23等差数列前n项和3课时

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,等差数列的前,n,第一课时,1,问题提出,1.,等差数列的内涵特征是什么？ 如何用递推公式描述？,从第,2,项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,.,或,a,n,1,a,n,1,2 a,n,(,n,2).,2,2.,等差数列的通项公式是什么？,a,n,a,1,(,n,1,),d,a,m,(,n,m,),d,pn,q,.,3.,在等差数列,a,n,中 的条件是什么？特别地，,a,1,a,n,可以等于什么？,m,n=p,q,a,1,a,n,a,2,a,n,1,a,3,a,n,2,.,3,4.,数列的通项公式能反映数列的基本特性，在实际问题中常常需要求数列的前,n,项和,.,对于等差数列，为了方便运算，我们希望有一个求和公式，这是一个有待研究的课题,.,4,等差数列的,求和公式,5,知识探究（一）：,求和公式的推导,思考,1,：,有一堆钢管如图摆放，你有什么办法快速数出这堆钢管的总数？,6,思考,2,：,200,多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：,1,2,3,100,？,据说高斯很快就算出了正确答案,你知道他是如何计算的吗,?,(1,100),(2,99),(50,51),10150,5050.,7,思考,3,：,高斯的算法实际上解决了求等差数列,1,，,2,，,3,，,，,n,，,前,100,项的和的问题，利用这个算法，,1,2,3,n,等于什么？,8,思考,4,：,上述算法叫做,倒序相加法,.,一般地，,设等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，即,，利用倒序相加法如何求,S,n,？所得结果如何？,9,思考,5,：,就是等差数列,的前,n,项和公式，用文字语言如何表述这个公式？,等差数列前,n,项和等于首项与末项的和的一半与项数的积,.,10,知识探究（二）：,求和公式的变通,思考,1,：,若,n,为奇数，则,据此，等差数列前,n,项和公式可变形为什么？,11,思考,2,：,将,a,n,a,1,(n,1)d,代入等差数列前,n,项和公式，则求和公式变形为什么？,思考,3,：,将,a,1,a,n,(n,1)d,代入等差数列前,n,项和公式，则求和公式变形为什么？,12,思考,4,：,如何用,a,1,，,a,n,，,d,三个元素表示,S,n,？,13,理论迁移,例,1,在等差数列,a,n,中，,已知,，,求,S,7.,14,例,2 2000,年,11,月,14,日教育部下发了,关于在中小学实施“校校通”工程的通知,.,某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从,2001,年起用,10,年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网,.,据测算，,2001,年该市用于“校校通”工程的经费为,500,万元，为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金比上一年增加,50,万元。那么从,2001,年起的未来,10,年内，该市在“校校通”工程的总投入是多少？市出租车的计价标准为,1.2,元,/km,，起步价为,10,元，即最初的,4km,（不含,4,千米）计费,10,元,.,如果某人乘坐该市的出租车去往,14km,处的目的地，且一路畅通，等候时间为,0,，需要支付多少车费？,S,10,7250,（,万元,）,.,15,例,3,已知一个等差数列,a,n,的前,10,项,的和是,310,，前,20,项的和是,1220,，求这,个等差数列的前,n,项和,.,16,小结作业,1.,凡是与首末两端等距离的两项之和相等的数列，都可以用倒序相加法求前n项和.,是求等差数列前n项和的两个基本公式,应用时要根据已知条件灵活选取.,17,3.,求等差数列前,n,项和，一般需要三个条件，解题时常需要将已知条件进行转化，有时可用整体思想求,a,1,a,n,.,18,作业：,P45,练习：,1.,P46,习题,2.3A,组：,2,，,3, 4.,19,第二课时,2.3,等差数列的前,n,项和,20,问题提出,1.,等差数列的递推公式是什么？,a,n,1,a,n,1,2a,n,（,n2,）,21,2.,等差数列的通项公式是什么？在结构上它有什么特征？,3.,等差数列前,n,项和的两个基本公式是什么？