chapter 3 多维随机变量及其分布

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 多维随机变量及其分布,1,二维随机变量,2,3,条件分布,4,相互独立的随机变量,5,两个随机变量的函数的分布,1,1 二 维 随 机 变 量,二维随机变量,联合分布函数,联合分布律,联合概率密度,第三章 多维,随机变量及其分布,2,1）定义：,设,E,是一个随机试验，它的样本空间是,S,=,e,，,设,X,=,X,(,e,),和,Y,=,Y,(,e,),是定义在,S,上的随机变量。,由它们构成的一个向量,(,X,Y,),，,叫做二维随机,向量，或,二维随机变量,。,S,e,X,(,e,),Y,(,e,),一、,二维随机变量,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,3,注 意 事 项,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,4,2）二维随机变量的例子,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,5,二、,联合分布函数,1 二维随机变量,1）,定 义,第三章 多维,随机变量及其分布,6,2）二元分布函数的几何意义,y,o,(,x,y,),(,X,Y,),1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,7,3）一个重要的公式,y,x,o,x,1,x,2,y,1,y,2,(,X,Y,),(,x,2,y,2,),(,x,2,y,1,),(,x,1,y,2,),(,x,1,y,1,),1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,8,4）分布函数具有以下的基本性质：,（1）,F,(,x,y,),是变量,x,y,的不减函数，即,对于任意固定的,y,当,x,1,x,2,时，,对于任意固定的,y,且,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,对于任意固定的,x,当,y,1,y,2,时，,对于任意固定的,x,9,（3）,F,(,x,y,)=,F,(,x,+0,y,),F,(,x,y,)=,F,(,x,y+,0),即,F,(,x,y,),关于,x,右连续，关于,y,也右连续.,y,x,o,x,1,x,2,y,1,y,2,(,X,Y,),(,x,2,y,2,),(,x,2,y,1,),(,x,1,y,2,),(,x,1,y,1,),1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,10,说 明,上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的,性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四,条性质；,更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数,具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变,量的分布函数（证明略）,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,11,5）n,维随机变量,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,12,6）n,维随机变量的分布函数,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,13,三、二维离散型随机变量,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,1）定义：,14,2）二维离散型随机变量的联合分布律,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,15,3)二维离散型随机变量联合分布律的性质,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,16,例 3,解：,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,17,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,18,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,19,例 4,解：,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,20,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,21,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,22,1）定义：,对于二维随机变量 (,X,Y,),分布函数,F,(,x,y,),，,如,果存在非负函数,f,(,x,y,),，,使得对于任意的,x,，,y,有：,则称 (,X,Y,),是连续型的二维随机变量，,函数,f,(,x,y,),称为二维随机变量 (,X,Y,),的,概率密度,，或称为,X,和,Y,的联合概率密度。,四、二维连续型随机变量,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,23,2) 概率密度,的,性质：,4,0,设,G,是平面上的一个区域，点 (,X,Y,),落在,G,内 的概率为：,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,这个公式非常重要！