,利率的含义,:,利率，就其表现形式来说，是指一定时期内利息额同借贷资本总额的比率。,对利率的理解,“,古典学派,”,认为，利率是资本的价格，而资本的供给和需求决定利率的变化；,凯恩斯则把利率看作是,“,使用货币的代价,”,。,马克思认为，利率是剩余价值的一部分，是借贷资本家参与剩余价值分配的一种表现形式。,利率通常由国家的中央银行控制，在美国由联邦储备委员会管理。现在，所有国家都把利率作为宏观经济调控的重要工具之一。,当经济过热、通货膨胀上升时，便提高利率、收紧信贷；当过热的经济和通货膨胀得到控制时，便会把利率适当地调低。因此，利率是重要的基本经济因素之一。,4.1.1.,国债利率,（,Treasury rates,）,投资者投资国库券或国债时所获的收益率，在各类衍生产品定价中，通常用此利率作为无风险利率,4.1.2,浮动利率,（,LIBOR,）,是指伦敦同业银行,拆出,利率，简单说，,LIBOR,是指某一个银行,A,给其他大银行,B,提供资金时所收取的利率，,银行,A,需要资金,的大银行,B1,B2,Bn,借出资金,LIBOR,LIBOR,的期限：有,1,个月，,3,个月，,6,个月及,1,年，最长为,1,年，,能够以,LIBOR,借款的银行：信用评级,AA,反过来，也可以认为，,AA,级银行向其他银行短期借款的利率，即为,LIBOR.,注,LIBOR,不完全等同于无风险利率，违约仍可能发生；,衍生产品交易员一般将,LIBOR,，而不是国债利率，作为无风险利率；,LIBID:,伦敦同业银行拆入利率,指某一银行同意其他银行以,LIBID,将资金存入自己的银行。,区别,LIBOR,与,LIBID,，主要从请求借款或贷款的主动方考虑，如,银行,A,有资金剩余，该银行希望将资金存入银行,B,，这时，银行,B,将以,LIBID,接受,A,的存款；,如果银行,A,资金短缺，且具有,AA,级，他希望从银行,B,获得贷款，那么银行,B,将以,LIBOR,将资金贷给,A,。,LIBOR,与,LIBID,也会受市场供求关系而发生变化,一般有,LIBOR,略大于,LIBID,4.1.3,再回购利率（,Repo rates,）,再回购协议,隔夜回购,期限回购,4.2.,利率的度量,引例：,P52,复利频率通常被作为利率度量的基本单位；,一年复利一次的利率总可以转换成一个以不同频率复利的等价利率，如,一年复利一次利率,10.25%,相当于年利率,10%,情形下的半年复利一次利率。,按季度复利一次与一年复利一次之间的不同，类似于长度单位的英里与公里的区别。,4.2.1,连续复利,(Page 53),Q:,在上面的引例中，如果令复利计算频率趋于无穷，那么会是什么情形呢？,假设将资金,A,投资,n,年，年利率为,R,如果,1,年计算复利,1,次，那么，,n,年后终值,为,如果,1,年计算复利,m,次，那么，,n,年后终值为,（,4.1,）,连续复利利率,：在上述（,4.1,）中，复利频率趋于无穷时，所对应的利率，称为为连续复利利率。,按连续复利利率计算，,n,年后，资金,A,变为：,Remark:,连续复利与按天计算复利所得到资产终值相对接近；,n,年后的一笔资金,B,，按利率为,R,进行贴现，其现值为,（,4.2,）,连续复利与每年,m,次复利的转换公式,假设 是连续利率， 是与之相对应的每年次复利率，则有,即是,从而可得,例,4.1 P53,例,4.2 P53,（,4.3,）,（,4.4,）,4.3.,零息利率,定义：,n,年的零息利率是指，今天投入资金，连续持有,n,年,后，所得的收益率。,特点：所有利息与本金在,n,年末一起支付给投资者，而在,n,年期满之前，不支付任何利息收益。,n,年期即期利率,=n,年期零息利率,例：,1,年后到期的面值为,1,元的零息债券，当前的价值为,0.95,元，计算持有该债券的零息利率。,4.4,债券价格,债券的理论价格等于债券持有人在将来所收取的所有现金流贴现后的总和。