,在结构上是关于,n,的一次函数,.,a,n,a,1,(,n,1,),d,a,m,(,n,m,),d,pn,q,.,22,4.,深入研究等差数列的概念与前,n,项和公式及通项公式的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们将对此作些简单探究,.,23,等差数列前,n,项和的性质,24,探究（一）：,等差数列与前,n,项和的关系,思考,1,：,若,数列,a,n,的前,n,和,那么数列,a,n,是等差数列吗？,a,n,是等差数列,25,思考,2,：,将等差数列前,n,项和公式,看作是一个关于,n,的函数，这个函数有什么特点？,当,d0,时,，,S,n,是常数项为零的二次函数,.,26,思考,3,：,一般地，若,数列,a,n,的前,n,和,S,n,pn,2,qn,，那么数列,a,n,是等差数列,吗？若,S,n,pn,2,qn,r,呢？,a,n,是等差数列,S,n,pn,2,qn,.,27,思考,4,：,若,a,n,为等差数列，那么,是什么数列？,a,n,是等差数列 为等差数列,28,思考,5,：,等差数列的求和公式可化为,一般地，若,数列,a,n,的前,n,和,那么,数列,a,n,是等差数列吗？,a,n,是等差数列,29,探究（二）：等差数列前,n,项和的性质,思考,1,：,在等差数列,a,n,中，,S,n,，,S,2n,，,S,3n,三者之间有什么关系？,S,3n,3(S,2n,S,n,),S,1,S,2,nd,，,思考,2,：,在等差数列,a,n,中，设,S,1,a,2,a,4,a,2n,，,S,2,a,1,a,3,a,2n,1,，,则,S,1,S,2,与 分别等于什么？,30,思考,3,：,设,等差数列,a,n,、,b,n,的前,n,项,和分别为,S,n,、,T,n,，则,等于什么？,思考,4,：,在等差数列,a,n,中，若,a,1,0,，,d,0,，则,S,n,是否存在最值？如何确定其最值？,当,a,k,0,，,a,k,1,0,时,，,S,k,为最大,.,31,理论迁移,例,1,设等差数列,的前,n,项和为,S,n,，求当,n,为何值时,S,n,取,最大值,.,n,7,或,8,例,2,设,等差数列,a,n,的公差为,2,，且,，求,的值,.,-82,32,小结作业,1.,以等差数列前n项和为背景可引发出许多性质，作为研究性学习，其结论不要求记忆，但要了解探究这些性质的数学思想、方法和技巧，并在解题中灵活运用.,2.,等差数列的定义、通项公式、求和公式是等差数列的基本知识点，在运用中具有很大的灵活性和较强,的,技巧性，适当了解等差数列的一些基本性质，会给解题带来一定的帮助.,33,3.,在等差数列的基本运算中，要注意整体代入，回避非必求量，简化运算过程，提高解题效率.对于与前n项和有关的问题，不一定要用求和公式，有时作非公式化处理更简单.,34,作业：,P45,练习：,2,，,3.,P46,习题,2.3A,组：,5,，,6.,35,2.3,等差数列的前,n,项和,第三课时,36,知识整理,1.,等差数列的定义特征,从第,2,项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,.,或,a,n,1,a,n,1,2 a,n,(,n,2).,2.,等差数列的递推公式,37,3.,等差数列的通项公式,a,n,a,1,(,n,1,),d,a,m,(,n,m,),d,pn,q,.,4.,等差数列的前,n,项和公式,38,4.,等差数列的主要性质,（,1,）若数列,a,n,、,b,n,都是等差数列，,则数列,pa,n,，,a,n,a,n,1,，,a,n,b,n,，,a,n,b,n,也是等差数列,.,（,2,）,m,n=p,q,（,3,）,a,n,是等差数列,S,n,pn,2,qn,.,为等差数列,39,（,4,）,S,3n,3(S,2n,S,n,).,（,5,）,设,等差数列,a,n,、,b,n,的前,n,项,和分别为,S,n,、,T,n,，则,.,(6,）,当,a,k,0,，,a,k,1,0,时，,S,k,为最大,;,当,a,k,0,，,a,k,1,0,时，,S,k,为最小,.,40,应用举例,例,1,已知一个等差数列共有偶数项，其中偶数项之和为,30,，奇数项之和为,24,，末项与首项之差为,10.5,，求这个等差数列的首项、公差和项数,.,首项为,首项为,，公差为,项数为,8.,41,例,2,已知一个等差数列的前,12,项之和,为,354,，且前,12,项中偶数项的和与奇数,项的和之比为,32,：,27,，求这个等差数列,的公差,.,42,例,3,已知等差数列,a,n,的前,n,项和,求数列,|a,n,|,的前,n,项和,.,43,例,4,在等差数列,a,n,中，已知,a,1,2,，,S,10,0,，求,a,11,a,12,a,20,的值,.,44,作业：,P46,习题,2.3B,组：,1,2,3,4.,45,