,24,在几何上,z,=,f,(,x,y,),表示空间的一个曲面，上式,即表示,P,(,X,Y,),G,的值等于以,G,为底，以曲面,z,=,f,(,x,y,),为顶的柱体体积.,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,25,例 5,解：,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,26,第三章 多维,随机变量及其分布,27,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,28,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,29,x,+,y,=1,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,y,30,3）二维均匀分布,D,x,y,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,31,二维均匀分布几何意义,D,y,x,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,32,4）二维正态分布,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,33,1 二维随机变量,第三章 多维,随机变量及其分布,小结：,1 二维离散型随机变量的联合分布率的,定义及性质,。,2 联合分布函数的,定义及性质,。,3 二维连续型随机变量的联合概率密度的,定义及性,质，,特别是,4 二维均匀分布和二维正态分布。,34,边缘分布函数,边缘分布律,边缘概率密度,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,35,一、边缘分布函数,边缘分布也称为边沿分布或边际分布,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,1）边缘分布的定义：,36,2）已知联合分布函数求边缘分布函数,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,x,X,P,=,(,),x,F,X,+,=,Y,x,X,P,，,(,),+,=,，,x,F,y,Y,P,=,(,),y,F,Y,y,Y,X,P,+,=,，,(,),y,F,，,+,=,则分量,X,的分布函数为,则分量,Y,的分布函数为,37,解：,例1,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,(,),-,=,，,x,F,0,(,),y,F,，,-,=,0,38,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,由以上三式可得，,，,，,2,2,1,2,p,p,p,=,=,=,C,B,A,的边缘分布函数为,X,(,),(,),=,，,x,F,x,F,X,(,),(,),+,-,，,x,39,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,的边缘分布函数为,同理，,Y,(,),(,),y,F,y,F,Y,，,=,(,),(,),+,-,，,y,40,二、已知联合分布律求边缘分布律,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,=,j,ij,p,的分布律为：,同理，随机变量,Y,=,i,ij,p,的分布律：,现求随机变量,X,41,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,42,例 2,解：,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,(,),分布律,各自的边缘,及,的联合分布律与,，,试求,，,记为,中随机地取出一个数，,到,再从,，,记为,个数中随机取出一个，,这,，,，,，,从,Y,X,Y,X,Y,X,X,1,4,4,3,2,1,，,，,，,，,的可能取值都是,与,4,3,2,1,Y,X,，,而且,Y,X,时,，,当,j,i,j,Y,i,X,P,p,ij,=,=,=,，,时，由乘法公式，得,当,j,i,j,Y,i,X,P,p,ij,=,=,=,，,i,X,j,Y,P,i,X,P,=,=,=,=,43,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,例 2（续）,再由,=,.,j,ij,i,p,p,=,.,i,ij,j,p,p,及,(,),的边缘分布律为,及,与,，,可得,Y,X,Y,X,44,例3,掷一枚骰子，直到出现小于5点为止。,X,表示最后一次掷出的点数，,Y,为掷骰子的次数。,求：,随机变量（,X,Y,),的联合分布率及,X,、,Y,的边缘分,布率。,解：,X,的可能取值为1，2，3，4，,Y,的可能取值为1，2，3，,(,X,Y,),的联合分布率为,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,45,X,的边缘分布率为,Y,的边缘分布率为,第三章,随机变量及其分布,例3（续）,46,三、已知联合密度函数求边缘密度函数,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,的边缘密度函数,求随机变量,X,(,),x,f,X,(,),x,X,P,x,F,X,=,由,(,),+,=,，,x,F,(,),-,+,-,=,x,du,dy,y,u,f,，,47,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,同理，由,(,),y,Y,P,y,F,Y,=,(,),y,F,，,+,=,(,),-,+,-,=,y,dv,dx,v,x,f,，,48,例 4,y,o,y=x,y=x,2,1,D,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,49,6,1,=,y,o,y=x,y=x,2,1,x,D,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,例 4（续）,解：,的面积为,区域,D,=,x,x,dy,dx,A,2,1,0,1,0,3,2,3,1,2,1,-,=,x,x,3,1,2,1,-,=,(,),的联合密度函数为,，,所以，二维随机变量,Y,X,(,),(,),(,),=,D,y,x,D,y,x,y,x,f,，,，,，,0,6,50,y,o,y=x,y=x,2,1,x,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,例 4（续）,的边缘密度函数为,随机变量,X,(,),(,),(,),=,D,y,x,D,y,x,y,x,f,，,，,，,0,6,时，,当,1,0,x,(,),(,),+,-,=,dy,y,x,f,x,f,X,，,=,x,x,dy,2,6,(,),2,6,x,x,-,=,所以，,(,),(,),-,=,.,0,1,0,6,2,其它,x,x,x,x,f,X,51,y,o,1,x,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,例 