,设现金流为,各个现金流的贴现利率分别为,这里,i,表示第,i,笔现金流， 而表示收到该笔现金流的时间，则债券的理论价格为,注： 是年利率， 的单位是年,对债券的现金流贴现方式：,所有现金流以同一个贴现率贴现，即上述体现公式中，满足,不同现金流采用不同的贴现率贴现，,例,P54,表,4.2,4.1,债券的收益率,债券的收益率等于对所有现金流贴现并使得债券的价格与市场价格相等的贴现率。,设现金流为,债券的,市场价格为,P,那么债券的收益率,y,满足方程,注：如果债券的贴现率为常数，且理论价格等于市场价格，那么债券的收益率与贴现率相等,例，在上例中，假设债券的市场价格等于理论价格为,98.39,，那么债券的收益率,y,满足下面方程：,y,=0.0676 or 6.76%.,4.2,平价收益率,债券的平价收益率是债券价格等于面值时的债券票面利率（券息率），设债券面值为,100,，平价收益率为,c,贴现利率假设为 根据定义，债券的现金流为,为每年支付利息的次数，每次支付利息,再由平价收益率的定义，债券的理论价格等于面值，即,于是,或,例,P54,，,c,是债券的票面利息，因此平价收益率为,c,%,仍然记为,c,这样就有,如果令,c,表示票面利息，平价收益率为,c,%,仍然记为,c,则满足,或,4.5.,国库券零利息率的确定,票息剥离法：从一般的国债和国库券价格和收益为出发点来计算零息率。,引例,P55,Bond,Time to,Annual,Bond Cash,Principal,Maturity,Coupon,Price,(dollars),(years),(dollars),(dollars),100,0.25,0,97.5,100,0.50,0,94.9,100,1.00,0,90.0,100,1.50,8,96.0,100,2.00,12,101.6,第一个债券：,3,个月期限，,无券息,收益：投资,97.5$,，收益,2.5$,，,年收益率：,按季度复利计算为,按连续复利计算为,第二个债券：,6,个月期限，无券息,收益：投资,94.9$,，收益,5.1$,年收益率：,按半年复利计算,按连续复利计算,第三个债券：,1,年期限，无券息,收益：投资,90.0$,， 收益,10$,；,年收益率：,按每年复利一次计算：,10%,按,1,年期连续复利计算,第四个债券：,1.5,年期限，有券息,收益：投资,96.0$,6,个月：,4$,12,个月：,4$,1.5,年：,104$,年收益率,R,，根据定价方法，此债券的价格等于所有现金流的贴现：,6,个月的现金流,4$,应按,6,个月期限的年利率贴现,12,个月的现金流,4$,，应按,12,个月期限的年利率贴现；,1.5,年的现金流,104$,，应按,1.5,年期限的年利率,R,贴现；,期限为,1.5,年的年利率,R,应满足如下方程,：,即得到,R,= 0.10681,或,10.681%,第五个债券：,2,年期限，有券息,年收益率,R,：用类似于,1.5,年期的付息债券方法，可知，,R,应按如下方程计算：,因此，可得,2,年期的债券，其年利率为,R,=0.10808,或,10.808%,表,4.4,：由表,4-3,数据所得出的连续复利利率（,P56,）,零息年利率,(%),期限,(,年,),10.127,10.469,10.536,10.681,10.808,图,4.1,由息票剥离法得出的零息利率,实践中的应用,有时实践中并没有想要的某个期限的债券，那么相应的该期限的零息债券的年利率不能通过市场上债券的收益与价格来估计，而是用线性插值方法。,例：,P56,， 已知两个债券期限及相应的年利率如下：,2.3,年期限，年利率为,6%,2.7,年期限，年利率,6.5%,Q,：,2.5,年期限，其年利率为多少？,6.,远期利率,定义：由当前零息利率所蕴含出来的将来一定期限的利率。