251平面几何中向量方法1

,Page,*,平面向量应用举例,2.5.1,平面几何中的向量方法,向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为,“,代数,”,的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。,由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。,引入,问题：,平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,A,B,C,D,猜想：,1.,长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？,2.,类比猜想，平行四边形有相似关系吗？,例,1,、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,A,B,D,C,已知：平行四边形,ABCD,。,求证,：,分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设,其它线段对应向量用它们表示。,例题,A,B,D,C,解,:,设 ，则,例题,用向量法解平面几何问题的基本思路,（,1,）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；,（,2,）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；,（,3,）把运算结果,“,翻译,”,成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的,“,三步曲,”,：,简述：,形到向量 向量的运算 向量和数到形,想一想,A,B,C,D,E,F,R,T,猜想：,AR=RT=TC,例,2,如图，,ABCD,中，点,E,、,F,分别是,AD,、,DC,边的中点，,BE,、,BF,分别与,AC,交于,R,、,T,两点，你能发现,AR,、,RT,、,TC,之间的关系吗？,解：设 则,由于 与 共线，故设,又因为 共线，,所以设,因为,所以,A,B,C,D,E,F,R,T,线，,故,AT=RT=TC,A,B,C,D,E,F,R,T,证明直径所对的圆周角是直角,A,B,C,O,如图所示，已知,O,，,AB,为直径，,C,为,O,上任意一点。求证,ACB=90,分析：要证,ACB=90,，只须证向量 即,解：设,则 ，,由此可得,：,即 ，,ACB=90,思考：能否用向量,坐标形式证明？,练习,（,1,）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；,（,2,）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；,（,3,）把运算结果,“,翻译,”,成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的,“,三步曲,”,：,小结,课本习题,2.5,A,组,1,2,作业,