4（续）,的边缘密度函数为,同理，随机变量,Y,时，,当,1,0,y,(,),(,),+,-,=,dx,y,x,f,y,f,Y,，,=,y,y,dx,6,(,),y,y,-,=,6,所以，,(,),(,),-,=,.,0,1,0,6,其它,y,y,y,y,f,Y,52,例 5,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,(,),的联合密度函数为,，,设二维连续型随机变量,Y,X,(,),+,=,-,其它,，,0,0,y,x,cxe,y,x,f,y,；,常数,试求：,c,的边缘密度函数,及,Y,X,解：,由密度函数的性质，得,(,),+,-,+,-,=,dxdy,y,x,f,，,1,-,+,=,y,y,dx,cxe,dy,0,0,53,(2),第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,例 5（续）,+,-,=,0,2,2,dy,e,y,c,y,.,1,=,c,所以，,(,),+,x,(,),(,),+,-,=,dy,y,x,f,x,f,X,，,+,-,=,x,y,dy,xe,的边缘密度函数为,所以，,X,(,),=,-,0,0,0,x,x,xe,x,f,x,X,x,xe,-,=,54,例5,（续）,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,(,),+,y,(,),(,),+,-,=,dx,y,x,f,y,f,Y,，,-,=,y,y,dx,xe,0,y,e,y,-,=,2,2,1,的边缘密度函数为,所以，,Y,(,),=,-,0,0,0,2,1,2,y,y,e,y,y,f,y,Y,55,例 6,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,(,),(,),r,N,Y,X,，,，,，,，,，,设二维随机变量,2,2,2,1,2,1,s,s,m,m,的边缘密度函数,及,试求,Y,X,解：,(,),的联合密度函数为,，,Y,X,56,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,(,),(,),+,-,=,dy,y,x,f,x,f,X,，,57,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,所以，,58,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,59,结 论 1:,结 论 2:,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,(,),(,),2,2,2,1,2,1,r,N,Y,X,，,，,，,，,，,即若,s,s,m,m,60,结 论 3:,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,说明：边缘分布可由联合分布唯一确定，反之不然，即：不能由边缘分布确定联合分布。,(,),(,),1,2,2,2,1,2,1,1,1,r,N,Y,X,，,，,，,，,，,s,s,m,m,(,),(,),2,2,2,2,1,2,1,2,2,r,N,Y,X,，,，,，,，,，,s,s,m,m,），,（其中,2,1,r,r,(,),(,),的分布不相同，,，,与,，,则,2,2,1,1,:,Y,X,Y,X,的分布相同，,与,但是,2,1,X,X,的分布相同,与,2,1,Y,Y,61,第三章,随机变量及其分布,2 边缘分布,小结：,1 二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系：,边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边,缘分布确定联合分布。,2 二维正态分布的性质。,难点：,求边缘分布时如何确定积分区域及边缘,密度不为零的范围。,62,条件分布律,条件分布函数,条件概率密度,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,63,一 、,离散型随机变量的条件分布律,设,(,X,Y,),是二维离散型随机变量，其分布律为,(,X,Y,),关于,X,和关于,Y,的边缘分布律分别为：,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,P,X,=,x,i,Y,=,y,j,=,p,i j,i,j=,1,2,.,64,由条件概率公式,定义：,设,(,X,Y,),是二维离散型随机变量，对于固定,的,j,为在,Y,=,y,j,条件下随机变量,X,的条件分布律,。,第三章,随机变量及其分布,若,P,Y,=,y,j,0,则称,自然地引出如下定义：,3,条件分布,65,第三章,随机变量及其分布,条件分布律,具有分布律的以下,特性,：,1,0,P,X,=,x,i,|,Y,=,y,j,0,；,同样对于固定的,i,若,P,X,=,x,i,0,则称,为在,X,=,x,i,条件下随机变量,Y,的条件分布律,。,3,条件分布,即条件分布率是分布率。,66,第三章,随机变量及其分布,例,1,一射手进行射击，击中目标的概率为,p,，射击,到击中目标两次为止。设以,X,表示首次击 中目标,所进行的射击次数，以,Y,表示总共进行 的射击次,数，试求,X,和,Y,的联合分布律以及条件分布律。,解：,3,条件分布,；,，,，,，,的取值是,L,4,3,2,Y,，,，,，,的取值是,L,2,1,X,并且,Y,X,的联合分布律为,Y,X,n,Y,m,X,P,=,=,，,p,q,p,q,m,n,m,=,-,-,-,1,1,2,2,p,q,n,=,-,(,),p,q,-,=,1,其中,.,1,2,1,-,=,n,m,L,;,3,2,L,=,n,67,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,例,1,（续）,的边缘分布律为,X,=,=,m,X,P,=,=,n,n,Y,m,X,P,，,-,=,2,2,n,q,p,的边缘分布律为,Y,1,2,1,;,3,2,2,2,-,=,=,=,=,=,-,n,m,n,p,q,n,Y,m,X,P,n,L,L,，,68,在,Y,=,n,条件下随机变量,X,的条件分布律为,当,n,=2,3,时，,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,1,2,1,;,3,2,2,2,-,=,=,=,=,=,-,n,m,n,p,q,n,Y,m,X,P,n,L,L,，,69,在,X,=,m,条件下随机变量,Y,的条件分布律,为,当,m,=1,2,3,时，,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,L,2,1,1,=,=,=,-,m,pq,m,X,P,m,1,2,1,;,3,2,2,2,-,=,=,=,=,=,-,n,m,n,p,q,n,Y,m,X,P,n,L,L,，,70,第三章,随机变量及其分布,例,2,（,1,）在发车时有,n,个乘客的条件下，中途有,m,个人下,车的概率；,（,2,）二维随机变量（,X,Y,),的概率分布。