,例子：,P57,n,-year,Forward Rate,zero rate,for,n,th Year,Year (,n,),(% per annum),(% per annum),1,3.0,2,4.0,5.0,3,4.6,5.8,4,5.0,6.2,5,5.3,6.5,根据上表，考虑以下几种情形：,现在投资,100,元，,1,年后其值是多少？两年后其值又是多少？,一年后投资,100,元，第二年末，其值是多少？,结论：,当利率按连续复利表达时，将相互连接的时间段上的利率结合在一起，整个时段的等价利率为各个时段利率的平均值。,假设,R,1,和,R,2,分别是对应期限,T,1,和,T,2,的零息利率，那么在连续复利情形下， 时间,T,1,和,T,2,之间的远期利率 可表示为：,(4.5),例子：,P57,，在表,4-5,中，验证第,3,年到第,4,年之间的远期利率，这时,T,1,=3, T,2,=4, R,1,=0.046, R,2,=0.05,则,R,F,=0.062,由（,4.5,），可得,上式表明：,如果零息利率曲线在,T,1, T,2,之间向上倾斜，即,R,2,R,1,，则有,R,F,R,2,，这表明远期利率比两个利率都大；,相反，如果零息利率曲线在,T,1, T,2,之间向下倾斜，即,R,2,R,1,，则有,R,F,R,2,，这表明远期利率比两个利率都小；,（,4.6,）,瞬时远期利率,在（,4.6,）中，令,T,1,=T,并让,T,2,趋近于,T,，两边取极限，即得到,称之为,T,时刻的瞬时远期利率，,R,为期限为,T,的年零息利率。这是表示在,T,时刻开始的一段很短时间内的远期利率。,假设,P,(,t, T,),表示,T,时刻到期的零息债券在当前,t,时刻的价格，则,或,代入瞬时远期利率公式中，即有,7.,远期利率协议（,FRA,）,7.1,定义：交易约定：在将来某一段时间，交易的一方以某一预先确定的利率借入或借出固定数量的资金，是一种场外交易产品。,例：,假设公司,X,同意在未来的,T,1,和,T,2,之间将资金,L,借给公司,Y,，,R,K,：,FRA,中约定的利率,R,F,：由今天计算的介于时间,T,1,和,T,2,之间的,LIBOR,利率,R,M,：在时间,T,1,和,T,2,之间的真正的,LIBOR,利率,公司,X,的现金流：,公司,X,在,T,1,时刻，其资金,L,可以以无风险利率,R,M,贷出，如果,X,进入,FRA,，则可以以利率,R,K,把资金,L,借给公司,Y,获得额外利率（,R,K,R,M,），,在时刻,T,2,，公司,X,的额外利率导致的现金流为（可能为负）：,公司,Y,的现金流：,与,X,的现金流方向相反，数量相等，即在,T,1,时刻，公司,Y,本可以以无风险利率,R,M,获得借款,L,，但当,Y,进入,FRA,后，需要以利率,R,K,从,X,借入资金,L,，这样，在,T,2,时刻，公司,Y,额外支付的利率（,R,M,R,k,），,导致的现金流为,(,可能为正）：,FRA,的交割时刻：一般在,T,1,时刻可交割,(why),交割时刻,X,的收益：将,T,2,的现金流贴现到,T,1,:,交割时刻,Y,的收益：,注：这里假设利率按复合频率计算，而不是连续复利方式,例,4-3 P59,7.2 FRA,的价值,在,t=0,时刻，如果,FRA,的执行利率为,R,K,=R,F,，则这份,FRA,在,t=0,时刻的价值为,0.,考虑两个本金均为,L,的,FRA,，,FRA1:,承诺在,T,1,和,T,2,之间收益率为由,LIBOR,计算的远期利率,R,F,(,参照作用）。,FRA2:,承诺在,T,1,和,T,2,之间收益率为,R,K,.,FRA1,与,FRA2,的额外现金流的贴现之差为,那么，收入约定利率为,R,K,的,FRA,的一方，在,t=0,时刻，其持有的,FRA,的价值为：,反过来，支出约定利率为,R,K,的,FRA,的一方，在,t=0,时刻，其持有的,FRA,的价值为：,这两个值恰好相反。,(4.9),（,4.10,）,7.3,对,FRA,定价的步骤：,假定远期利率会被实现的情形下（即,R,M,=R,F,),，根据（,4.7,）或（,4.8,）计算现金流；,将收益用无风险利率进行贴现,例,4-4. P59,8.,久期,8.1,定义：指投资者收到所有现金流所要等待的平均时间。