13+拉普拉斯变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十三章 拉普拉斯变换,13-1 拉普拉斯变换的定义,本章主要内容：,介绍拉普拉斯变换在线性电路中的应用。,涉及：,拉普拉斯变换(拉氏变换)的定义、用部分分式法(分解定理)求拉氏反变换、拉氏变换与电路分析有关的一些性质、运算电路概念、应用拉氏变换分析线性电路。,拉普拉斯变换是一种积分变换法,通过积分变换可以将时域函数变为频域函数，从而把时域的微分方程化为频域的代数方程。经过拉普拉斯反变换又可以将计算结果返回时域。,所以用拉普拉斯变换法求解高阶复杂动态电路是有效而重要的方法之一。,1,对于定义在0，,)区间的函数,f(t,),，其,拉普拉斯变换式,F,(,s,),拉普拉斯变换的定义：,式中，,s,=,+,j,，,F,(,s,),称为,f(t,)的象函数，,f(t,) 称为,F,(,s,),的原函数,在数学理论中，若对于所有t 满足条件：,则,f(t,)的拉氏变换,F,(,s,)总是存在。,本书涉及的f(t)均满足上述条件,拉普拉斯反变换的定义：,式中，M ,c,为正的有限常数,用, ,表示对中括号中的时域函数作拉氏变换,用, ,表示对中括号中的复变函数作拉氏反变换,例如：F(s)=,f,(,t,)=,2,求下列函数,的象函数,F,(,s,),单位阶跃函数,单位冲激函数,指数函数,例：13-1,3,13-2,拉普拉斯变换的性质,与分析线性电路有关的一些性质,1、线性性质,设：,f,1,(,t,)=,F,1,(,s,)， ,f,2,(,t,)=,F,2,(,s,),则： ,A,1,f,1,(,t,)+,A,2,f,2,(,t,)=,A,1,F,1,(,s,)+,A,2,F,2,(,s,),证：,A,1,f,1,(,t,)+,A,2,f,2,(,t,)=,4,例：13-2,若：,以上函数的定义域均为0，求其象函数。,5,2、微分性质,若：,f,(,t,)=,F,(,s,),则： ,f,(,t,)=,sF,(,s,)-,f,(0-),证：设,e,-st,=u,，,f,(,t,),dt,=,dv,，,则：,只要s的实部,足够大，当t 时，e,-st,f,(t) 0，所以,F,(s)存在，微分性质得证。,6,例：13-3,应用导数性质求下列函数的象函数,7,3、积分性质,若：,f,(,t,)=,F,(,s,),则：,只要s的实部,足够大，当t 及t=0,-,时，等式右边第一项均为0，所以积分性质得证。,证：令 ，,dv,=,e,-st,dt,，,则：,8,例：13-4,利用积分性质求函数,f,(,t,)=,t,的象函数,9,4、延迟性质,函数,f,(,t,)的象函数与其延迟函数,f,(,t-t,0,)的象函数之间的关系为：,若：,f,(,t,)=,F,(,s,),则：,其中：当,t,t,0,时，,f,(,t,-,t,0,)=0,证：,令, =,t,-,t,0,则：,所以延迟性质得证。,10,例：13-5,求图示矩形脉冲的象函数,11,常用拉普拉斯变换表,12,13-3,拉普拉斯反变换的部分分式展开,拉普拉斯反变换可以将频域响应返回至时域响应。,拉普拉斯反变换的定义：,式中，,c,为正的有限常数,拉普拉斯反变换的计算较复杂，一般多采用部分分式展开的方法间接求得。,设,F,(,s,)可以表示为如下的有理分式，,m,和,n,为正整数，且,n,m,。,当,n,=,m,，则：,其中A为常数，,13,当,n,m,，,F,(,s,)为真分式，可以根据以下几种情况展开为部分分式,1、D(s)=0 有n个单根，其中n个单根分别为：,p,1,、,p,2,、,p,n,、,i,=1、2、 、n,14,例：13-6,15,2、D(s)=0 具有共轭复根,p,1,=,+,j,，,p,2,=,-,j,16,例：13-7,17,3、D(s)=0 具有,q,阶重根,p,1,， 其余为单根,p,2,、,p,3,、, ,18,例：13-8,19,13-4 运算电路,对电路定律的时域形式取拉氏变换，可以得到其运算形式,基尔霍夫定律的时域形式：,对于任一结点，,i,(,t,)=0；,对于任一回路，,u,(,t,)=0,由拉氏变换的线性性质，基尔霍夫定律的运算形式：,对于任一结点，,I,(,s,)=0,对于任一回路，,U,(,s,)=0,1、电阻的运算电路,R,i,(t),+ u,(t),-,R,i,(t),+ u,(t),-,时域电路,u,(,t,) =R,i,(,t,),由线性性质，运算电路,U,(,s,) =R,I,(,s,),20,2、电感的运算电路,对于时域电路,由微分性质，得运算电路,(a),其中：sL 为电感的运算阻抗，,i,(0-) 为电感中的初始电流,(b),附加电压源,电感运算关系又可以表示为：,1/sL为电感的运算导纳，对应图（c）运算电路,(c),附加电流源,21,3、电容的运算电路,对于时域电路,由积分性质，得运算电路,(a),其中：1/sC 为电容的运算阻抗，,u,(0-) 为电容中的初始电压,(b),附加电压源,电容运算关系又可以表示为：,(c),sC为电容的运算导纳，对应图（c）运算电路,附加电流源,22,4、耦合电感的运算电路,对于时域电路,(a),附加电压源,两边取拉氏变换得耦合电感运算电路：,sL 为自感运算阻抗，sM为互感运算阻抗,23,RLC串联的运算电路,由,U,(,s,)=0，得到电路的运算方程,Z(s)为运算阻抗,24,13-5 应用,拉普拉斯变换法分析线性电路,相量法把正弦量变换为相量（复数），将求解线性电路的正弦稳态问题转换为求解以相量为变量的线性代数方程。,运算法把时间函数变换为对应的象函数，将问题转换为求解以象函数F(s)为变量的线性代数方程。,需要时，利用,拉普拉斯反变换，可以将向函数变换为对应的时间函数,25,例：13-9,电路原处于稳态，,t,= 0时开关S闭合，试用运算发求解,i,1,(,t,) 。,对应的运算电路,时域电路,26,例：13-10,电路如图所示，RC为并联电路，激励为电流源,i,S,(t),若：(1),i,S,(t) =,(t) A；(2),i,S,(t) =,(t) A 。,试求电路响应,u,(t) 。,27,例：13-11,图示电路原处于稳态，,t,= 0时开关S闭合，求t0时的,u,L,(,t,) 。已知：,u,S,1,(,t,) =2e,-2t,V，,u,S,2,(,t,) =5 V，R,1,=R,2,=5,，L=1H 。,28,例：13-12,已知： R,1,=R,2,=1,， M=0.05H，L,1,= L,2,=0.1H 。U,S,=1V，,t,= 0时开关S闭合后的电流,i,1,(,t,) 和,i,2,(,t,) 。,29,例：13-13,图示电路开关S原来闭合，求打开S后电路的电流及电感元件上的电压,30,