,解：,且中途下车与否相互独立。以,Y,表示在中途下车的人,数，求：,设某班车起点站上车人数,X,服从参数为,的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为,3,条件分布,71,第三章,随机变量及其分布,二、,条件分布函数,设,(,X,Y,),是二维连续型随机变量，由于,因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。,3,条件分布,72,定义：,给定,y,，设对于任意固定的正数, ，,存在，,第三章,随机变量及其分布,P,y-, 0,若对于任意实数,x,，极限,则称为在条件,Y,=,y,下,X,的,条件分布函数,，,写成,P,X,x,|,Y,=,y,，或记为,F,X,|,Y,(,x,|,y,).,3,条件分布,73,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,74,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,称为在条件,Y,=,y,下,X,的条件分布函数,.,条件密度函数,.,的条件下的,在,称为随机变量,x,X,Y,=,的条件下的,在,称为随机变量,y,Y,X,=,条件密度函数,.,75,条件密度函数的性质,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,性质,1,对任意的,x,有,性质,2,是密度函数,简言之，,也有类似的性质,对于条件密度函数,76,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,例,3,解：,77,第三章,随机变量及其分布,例,3,（续）,3,条件分布,78,第三章,随机变量及其分布,例,3,（续）,3,条件分布,79,第三章,随机变量及其分布,例,3,（续）,3,条件分布,80,例,4,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,(,),服从二元正态分布：,，,设二维随机变量,Y,X,(,),的联合密度函数为,，,则,Y,X,(,),(,),r,N,Y,X,，,，,，,，,，,2,2,2,1,2,1,s,s,m,m,81,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,又随机变量,Y,的边缘密度函数为,结论,:,二元正态分布的条件分布是一元正态分布,即,82,例,5,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,(,x,1),上的均匀分布试求随,机变量,Y,的密度函数,当,0 ,x, 1,时,随机变量,Y,在,X = x,的条件下服从区间,设随机变量,X,服从区间,(0,1),上的均匀分布,的密度函数为,随机变量,X,解：,(,),=,.,0,1,0,1,其它,x,x,f,X,下的条件密度函数为,在条件,时，随机变量,又由题设知，当,x,X,Y,x,=,1,0,(,),-,=,.,0,1,1,1,其它,y,x,x,x,y,f,X,Y,83,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,例,5,（续）,得,所以，由公式,-,=,.,0,1,0,1,1,其它,y,x,x,时，,当,1,0,y,所以，,(,),(,),+,-,=,dx,y,x,f,y,f,Y,，,-,=,y,dx,x,0,1,1,(,),.,1,ln,y,-,-,=,的密度函数为,所以，随机变量,Y,(,),(,),-,-,=,.,0,1,0,1,ln,其它,y,y,y,f,Y,84,第三章,随机变量及其分布,3,条件分布,1,条件分布律；,2,条件分布函数；,3,条件概率密度。,小结：,难点：,求条件分布时如何确定条件分布率和条,件密度不为零的范围。,85,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,随机变量的独立性,离散型随机变量的独立性,连续型随机变量的独立性,正态随机变量的独立性,86,一、随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,87,说 明,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,结论：,在独立的条件下有,88,例,1,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,(,),的联合分布函数为,，,设二维随机变量,Y,X,(,),+,-,+,-,y,x,，,是否相互独立？,与,试判断,Y,X,解：,的边缘分布函数为,X,(,),+,+,=,10,arctan,2,5,arctan,2,1,2,y,x,y,x,F,p,p,p,，,89,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,(,),x,F,X,(,),=,，,x,F,(,),(,),+,-,，,x,的边缘分布函数为,Y,(,),(,),y,F,y,F,Y,，,=,+,+,=,+,10,arctan,2,5,arctan,2,1,lim,2,y,x,y,p,p,p,+,=,5,arctan,2,1,x,p,p,+,+,=,+,10,arctan,2,5,arctan,2,1,lim,2,y,x,x,p,p,p,90,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,+,=,10,arctan,2,1,y,p,p,(,),(,),+,-,，,y,，有,，,所以，对于任意的实数,y,x,(,),y,x,F,，,是相互独立的随机变