,一个,n,年期零息国债的久期为,n,年，而一个年带息国债的久期小于,n,年。,8.2,久期的计算公式,I:,连续复利假设下,设某债券在时间 共支付了,n,次现金流 ，则在连续复利收益率,y,下，债券的价格,B,为：,（,4.11,）,债券久期定义为：,方括号中的项为 时刻债券支付现金流现值与债券价格的比，而债券价格等于所有将来支付的现值总和。,或,（,4.12,）,8.3,久期的意义：,久期是付款时间的加权平均，对应于 时刻的权重等于 时刻的支付现值与债券总贴现的比率，所有的权重相加等于,1,，即,当收益率,y,有微小变化时，利用函数微分的近似特点，有：,在（,4.11,）中，对,y,进行求导，代入上式，有,从上式可知，债券价格的变化 与其收益率的变化 是逆向的，,或说,B,与,y,的变化反向的。,（,4.13,）,（,4.14,）,根据（,4.12,）及（,4.14,），有：,或,这个公式反映了债券,价格变化率与收益率之间呈线性关系。,（,4.15,）,（,4.16,）,假设债券当前的收益率为,y,价格为,B,，当收益率变化 时，债券的价格变化为 ，这时债券的新的价格 可用如下公式估计,利率的变化通常用基点来衡量：,1,基点,=0.01%,例,4-5 P61,8.4,修正久期,久期的计算公式,II,:,年复利假设下,如果,y,是一年复利一次的利率，则久期计算公式为,如果,y,是一年复利,m,次的利率，则久期计算公式为,称下式的,D,*,为债券的,修正久期,。,如果,y,是一年复利,m,次的利率，则有,例,4-6 P61,绝对额久期,D*,：,则有,8.5,债券组合的久期,定义：构成债券的组合中每一个债券的久期的加权平均，其权重与相应债券价格成正比。,计算公式：假设一个组合中有,n,个债券，其价格为,B,i,久期为,T,i,（,i=1, , n,),，,记,则此组合的久期为,注：此公式可以用来对债券组合的价格进行估计，即当债券收益有一个微小的变化时，债券组合的价值也会有一个反向的变化，但是，这种估计一般要求所有债券的收益率的变化是相同的。,9,曲率（凸度）,为什么要研究债券的凸度？,久期提供了一种对债券价值相对于单位收益率的变化灵敏程度；但是，这是建立在债券价格回报与收益率变化呈线性关系的假设之上的，即当收益率的变化很小时，利用久期可以估计债券的价格。,但是，当债券价格回报与收益率具有二次函数关系或更复杂的关系，而债券收益率变化比较大时，久期无法用来估计债券价值的变化，需要进一步应用,曲率,的概念。,图,4.2,两个具备同样久期的交易组合,9.1,曲率,的定义：从图形的直观上看，曲线上某个点的曲率可以度量曲线在该点弯曲程度，弯曲程度越大，表明曲线在该点的曲率越大，反之愈小，直线上点的,曲率最小，圆周上每个点的曲率相等。,数学定义：债券价格关于债券收益率的二阶导数，即,如果我们把债券的价格,B,记为,B,（,y,），即债券价格是债券收益率的函数，那么利用泰勒展式，有,上式两边同除以,B,，则有,4.10,利率期限结构理论,定义：,4.10.1,当前存在研究利率的理论,期望理论：,对应于将来某一时间的远期利率等于未来这一时段的即期利率的期望值，由公式表示为：,即是说，当前时刻,(,时刻,0),预期的未来时段,t,T,的即期利率的期望值等于当前时刻的利率期限结构所隐含的未来时段,t,T,上远期利率。,市场分割理论,：认为短期、中期和长期理论之间没有任何关系，投资者选择某种期限的投资纯粹是投资者的偏好，又称为期限偏好理论。,流动性理论：,认为远期利率总会高于未来即期利率的期望值，即,或,而,被定义为,t,时刻的流动性风险溢价,4.10.2,净利息收入管理,净利息收入是指利息收入与利息支出之差。,4.10.3,资产负债管理,职责是将所有带来收入的资产与带来利息费用的负债进行匹配。,作业，,P67:,4.27,4.28,