量,与,所以,Y,X,+,+,=,10,arctan,2,5,arctan,2,1,2,y,x,p,p,p,+,+,=,10,arctan,2,1,5,arctan,2,1,y,x,p,p,p,p,91,二、离散型随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,92,例,2,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,93,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,94,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,95,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,96,例,3,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,97,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,98,三、连续型随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,99,说 明,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,100,例,4,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,101,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,102,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,103,例,5,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,104,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,105,例,6,（,Buffon,投针问题）,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,L,M,X,M,a,106,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,107,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,x,D,A,0,108,说 明,:,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,109,说 明（续）,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,110,说 明（续）,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,111,例,7,（正态随机变量的独立性）,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,(,),(,),r,N,Y,X,，,，,，,，,，,设二维随机变量,2,2,2,1,2,1,s,s,m,m,(,),的联合密度函数为,，,则,Y,X,的边缘密度函数为,又随机变量,X,112,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,的边缘密度函数为,随机变量,Y,(,),的联合密度函数为,，,时，,所以，当,Y,X,r,0,=,，有,，,实数,相互独立，则对任意的,与,反之，如果随机变量,y,x,Y,X,113,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,特别地，我们有,由此得，,0,=,r,(,),.,0,),(,2,2,2,1,2,1,=,r,Y,X,r,N,Y,X,相互独立的充分,必要条,件为,:,与,，,，,，,，,对于,结论：,s,s,m,m,114,四、,n,维,随机变量的独立性,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,注意,：,若,X ,Y,独立，,f,(,x,) ,g,(,y,),是连续函数，则,f,(,X,) ,g,(,Y,),也独立。,115,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,小结：,1,二维随机变量,独立,的充分必要,条件,：,联合分布等于边缘分布的乘积,。,2,(,),.,0,),(,2,2,2,1,2,1,=,r,Y,X,r,N,Y,X,：,件为,相互独立的充分必要条,与,，,，,，,，,对于,s,s,m,m,116,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,思考题,：,1,）填空。已知,X, Y,独立，联合分布率与边缘分布率如下,117,第三章,随机变量及其分布,4,随机变量的独立性,2,）已知,X,Y,的分布率如下,求：（,1,）,X,Y,的联合分布率；（,2,）,X,与,Y,是否独立。,118,第三章,随机变量及其分布,3),119,1,）,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,3,）,在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的,分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命,分别为随机变量,X,Y,，它们相互独立同分布。我们,想知道系统寿命,Z,的分布。,这就是求随机变量函数的分布问题。,2,）,120,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,一般情形求随机变量函数分布的方法,和的分布,商的分布,极值分布,121,解题步骤：,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,一、一般情形问题,已知二维随机变量（,X,Y,）的联合密度为,f,(,x,y,),g,(,x,y,),是二元连续函数，欲求随机变量,Z,=,g,(,X,Y,),的概率密度。,122,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,1,123,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,1,（续）,124,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,1,（续）,125,二、和的分布,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,2,1,）离散型随机变量和的分布,126,第三章,随机变量及其分布,127,例,3,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,128,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,3,（续）,129,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,结论：,例,3,（续）,130,2,）连续型随机变量和的分布,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,x + y = z,131,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,132,由于,X,Y,的对称性可得,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,133,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,134,例,4,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,135,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,4,（续）,136,例,5,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,137,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,5,（续）,138,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,5,（续）,139,例,6,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,140,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,6,（续）,141,结 论：,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,142,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,143,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,（,1,）,（,2,）,144,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,145,例,8,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,146,第三章,随机变量及其分布,例,8,（续）,147,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,8,（续）,148,例,9,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,四、极值分布,149,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,9,（续）,0,0,=,=,h,x,，,P,0,0,=,=,=,Y,X,P,，,0,0,=,=,=,Y,P,X,P,(,),2,1,p,-,=,1,0,=,=,h,x,，,P,0,1,1,0,=,=,+,=,=,=,Y,X,P,Y,X,P,，,，,0,1,1,0,=,=,+,=,=,=,Y,P,X,P,Y,P,X,P,(,),p,p,-,=,1,2,0,1,=,=,h,x,，,P,(,),=,P,1,1,=,=,h,x,，,P,1,1,=,=,=,Y,X,P,，,1,1,=,=,=,Y,P,X,P,2,p,=,= 0,150,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,9,（续）,0,0,1,=,=,=,h,x,，,P,(,),2,2,1,0,1,p,p,P,P,-,=,=,=,h,x,151,例,10,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,152,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,10,（续）,153,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,10,（续）,154,例,11,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,155,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,例,11,（续）,156,第三章,随机变量及其分布,5,多维随机变量函数的分布,小结：,1,一般情形求随机变量函数的分布方法。,2,和,差，商，积的分布。,3,极值分布。,难点：确定积分区域。,157,1,要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。,2,要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分,布的关系，理解条件分布。,3,掌握二维均匀分布和二维正态分布。,4,要理解随机变量的独立性。,5,要会求二维随机变量的和、,差、商、积,分布及多维随机变量的极值分布和函数的分布。,第三章,小 结,重点：,边缘分布；随机变量的独立性；二维随机,变量的和、商分布及多维随机变量的极值分布函,数的分布。,本章要求：,158,例,1,填空。已知,X, Y,独立，联合分布率与边缘分布率如下,159,例,2,已知,X,Y,的分布率如下,求：（,1,）,X,Y,的联合分布率；（,2,）,X,与,Y,是否独立。,解：,所以,160,例,3,解：,161,由于,例,3,（续）,162,